Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы проектирования экструзионных машин предприятий полимерных материалов. Учебное пособие.pdf
Расчет на устойчивость сердечника шнека можно связать с макси-
4
l
мальным критическим давлением P
, действующим в передней зоне
max кр
дозирования D2, используя выражение потенциальной энергии деформации в виде следующего уравнения:
AAU +=
, (9.44)
qp
dxqA
– работа распределенной осе-
xxq
где
изг
PA
=
p
l
1
=
∫
2
0
2
D
π
крmax
′′
x
λ
– работа продольной критической силы, вызванная
критическим давлением;
l
вой нагрузки;
1
=λ
x
∫
2
0
изг
2
dxyxEJU
)()(
– энергия изгиба сердечника шнека;
l
λ=
∫
0
2
′
dxy
)(
– перемещение точки приложения про-
дольной силы.
Форма прогиба оси шнека для расчетной схемы, приведенной на
рис. 9.1, будет иметь вид
x
cyπ= sin
, (9.45)
где с – постоянный параметр.
Подставляя выражение для U
, Ap, Aq в уравнение (9.44) и делая
изг
преобразования, получим окончательную формулу для критического
давления на шнек
=
P
крmax
5
10
55
−β+
2
2
π
−
DD
+
2
3
lllllll
+
4
4
π
3
l
12
2
8
π
2
π
l
EJ
1
2
l
=
π
l
2
cos
lD
+
24
l
22
6
32
ϕβ
l
−
33
−β+β+
2
6
4
π
−
DD
1
−
3
4
3
−
l
44
3
−β+
8
32
π
−
4
2
3
−
DDDD
l
112
2
221626
8
π
(9.46)
Коэффициент запаса устойчивости определится
n ≥=
P
крmax
[ ]
n
,
P
max
yy
.
61
где [ny] = 2,0...3,0 допускаемый коэффициент запаса устойчивости для
шнеков.
На основании полученных уравнений (9.32) – (9.35), (9.38) – (9.42)
и (9.46) составлен алгоритм и разработана программа расчета напряжений и перемещений в поперечном сечении шнека при продольнопоперечном изгибе. Схема алгоритма расчета шнека представлена на
рис. 9.6, текст программы на алгоритмическом языке BASIC, приводится в прил. 3 (программа 4).
9.1.7. Расчет консольного шнекового вала
Рассмотренная выше методика расчета на прочность и жесткость
шнековых валов основывалась на предположении, что шнек представляет
собой стержень шарнирно опертый по концам и загруженный по длине
распределенными нагрузками и моментами, изменяющимися по закону
синуса или косинуса. Витки при этом считались непрерывными, а давление действовало на каждый виток только со стороны его напорной части.
Такой подход не всегда может удовлетворить требованиям производства, так как прочность и жесткость вала зависят кроме того от перепада давления, гидромеханических сил, собственного веса и наличия
по длине вала разрывных витков.
На основании обобщений известных работ [13 – 19] нами предлагается методика расчета на прочность и жесткость длинных шнековых
валов с учетом действия перепада давлений, сил трения, собственного
веса и наличия разрывных витков для консольных шнековых валов с
постоянным поперечным сечением применительно к экструзионным и
литьевым машинам.
Основные положения и допущения:
1. Шнековый вал является балкой, закрепленной определенным
образом (рис. 9.7, в).
2. Давление Р (х) по длине вала является величиной известной
либо из эксперимента, либо из решения гидромеханической задачи.
3. Касательные усилия на поверхности вала определяются из гид-
ромеханического расчета или с помощью известного коэффициента
трения через давление.
4. Вал может иметь отдельные изолированные витки на длине,
равной одному шагу витка (рис. 9.7, а).
5. Начала всех витков находятся в одной плоскости, т.е. витки
могут быть повернуты одни относительно других на 180° (рис. 9.7, а).
6. Рабочая длина вала шнека имеет целое число витков.
на прочность и жесткость
62
1
3
4
5
6
7
8
10
данных: Р
D2, L, E, T, η, [σ], [ny]
Определение нормальной силы N
Определение момента M
Определение момента M
Определение момента M
Определение прогиба V
Начало
2
Ввод исходных
, D, D1,
max
13
эквивалентного напряжения
по IV теории прочности σ
14
Определение критического
X
x
y
давления Р
15
Вывод исходных данных и
результатов расчета:
Р
, D, D1, D2, L, E, T, x,
max
η, [σ], [ny], NX, Mx, My, Mz,
z
VY, VZ, V0, V(x), S,
σP, τ
Y
Определение прогиба V
Z
9
Определение суммарного прогиба
V
0
Определение полного прогиба V(x)
11
Определение max нормального
напряжения σ
max
12
Определение max касательного
напряжения τ
max
Рис. 9.6. Блок-схема алгоритма расчета шнека на прочность,
13
жесткость и устойчивость
12
Определение
max кр
max
16
Конец
, Р
max кр
, ny
э
63
а)
i
β
i
x
x
x
z
R
1
R
2
z
z
l
l
x
ic
x
i+1
max
x
ic
l
l
yi
Qyi
с
t
y
y
x
i
экспоненциальный
Закон изменения давления
б)
y
Расчетная схема
в)
линейный
M
Гильза
P
N
n
Вал
l
г)
Рис. 9.7. Схема действия внешних нагрузок на шнек
7. Необходимо задать или определить следующие величины:
а) основные размеры вала и витков;
б) основные характеристики нагрузки: р (х) – распределение давления по длине вала, МПа; Р
ла, МПа; τ (х) – касательные напряжения, действующие на вал, МПа.
в) основные характеристики прочности и жесткости вала: Е –
модуль упругости материала вала, МПа; [σ] – допускаемое напряжение
для вала, МПа; γ – удельный вес материала вала, Н/м3; f – коэффициент
трения; R1 – радиус вала с витками, м; R2 – радиус вала, м; l – длина вала
между опорами, м; L – длина консольной части вала, м; xi – расстояние
среднего сечения между i-м и i + l витками от опоры, м (рис 9.7, а);
xic – расстояние средней части i-го витка от опоры, м; ti – шаг i-го витка, м;
β
– средний угол подъема винтовой поверхности i-го витка; n – число
i
витков.
– максимальное давление на конце ва-
max
64
Порядок расчета максимальных напряжений и прогибов сле-
L
(
)
[
]
(){
}
2
дующий:
1. Определяется перепад давления по виткам по формуле
где
xP
xp
)( =
iimax
∆р (хic) = p (x
– при линейном законе распределении давления;
) – p (xi), (9.47)
i + l
α
= )(exp)(
Pxp
max
L
−
Lx
– при экспоненциальном законе распреде-
ii
лении давления; α – параметр распределения давления (определяется
экспериментально).
2. Если не заданы касательные напряжения, то они определяются
по формуле
τ (xi) = f p (xi). (9.48)
3. Производится расчет распределенной нагрузки от веса вала
2
.
πγ= Rq
(9.49)
2в
4. Определяются поперечные силы и моменты, действующие на
шнековый вал (рис. 9.5, в) по формулам (для изолированного витка)
у
i
( )
Qуi = ± ∆ p (xic) R2 t
2
2
2
1c
; (9.50)
i
t
2
2tg
( )
iiii
2
RRxtRRRxpM
2
1c2
i
.
π−τ++π−β∆±=
π
(9.51)
В этих формулах берется знак (+), если разрывной виток начинается с отрицательного напряжения относительно оси oy; знак (–), если
виток повернут на 180° (рис. 9.7, а). Для непрерывного витка Qуi = 0.
5. Расчет максимального крутящего момента, действующего на
вал, производится по формуле
n
1
i
n
( )
кркр
i
xpMM
∑∑
i
=−
c
1
tg
ii
32
++β∆==
3
t
ср
1
L
2
R
2
3
∫
RR
−
2
0
)(
dxx
τ
3
3
)(2
RR
−π
2
1
3
(9.52)
где
t −=
ср i
1
n
);(
xL
i
t
i
( )
2
i
.tg
π+=βRR
,
65
Если окажется, что максимальный крутящий момент М
2
2
ше допустимой величины
М
> [Мкр] = [τкр]Wр ,
кр max
где [τкр] – допустимое касательное напряжение на кручение;
кр max
W
p
=
боль-
3
R
π
2
–
полярный момент сопротивления при кручении, для шнека без внутреннего охлаждающего канала, то крутящий момент рассчитывается по
формуле
3
Mπ= , Н
кр
210n
N
⋅
м. (9.53)
в
Здесь N – мощность привода, Вт; nв – частота вращения вала шнека, об/с.
6. Определяется сжимающая продольная сила по формуле
n
п
1
i
n
xi
∑∑
1
i
==
( ) ( )
( )
βτ+∆==
cc
iii
2
2
1
.tg2
RRxxpNN
−π
(9.54)
2
Как видно из расчетной схемы (рис. 9.7, в) при достаточно регулярном расположении витков, в частности, в тех случаях, которые
имеют место в производстве, наибольшие напряжения возникают в сечении А, а наибольший прогиб возникает в сечении С на конце консольной части вала.
7. Максимальный изгибающий момент в сечении А от действия
весовой нагрузки
2
L
qM
−=
q
24
в
4
Lq
в
EJ
Наибольший прогиб вала от весовой нагрузки в сечении С равен
W
q
в
. (9.55)
в
3
l
l
−+−=
43
L
, (9.56)
L
где J – осевой момент инерции сечения вала.
8. Наибольший изгибающий момент в сечении А от поперечной
нагрузки Qуi и момента Муi
n
=
у
=
∑
−
i
1
∑
i
xQM
; (9.57)
icуiz
n
.
MM
(9.58)
у
i
1
−
66
Прогибы в сечении С от действия гидромеханических сил и мо-
π
ментов:
n
W
1
EJ
6
∑ ∑ ∑
= = =
i
1 1 1
n
1
EJ
6
∑ ∑ ∑
= = =
i
1 1 1
W
n
32
( ) ( )
i
n
i
n
2
−+=
cc
i
n
−+=
( )
362
i
xQxQLxQlL
iуiiуiiуiу
c
2
xMxMLMlL
iiiiiу
cc
3
; (9.59)
. (9.60)
9. Максимальный изгибающий момент в сечении А и максималь-
ный прогиб в сечении С при одновременном действии веса и гидромеханических сил:
2
+=
3
l
4
L
c
iуi
∑ ∑∑
i
n
уi
1
i
1
l
−+=
4
L
n
∑ ∑∑
1 1
= ==
i
n
1 1
= ==
2
Lq
M
max
W
1
6
EJ
в
2
4
Lq
вmax
n
1
i
n
уi
1
i
n
+
∑∑
1
==
i
4
+
2
c
n
−++
i
2
xQM
; (9.61)
c
iуi
n
−++
i
xMxMLMlL
cc
iуiiуi
2
3
)()(32
xQxQLxQlL
+
c
iуiiуi
2
2
.)(362
(9.62)
Учет продольной сжимающей силы проводится путем введения
коэффициента, равного
1
где
n
п
∑
i
xi
1
=
π==
вующая на шнековый вал;
=η
1
2
RPNN
– полная сжимающая нагрузка, дейст-
1max
=
N
Э
,
N
п
−
N
Э
EJ
– Эйлерова сила, при которой
2
)2( L
происходит потеря устойчивости вала.
67
Полный прогиб в сечении С при учете продольно-поперечного из-
4
гиба вала с достаточной для инженерных расчетов точностью можно
определить по формуле W = W
max
η.
11. Окончательное условие прочности и жесткости шнекового ва-
ла с учетом гидромеханических сил и веса вала при продольнопоперечном изгибе будет иметь вид
Здесь
2
WN
M
экв
W
3
RWπ
2
=
0
– осевой момент сопротивления вала изгибу;
N
max
п
++=σ
F
0
W
W ≤
max
=
N
1
−
N
п
+
W
0
][
W
п
Э
.
2
M
кр
W
0
][
σ≤
; (9.63)
2
RF π=
–
2
площадь поперечного сечения вала шнека; [W] – допускаемый прогиб
вала шнека, который не должен превышать величины радиального зазора между гребнем винтовой нарезки и внутренней поверхностью материального цилиндра.
Если условия прочности сечения вала не выполняются, то вал
ляжет на гильзу (рис. 9.7, г) и в опасном сечении А-А изгибающий момент определяют силы, расположенные до точки касания вала с гильзой. В этом случае в формуле (9.63) вместо L следует брать величину L
к
равную
4
2
WERL∆π
2
4
=
к
q
, (9.64)
в
где ∆W – зазор между гильзой и витком вала.
,
Суммы
c
Lxi≤
.
∑
=ni
M
и
yi
1
∑
xQ
следует считать для значений i при
iyi
c
=ni
1
Гидромеханические силы создают в материале вала постоянную
составляющую напряжений, а переменную составляющую – собственный вес вала. Таким образом, максимальную амплитуду растягивающих напряжений в материале вала можно определить по формуле
68
9.1.8. Расчет на усталостную прочность
2
Ψ
σ
2RLq
в
=σ
a
. (9.65)
3
π
2
Наибольшая постоянная составляющая напряжений
4
=σ
т
3
π
R
2
2
+π
PRWP
1max
max
2
π
RR
1
1
4
n
+
i
2
n
+
yi
1
∑∑
==
1
i
2
xQM
.
c
iyi
(9.66)
Эквивалентная амплитуда напряжений может быть определена по
формуле [22]:
σΨ+σ=σ
;
тдаэкв.а
σ
σ
σ
=Ψ
;
K
K
ддσ
K
σ
=
σ
д
ε
σ
1
−
+
1
, (9.67)
β
где Ψσ – коэффициент влияния асимметрии цикла; Kσд – действительный коэффициент концентрации; Kσ – коэффициент концентрации; εσ –
коэффициент, учитывающий влияние абсолютных размеров; β – коэффициент, учитывающий влияние поверхностной обработки.
Коэффициент запаса усталостной прочности рассчитывается
1
n ≥
−
=
K
σ
эквд
σ
][
n
, (9.68)
yy
где σ–1 – предел выносливости при изгибе; [ny] = 2 – нормативный коэффициент запаса усталостной прочности.
Следует отметить, что изложенная методика может служить для
оценки рациональности поворота отдельных витков на 180°.
Разработана программа для ЭВМ расчета на прочность и жесткость шнекового консольного вала с непрерывными и изолированными
витками. Порядок работы поясняется табл. 9.4, схемой алгоритма
(рис. 9.8) и текстом программы (прил. 3).
69
1
2
L
′
′
′∆±
=
R1, R2, L, l, x, x
Ввод исходных данных
(xi), E, [σ], [w], f, α, I, π, γ
Начало
, xi′, ti, βi , n, P(xi), P
i+1
max
, τ
3
Закон изменения давления по длине вала
x
PxP
)(
i+=max
i
или
)( =
i max
lPxP
4
Перепад давлений
∆
1 iii
+
)()()(
xPxPxP −=
5
Касательное усилие на виток
)()(
τ
xfPx =
i
6
Весовая нагрузка на вал
2
πγ=
Rq
2в
7
Поперечная сила на виток
)( tRxPQ
12
iyi
8
Средний угол подъема витка
tg
t
i
i
π+=β)(
RR
21
9
Средний шаг витка
n
1
=
t
ср
t
∑
n
=
i
1
10
70