Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы проектирования экструзионных машин предприятий полимерных материалов. Учебное пособие.pdf
Основные геометрические характеристики сердечника и профиля
l
ϕ
1
ϕ
ϕ
ψ
витка шнека: l – рабочая длина; n – число витков; t – шаг нарезки;
ϕ – угол подъема винтовой нарезки; D – наружный диаметр шнека;
D1 и D2 – диаметры сердечника вначале и в конце зоны дозирования,
соответственно; е – ширина гребня витка; α – угол наклона профиля
витка в плоскости, проходящей через ось шнека (для прямоугольного
профиля α = 0); d – диаметр внутреннего канала сердечника шнека.
В процессе интрузии на витки шнека со стороны перерабатываемого материала действует нормальное давление, которое по длине изменяется по линейному закону (рис. 9.1)
где x – текущая координата; P
тываемом материале, МПа.
В дальнейшем в расчетах будем исходить из предположения, что
давление P
ка. В действительности с противоположной стороны витка шнека действует противодавление, но, как показали экспериментальные исследования, они намного меньше основного напорного давления. Такое допущение хотя и приводит к некоторому завышению внешних нагрузок,
но значительно упрощает расчеты на прочность и обеспечивает больший запас прочности. На рисунке 9.4 дана схема действующих на витки шнека нагрузок.
y
2
/
M
кр
y = D
z
9.1.3. Нагрузки, действующие на шнек
x
PP
=
– максимальное давление в перераба-
max
действует только со стороны напорной части гребня вит-
max
q(x) sin
q(x)
q(x) cos
ϕ
, (9.28)
max
y
q
Р
z
M
кр
q(x) sin
x
q
y
z
Dср(x)
D (x)
D
Рис. 9.4. Схема действия нагрузок на виток шнека
51
Выражение для распределенной нагрузки
l
2
2
−++
l
t
π
2
2
2
4
витки шнека, имеет вид
−
Pxq
δ=22)(
max
−
где
=δ
4
диаметра витка;
2
DD
l
12
xD
)(
=
ср
2
)(
xD
ср
+
π+
t
)(xq
, действующей на
xDDDD
−
−
1
– элемент длины дуги среднего
121
, (9.29)
lxl
xDDDD
121
– текущий диаметр витка
шнека;
шнека (рис. 9.4);
=ψ
месте приложения распределенной нагрузки
Распределенная нагрузка
x
DDDxD )()(
−+=
2
– текущий диаметр сечения сердечника
121
x
– текущая угловая координата точки А в
)(xq
.
)(xq
приводит к составляющим нагру-
зок qx, qy, qz и распределенных моментов mx, my, mz относительно осей
х, у, z:
;cos)( ϕ−= xqq
x
y
z
xqm
x
y
z
ϕ−=
ϕ=
sin)(
ϕ=
ϕ=
ϕ=
;cossin)( axxqq
;sinsin)( axxqq
)(
xD
ср
;
(9.30)
)(
xD
ср
coscos)(
axxqm
sincos)(
axxqm
;
)(
xD
ср
.
Графики распределенных внешних нагрузок по длине шнека при-
ведены на рис. 9.3.
На торец шнека помимо распределенных нагрузок действует со
стороны напорной части сосредоточенная продольная сила (максимальное осевое усилие)
2
max
DPSπ
.
=
В результате действия всех указанных выше нагрузок сердечник
шнека испытывает продольно-поперечный изгиб и кручение.
52
9.1.4. Расчет внутренних усилий в поперечных сечениях шнека
∑
∑
∑
∑
∑
∑
4
При расчете шнека на прочность, жесткость и устойчивость вве-
дем следующие допущения:
− влиянием витков на общее напряженно-деформированное со-
стояние шнека пренебрегаем, так как размеры поперечного сечения
витка малы по сравнению с диаметром сердечника, а шаг нарезки достаточно большой по отношению к общей длине шнека;
− концевые сечения шнека имеют свободные опирания.
В рамках принятых допущений расчетная схема шнека принята,
как переменный по длине стержень круглого сечения с шарнирным
опиранием по концам (рис. 9.3).
Выражения для внутренних усилий
ются из условия равновесия выделенного элемента длиной dx (рис. 9.5)
;0;0
=+= dxqdNx
xx
dQdxqz
=+−= ;0;0 dxqdQy
zy
zz
xxx
=−= ;0;0
(9.31)
=+= ;0;0 dxmMm
dMdxQdxmm
yzyy
=−+= .0;0 dxQdMdxmm
yzzz
MMMN ,,,
определя-
zyxx
=−+−= ;0;0
Подставляя в эти уравнения выражения (9.9), (9.10) и удовлетворяя граничным условиям опирания шнека
;
−===
2
π
D
PSNlx
max
,0;0
===
MMx
zy
;0;
===
MMM
zyxx
получим окончательные формулы для определения внутренних силовых факторов:
max
2
D
π
;
4
cos)(
x
max
−
lPxN
ϕδ=
2
DD
1
4
x
1
−
2
l
−
−
6
3
DD
12
x
1
P
−
−
3
l
(9.32)
53
q
x
N
x
Nx + dNx
а)
б)
z
M
в)
y
M
z
г)
m
x
M
x
q
z
y
y
Q
z
z
Q
y
m
y
q
y
m
z
dx
Рис. 9.5. Схема действия внутренних усилий для элемента dx
sin
ϕ
)(
δ−=
x
max
2
DD
21
lPxM
1
1
−−
4
3
22
xD
1
−
2
28
l
3
1
xlx
−
3
12
l
2
1
2
D
1
3
2
4
1
x
2
D
2
−−
4
4
l
Mx + dMx
My + dMy
Qz + dQz
Mz + dMz
Qy + dQy
1
x
+−−
4
l
;1
2
2
x
x
2
l
l
1
−
−
2
12
(9.33)
54
sin
t
2
2
−>>+
y
z
Здесь
P
)(
=
xM
−
P
−
2
3
l
)(
−=
xM
−
P
−
2
3
l
2
aπ=
ϕδ
max
max
P
max
−
l
max
( ) ( )
( )
2
l
6
−
DD
12
sin
l
a
cos
ϕδ
( )
8
( ) ( )
DDD
211
2
2
DD
8
l
12
cos
x
x
sin
2
−×
ϕδ
6
a
ϕδ
( )
DDD
211
631
−×
aa
631
42
aa
( )
cos
l
42
l
2
sin
ax
ax
2
cos
DD
1
4
a
2
DD
1
a
ax
DD
1
4
x
34
a
2
DD
1
l
22
a
ax
ax
a
2
x
34
l
axx
22
x
ax
sincos
a
ax
a
2
2cos21
x
−+−+
a
x
3
6
x
x
a
a
ax
ax
sin
−+
a
cossin2
a
2
x
cossin
ax
a
cossin1
ax
2
a
axx
3
x
−+
a
a
2
2sin21
x
cos
−−−+
a
a
6
x
cos
ax
a
2sincos2
axx
ax
ax
axx
axx
axx
sin
−
+−−−
323
aa
4
x
−−−
+−−−
6
a
+−−
ax
6
33
−
32
a
1sincos1
+
++−
22
aa
2
x
−
ax
a
a
x
a
23
a
36
lx
−+
x
323
+−−+
a
+
2
33
a
2
+−
a
;
243
a
−
lx
−
242
lx
+−
a
xlax
.
.
Примечание: при выводе формул (9.32) – (9.35) принято δ ≈ const,
DDDD
так как в реальных шнеках
121
.
2
DD
12
(9.34)
2
DD
12
(9.35)
×−−
×−−
55
64
−
9.1.5. Определение прогибов шнека
Дифференциальные уравнения упругой линии шнека от попереч-
ных нагрузок в плоскостях ХОУ и ZОХ имеют вид:
2
Vd
y
xEJ =
)(
2
dx
2
Vd
z
xEJ =
)(
2
dx
M
; (9.36)
z
M
. (9.37)
y
Здесь Vy и Vz – прогибы в текущем сечении х в направлении осей у и z,
соответственно;
ния;
0
1
=
0
44
)(
dDJ−π
;
=β
4
)1()( xJxJ β+=
– момент инерции текущего сече-
DD
12
.
lD
1
Решение уравнений (9.36) и (9.37) позволит обоснованно назначить величину необходимого зазора между шнеком и стенкой материального цилиндра, а также проводить расчеты на прочность при продольно-поперечном изгибе. Известно, что для шнеков с расстоянием
между опорами l > 10D, что соответствует гибкости стержня λ > 50,
заметно увеличивается влияние напряжений от действия продольнопоперечного изгиба. Используя приемы решения дифференциальных
уравнений (9.36), (9.37), изложенные в работе [10], запишем окончательные выражения для прогибов:
sin
max
ϕ
+−×
ϕ
2
1
2
aL
445
10
301220
ϕ
−
DD
3
aL
18
+−β−
360
1230
)(
−
DD
12
22
al
334
xllxx
+−
12612
2
2
)(
12
5426
10
2
)(2
×−
DDD
121
4
×β−
556
xllxxxllxx
+−β+
−
602030
4325
14
xlxlx
+−
120
620
22
+−β+
840
2042
−
6527
xlxlxxlxlx
;
P
1
EJ
δ×
4
3
δ=
0
cos
P
max
8
cos
P
max
δ−
8
)(
xV
y
(9.38)
56
1
EJ
δ×
0
max
3
)(
xV
z
21
3
EJ
0
4
2
δ=
sin
δ+
cos
max
ϕ
P
8
)(
−ϕ
DDP
1
la
445
10
301220
sin
ϕ
P
+−×
max
2
5426
18
+−β−
360
1230
2
−
23
al
2
−
2
2)(
DD
12
DD
12
al
10
×δ−
3
334
xllxx
4
+−
12612
556
+−β+
602030
)(
2
×β−
xllxxxllxx
+
14
+−
120
620
22
+−β+
840
2042
4325
xlxlx
−
6527
xlxlxxlxlx
.
(9.39)
9.1.6. Расчет сердечника шнека на прочность,
жесткость и устойчивость при продольно-поперечном
изгибе и кручении
Расчет на прочность при продольно-поперечном изгибе с учетом
сжимающей осевой силы рекомендуется проводить при гибкости шнека λ > 50. В этом случае определение изгибающих моментов связано с
необходимостью вычисления прогибов шнека, так как полный результирующий момент равен сумме изгибающих моментов от поперечной
нагрузки и осевой силы
,)()(
xVxNMM +=
0и
где Ми – суммарный изгибающий момент в произвольном сечении
шнека;
0
22
)()()(
xMxMxM
+=
– результирующий изгибающий мо-
yx
мент в том же сечении только от поперечной нагрузки; N (x) V (x) – изгибающий момент от действия осевой силы, плечом которой является
прогиб V (x) рассматриваемого сечения.
Полный прогиб V (x) с достаточной для инженерных расчетов степенью точности можно определить по формуле
57
)(
64
64
xV
0
)(
Здесь
xV−=
1
22
)()()(
xVxVxV
0
+=
– прогиб данного сечения от действия
zy
.
)(
xN
S
0
только поперечных нагрузок; N (x) – осевая сила; SЭ – Эйлерова сила,
определяемая для стержней переменной жесткости по формуле
44
)(
dDJ−π
где
2
2
=
– наибольший момент инерции сечения сердечни-
S η=
Э
EJ
2
,
2
l
ка шнека; η – коэффициент, зависящий от способа опирания шнека и
J
отношения
отверстия в теле шнека;
1
(значения η приведены в табл. 9.4 [11]); d – диаметр
J
2
44
)(
dDJ−π
1
=
1
– наименьший момент инер-
ции сечения сердечника шнека.
Условия прочности и жесткости при продольно-поперечном изги-
бе имеют вид:
max
max
)(
xN
)(
xF
)()(
)(
xM
0
)(
xW
xVxN
[ ]
σ≤++=σ
)(
xW
; (9.40)
Таблица 9.4
q
J
1
x
J
2
S
Схема
l
J
1
J
2
η
0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
– 3,12 4,41 6,24 7,64 8,83
n 0 0,25 0,5 0,75 1,0
η0
9,87 8,62 7,40 6,08 4,77
58
xV
16
4
[
]
σ
)(
V ≤
max
0
=
N
−
1
S
max
Э
[ ]
V
, (9.41)
где F (x), W (x) – площадь и момент сопротивления данного поперечного
сечения сердечника шнека; [σ] – допускаемое напряжение материала
шнека; [V] – допускаемый прогиб шнека, значения которого для диаметров шнека D ≤ 125 мм равно [V] ≈ 0,005D [мм], для диаметров
D >125 мм допускаемый прогиб [V] ≈ 0,002D [мм].
При совместном действии крутящего и изгибающих моментов от
продольных и поперечных сил все точки поперечного сечения шнека
будут находиться в условиях плоского напряженного состояния. В этом
случае условие прочности шнека (согласно энергетической теории
прочности) имеет вид
22
[ ]
σ≤τ+σ=σ
)(
xM
где
мента )(
x
=τ – касательное напряжение от действия крутящего мо-
)(
xW
p
xM
;
xW
x
p
э
3
π=xD
)(
4 , (9.42)
)(
4
)1(
α−
– полярный момент сопротивле-
ния в текущем сечении шнека в
d
=α
. Нормальное напряжение σ в
)(xD
текущем сечении шнека определяется по формуле (9.40).
Кроме расчета на прочность и жесткость сердечник шнека проверяется на устойчивость по формуле
N
max
F
где
N
– осевая сжимающая сила на конце шнека с учетом осевой
max
распределенной нагрузки q
сечения сердечника шнека,
; F2 – максимальная площадь поперечного
x
2
пряжение при сжатии материала шнека,
[ ]
σϕ≤
, (9.43)
2
=
c
22
)(
dDF−π
2
[ ]
;
σ
– допускаемое на-
c
т
=σ
;
σ
– предел текуче-
т
[ ]
n
сти материала шнека; [n] – допускаемый коэффициент запаса прочности (для стали [n] = 1,6); ϕ – коэффициент продольного изгиба, зависит
от материала и гибкости стержня.
59
Гибкость λ
π
x
ϕ для стали повы-
шенного качества
≥σ
320 МПа
т
Таблица 9.5
0 10 20 30 40 50 60
1,00 0,97 0,95 0,91 0,87 0,83 0,79
Гибкость λ
70 80 90 100 110 120 130
ϕ для стали повы-
шенного качества
≥σ
320 МПа
т
Гибкость λ
0,72 0,65 0,55 0,43 0,35 0,30 0,26
140 150 160 170 180 190 200
ϕ для стали повы-
шенного качества
≥σ
320 МПа
т
0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14 0,13
Значения коэффициента ϕ для легированных сталей приведены в
табл. 9.5 [12].
Значение гибкости с учетом переменности сечения шнека по дли-
не определяют по формуле
l
=λ
2
dD
i +=
2
1
4
– максимальный радиус инерции сечения сердеч-
2
D
2
где
ника шнека; η0 – коэффициент, зависящий от параметра n, представляющего собой отношение равнодействующей силы от распределенной
нагрузки
N
00=
к Эйлерову значению критической силы для стержня
,
i
η
0
SЭ:
DDDD
−
cos
lP
−ϕδ
0
xN
=
0
n
=
S
э
Значения коэффициента
60
max
=
0
EJ
2
η
2
l
)(
nf=η
приведены в табл. 9.4.
−
+
121
64
.