Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка качества материалов. Учебное пособие
.pdf
OP
OP
OP
OC:OB:OA
γβα
=
γβα
=
=γβα=
111111111
:
:
:
OB
OA
С другой стороны,
111
В результате для кубических кристаллов
Это соотношение можно использовать для численного
индицирования по стереографической проекции с помощью сетки
Вульфа либо по результатам гониометрических измерений.
Из соотношения (26) можно получить связь между индексами,
осевыми единицами и направляющими косинусами
Пример 1.
Грань кубического кристалла составляет с координатными
направлениями углы: α =74°, β =56°, γ =34°. Найти символ грани.
Последовательность решения задачи
Составляя отношение направляющих косинусов
получаем символ грани (123).
Об индицировании кристаллов гексагональной и
тригональной сингонии. Символы Миллера-Бравэ. Для описания
гексагональных и тригональных кристаллов трехосная система
координат (а=b≠с, a=β=90°, γ=120°) неудобна. Это поясняет рис.4а,
на котором показаны следы граней гексагональной призмы,
параллельных оси Z (нормальной к плоскости чертежа). В трехосной
системе координат одинаковые грани призмы занимают различные
положения по отношению к горизонтальным координатным осям:
грани AF, ВС, CD, EF, будучи параллельны одной из координатных
осей, пересекают другую координатную ось, а грани – АВ и DE
ересекают обе координатные оси. Поскольку отрезки, отсекаемые
п
гранями на осях ОХ и OY,
будут
:
nb
maOC
:
cos
cos
= cos:cos:cos
cos:cos:cosl:k:h
равны а, символы граней AF, ВС, CD, EF
cos
:
0,276 : 0,559 : 0,829=1 : 2 : 3,
:n:
===
mpc
p
γβα
cos:cos:cosl:k:h .
cos:cos:cosc/l:b/k:a/h .
l:k:h
.
γβα=
.
(26)
(27)
31
a
a:a
c:e:b:a
l:k:h =
= ,
111
∞∞
001
::::
или (100), а символы граней АВ и DE
l:k:h =
= ,
111
∞−
011
:::
либо (110) для АВ и (110) для DE.
Получается, что различные грани одной и той же простой
формы описываются разнотипными символами.
Для устранения противоречия вводится четвертая координатная
ось U, которая составляет равные углы (120°) с осями X и У и
перпендикулярна оси Z (рис.4б).
Рис. 4. Индицирование граней гексагонального кристалла:
а – в трехосной системе координат; б – в четырехосной
Для описания грани в четырехосной координатной системе
используют четыре параметра а, b, е, с, причем а=b=е≠с, а в символ
плоскости или направления добавляется соответствующий четвертый
индекс i, определяемый из соотношения
l:i:k:h
= .
1111
(28)
В четырехосной системе координат (рис.4б) каждая из граней
той же гексагональной призмы ABCDEF отсекает на координатных
осях по два равных отрезка, которые отличаются лишь своими
наименованиями и знаками. Так, грань АВ параллельна оси U и
отсекает на оси X отрезок АО, на оси Y – от
резок ОВ = ОА; индексы
грани АВ
32
a:a
1
1
1
(
)
=++
l:i:k:h =
= или (1
(индекс i отвечает четвертой дополнительной оси).
Для других граней призмы получим ВС (0
DE (1100), EF (0110) и AF (1010).
Таким образом, применение четырехосной координатной
системы позволяет описать грани одной простой формы однотипными
символами {1100}. Поскольку геометрия кристалла исчерпывающе
описывается и в трехосной системе координат, а четвертый индекс
введен только для удобства, этот индекс всегда зависит от первых
двух
или
Таким образом, например, грань, имеющая в трехосной системе
координат символ (110), в четырехосной имеет символ (1120). Иногда
вместо четвертого индекса ставят точку (11.0).
Пример 1.
Найти символ плоскости, которой принадлежит грань,
указанная на рис.5.
1111
∞∞−
khi .
khi +−=
0
0011
:::::
00)
0), CD (1010),
(29)
(30)
Рис. 5. Гексагональная призма (к примеру задачи)
Последовательность решения задачи
Данная грань параллельна осям X, Y, U и от
отрезок a
33
секает на оси Z
a
()(
)
1111
= или (0001).
Пример 2.
Найти индекс i в четырехосной координатной системе, если
известны индексы h = 0 и k = -1.
Последовательность решения задачи
Индекс находится с помощью уравнения (29)
Симметрия структуры кристаллов. Решетки Бравэ.
Материальные частицы (атомы, ионы, молекулы), образующие
кристаллическую структуру, располагаются в пространстве
закономерно, периодически повторяясь в определенных направлениях,
через строго определенные промежутки. Геометрической схемой,
описывающей расположение материальных частиц в кристалле,
является пространственная решетка. Она строится на трех параметрах
решетки: a, b, c.
Исходя из идеи о периодическом расположении центров
тяжести сферических материальных частиц в кристаллическом
веществе, О.Бравэ в 1848 г. показал, что все многообразие
кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов
решеток, отличающихся по формам элементарных ячеек и по
симметрии и подразделяющихся на 7 кристаллографических
сингоний. Эти решетки были названы решетками Бравэ.
Каждая решетка Бравэ – это группа трансляций,
характеризующих расположение материальных частиц в пространстве.
Любую кристаллическую структуру можно представить с помощью
одной из 14 решеток Бравэ (табл.4).
∞∞∞
:::l:i:k:h =
110 =−−=+−= khi
.
1000
:::
34
Триклинная
14 решеток Бравэ
Тип решетки Сингония
Примитивная Базоцентри-
рованная
Объемноцен-
трированная
Таблица 4
Гранецентри-
рованная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая
P
P C
P C
I F
P
P
I
P
P I F
35
Координационное число и координационный многогранник.
Координационным числом (к.ч.) данного атома (иона) называется
число ближайших однотипных соседних атомов (ионов) в
кристаллической структуре. Если центры этих ближайших атомов или
ионов мысленно соединить друг с другом прямыми линиями, то в
общем случае получается координационный многогранник (к.м.).
Атом, для которого строится координационный многогранник,
находится в центре многогранника (рис.6). Координационный
многогранник не связан с внешней формой кристалла и не
соответствует ей.
Рис. 6. Координационные многогранники:
а – гантель, к.ч.=2;
б – треугольник, к.ч.=3;
в – тетраэдр, к.ч.=4;
г – кубооктаэдр, к.ч.=12
В структуре алмаза (рис.7) число ближайших соседних атомов
(к.ч.) равно 4, к.м. – тетраэдр.
В структуре сфалерита ZnS (рис.8) ионы серы, окружающие
цинк, и ионы цинка, окружающие серу, располагаются по вершинам
тетраэдра; к.ч.=4; к.м. – тетраэдр.
В структуре каменной соли (рис.9) к.ч.=6. Каждый ион натрия
окружен шестью ионами хлора, расположенными по вершинам
октаэдра. Такое же окружение характерно и для ионов хлора
относительно ионов натрия; к.м. – октаэдр.
В структуре NiAs
многогранники здесь иные: к.м. никеля – октаэдр, но к.м. мышьяка –
тригональная призма.
(рис.10) к.ч.=6, но координационные
36
Рис. 7. Координационный тетраэдр в
структуре алмаза
Рис. 8. Координационный тетраэдр в
структуре сфалерита
Рис. 9. Координационный октаэдр в
структуре каменной соли
Рис. 10. Схема элементарной ячейки
структуры NiAs (в правом верхнем
углу жирными линиями выделен к.м. –
тригональная призма)
37
В структуре CsCl (рис.11) ионы цезия, окружающие ион хлора,
так же как и ионы хлора, окружающие ион цезия, расположены по
вершинам куба; к.ч.=8; к.м. – куб.
В структуре флюорита CaF2 (рис.12) ион кальция окружен 8
ионами фтора, а ион фтора – 4 ионами кальция; к.ч. CaF =8; к.м. – куб;
к.ч. FCa =4; к.м. – тетраэдр.
Рис. 11. Схема элементарной ячейки
CsCl
Рис. 12. Схема элементарной ячейки
структуры CaF2
Для металлов характерно к.ч. = 12, для полупроводниковых
кристаллов к.ч. = 4 или 6.
Для жидкостей координационное число определяется
статистически как среднее число ближайших соседей любого атома.
По степени близости к.ч. жидкости к к.ч. кристалла судят о
квазикристалличности жидкости.
38
Плотнейшие упаковки частиц в структурах. Для
устойчивости кристаллической структуры требуется условие
минимума ее потенциальной энергии. При данной температуре у
вещества в твердой фазе уровень свободной энергии наинизший по
сравнению с жидкой и газообразной фазами. Одним из факторов,
уменьшающих потенциальную энергию, является максимальное
сближение структурных единиц, их плотнейшая упаковка. Тенденция
к осуществлению плотнейшей упаковки свойственна всем типам
кристаллических структур, но сильнее всего она выражена в
металлических и ионных структурах, где связи не направлены, атомы
или ионы можно считать сферическими.
Рассмотрим модель структуры, построенной из материальных
частиц одного сорта, имеющих сферическую симметрию, т.е. из
равновеликих, несжимаемых шаров, притягивающихся друг к другу.
Шары касаются друг друга, заполняя большую часть пространства.
Ионы не поляризуются, т.е. их сферичность не нарушается. Между
шарами имеются промежутки (пустоты).
Несколько простых экспериментов с шариками пинг-понга
т.) убедительно доказывают, что упорядоченное расположение
(16 ш
шариков приводит к более компактным сборкам, чем беспорядочное
(рис.13).
Рис. 13. Плотность упаковки беспорядочных и
упорядоченных систем
Стремление к минимуму потенциальной энергии означает, что
каждая частица должна взаимодействовать с возможно большим
числом других частиц; иначе говоря, координационное число должно
быть максимальным. Чем больше координационное число, тем больше
и степень заполнения (aV) в
39
структуре, т.е. отношение
3
4
4
4
2
8
заполнениястепень
=
шаровобъем
( )
пустотышарыобъемобщий
+
,
(31)
или
zV
a
V
T
V
ЭЯ
,
%
100⋅=
(32)
где z – число атомов в ЭЯ; VТ – объем атома; VЭЯ – объем
элементарной ячейки.
4
3
rV
π= ,
T
(33)
где r – атомный радиус (для примитивной кубической ячейки
r = a/2; для объемноцентрированной кубической ячейки
3
ar = ; для гранецентрированной кубической ячейки
2
ar = ).
Пример.
Рассчитать степень заполнения (aV) для кубической
гранецентрированной ячейки (рис.14).
Рис. 14. Кубическая гранецентрированная ячейка
Последовательность решения задачи
Для расчета используется формула (32). Для кубической
гранецентрированной ячейки из рис.14 получим
2
ar = ,
1
1
8
=⋅+⋅=z
46
,
тогда
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]