Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптические свойства тонких диэлектрических пленок. Учебное пособие
.pdf
s
а
Здесь
rr ikh rr khir kh
r
TE
1exp(2)1 cos2 sin2
t
TE
1exp(2)1 cos2 sin2
exp( 2 ) cos 2 sin 2
sf fc fx sf fc fx fc fx
rr ik h rr k h irr k h
sf fc fx sf fc fx sf fc fx
aib aa bb abab
11 1212 1221
aib
22
exp( ) cos2 sin 2
tt ikh tt kh itt kh
sf fc fx sf fc fx sf fc fx
rr ik h rr k h irr k h
sf fc fx sf fc fx sf fc fx
aib aabb abab
3 3 32 32 32 23
aib
22
22 22
ab ab
22 22
22 22
ab ab
22 22
i
i
,
(4.1)
.
(4.2)
ar r kh
1
sf fc fx
br kh
1
fc fx
1cos2,
arrkh
2
brr kh
2
sf fc fx
att kh
3
sf fc fx
btt kh
3
sf fc fx
cos2 ,
sin 2 ;
ffc fx
(4.3)
sin 2 ;
cos 2 ,
sin 2 .
Тогда коэффициент отражения (4.1) можно представить в виде
rM i
TE r r
exp ,Φ
(4.4)
где
aa bb ab a b
M
r
12 12 12 21
22 22
ab ab
22 22
22
(4.5)
является модулем, а
61
r
ab a b
arctg , когда 0;
12 21
aa bb
12 12
ab a b
arctg ,
arctg ,
12 21
aa bb
12 12
ab a b
12 21
aa bb
12 12
когда 0,
ab a b
12 21
когда 0,
ab a b
12 21
когда 0,
/Ф2,
a
1
когда 0,
/2,
ab a b
12 21
aa bb
12 12
aa bb
12 12
aa bb
12 12
aa bb
12 12
bab
221
aa bb
12 12
– аргументом (фазой) этого коэффициента.
Такой же вид получает и коэффициент пропускания
tMi
TE t t
exp Φ
, (4.7)
где его модуль и аргумент (фаза) соответственно равны:
aa bb ab ab
M
t
arctg , когда 0;
arctg ,
t
arctg ,
32 32 32 23
22 22
ab ab
22 22
ab ab
32 23
aa bb
12 12
ab ab
32 23
aa bb
12 12
ab ab
32 23
aa bb
12 12
/2,
/2,
22
, (4.8)
aa bb
12 12
когда 0,
ab ab
32 23
когда 0,
ab ab
32 23
когдФа 0,
ab ab
32 2
когда 0,
ab ab
32 23
aa bb
12 12
aa bb
12 12
aa bb
12 12
3
aa bb
12 12
0;
(4.6)
0;
0;
0
0;
(4.9)
0;
0;
0.
62
Краткие пояснения методики вычисления «многозначных» значе-
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
ний аргументов (
Фазовые сдвиги
Ф,Ф
rt
Ф
) даны в приложении.
Ф
и
r
появляются в отраженной и прошедшей
t
волне в результате прохождения падающей световой волны через диэлектрическую пленку с двумя границами раздела слоев: s–f и f–c.
Подобным образом могут быть получены показательные формы коэффициентов отражения и пропускания пленки при ее освещении ТМполяризованной плоской волной. В целях более глубокого понимания
материала и закрепления навыков вывода такую работу рекомендуется
читателю провести самостоятельно (см. раздел «Контрольные вопросы
и задания», п. 3). Их необходимо получить в виде
rMi
TM r r
tMi
TM t t
exp Φ
exp .Φ
, (4.10)
(4.11)
Таким образом, изучение зависимости коэффициентов отражения и
пропускания пленок, имеющих комплексный характер, от угла падения
плоских световых волн (
) и их поляризации можно проводить в два
этапа: вначале путем раздельного получения зависимостей модулей M
и фаз таких коэффициентов от углов падения
, а затем путем сов-
местного анализа полученных данных.
Поясним сказанное на примерах изучения функций M(
) и (
),
полученных для пленки толщиной 2 мкм с показателями преломления диэлектрических слоев
n
= 1,5, fn = 2,
n
= 1,6 на длине волны
c
= 0,5 мкм. Углы наклона плоских волн изменялись в диапазоне
≤ /2. Во всем диапазоне изменения углов s полного внутреннего
0 ≤
отражения на границах слоев s–f и f–с не возникало.
Графики функций M(
) и (
ствуют коэффициенту отражения
r
отражения
(4.10). Первая пара таких функций получена по форму-
TM
), показанные на рис. 4.1, соответ-
r
(4.4), а на рис. 4.2 – коэффициенту
TE
лам (4.5) и (4.6), вторая – по формулам, аналогичным (4.5) и (4.6) (выше
их рекомендовано читателю вывести самостоятельно). Для сравнения
на рис. 4.1 и 4.2 пунктиром показаны также графики зависимости моду-
лей коэффициентов отражения Френеля
r и
r от углов падения
f
f
плоских волн. Такие графики, как следует из раздела 3.1, получены по
формулам
63
s
s
f
s
s
s
s
s
s
s
k
k
fx f
()
()
,
kk
()
r
sf s
где
xs fx f
kk
xs fx f
arcsin sin
() ( )
() ( )
n
s
n
f
. Первая из них соответствует случаю ТЕ-по-
s
и
r
sf s
()
k
sx s
nn
k
sx s
nn
()
22
sf
()
22
sf
ляризации поля, вторая – случаю ТМ-поляризации.
Из графиков, изображенных на рис. 4.1 следует, что при изменении
угла падения плоских волн от 0 до /2 модуль коэффициента отражения
Френеля | ( ) |
ного единице. На этом фоне функция M(
r монотонно увеличивается и достигает значения, рав-
fs
), соответствующая измене-
нию модуля коэффициента отражения пленки, также сохраняет общую
тенденцию к увеличению, однако при этом ее значения могут быть
меньшими или большими «пунктирных» френелевских значений. Это
определяется законом изменения фазы (
): при отрицательных значе-
s
ниях фазы модуль коэффициента отражения уменьшается, при положительных значениях – увеличивается. Точками 1, 2, 3, 4, 5, ... отмечены
значения углов падения, при которых фаза коэффициентов отражения
«переключается» и принимает значения ±рад. При этом максимальные значения фазы не превышают значений ± радиан.
Не менее интересные закономерности можно наблюдать и на
рис. 4.2. Здесь, как и на рис. 4.1, пунктиром показан график зависимости
модуля коэффициента отражения Френеля | ( )|
0
Б
s
Б
s
он принимает нулевое значение, а при
плоской волны. При углах
уменьшается, при угле
углах
Б
ss
нице. Угол
/2
быстро увеличивается до значения, равного еди-
, при котором коэффициент отражения | ( ) | 0
Б
r от угла падения s
fs
модуль коэффициента | ( ) |
r, при-
sf s
r
fs
нято называть углом Брюстера. При таком угле падения ТМ-поляризованной волны, как отмечено в [14], отраженных электромагнитных волн
в диэлектриках не возникает. Такой же общий характер зависимости от
угла падения плоской волны имеет и модуль коэффициента отражения
64
Рис. 4.1. Характер изменения модуля и фазы коэффициента отражения
s
s
s
пленки от угла падения ТЕ-поляризованной плоской волны
Рис. 4.2. Характер изменения модуля и фазы коэффициента отражения
пленки от угла падения ТМ-поляризованной плоской волны
()
пленки
участках изменения углов
M
. Отличия проявляются только в том, что на отдельных
он принимает значения или меньшие, или
большие тех, которые отмечены пунктирной линией, что, естественно,
тесно связано с характером изменения функции
Ф( ).
Как и в преды-
дущем случае, при положительных значениях фазы намечается тенденция к увеличению значений модуля коэффициента отражения, при отрицательных – к уменьшению его значений. Более резкие изменения
65
фазы
s
s
s
s
s
f
f
f
f
f
Ф( )
наблюдаются при приближении к углу Брюстера
и
Б
прохождении его окрестности в области малых (но не нулевых) значе-
()
ний модуля
M
изменение фазы от ±рад до
фазы слева и справа от угла Брюстера
. В точках 1, 2, 3 и т. д. происходит скачкообразное
рад. При этом характер изменения
является асимметричным. За-
Б
служивает дополнительного и более тщательного изучения поведение
функции
Ф( )
в точке, отмеченной цифрой 2.
В целом же графики, изображенные на рис. 4.1 и рис. 4.2, несут в
себе полную информацию о значениях модулей и фаз коэффициентов
отражения пленки при углах падения ТЕ- и ТМ-поляризованных волн в
диапазоне от 0 до /2. Подобным образом могут быть получены данные
о значениях модулей и фаз коэффициентов пропускания, определяемых
выражениями (4.8) и (4.9).
4.2. Характер зависимости отражательной
и пропускательной способности пленок
от их оптической толщины
Согласно формулам (3.47) и (3.49) отражательная R и пропускательная T способность диэлектрических пленок зависит не только от поляризации и углов падения плоских световых волн, но и от набега фазы
поперечных волн на расстояниях, равных их толщине. Значение такой
фазы находится по формуле
kh kn h H
kkn – волновое число поперечной плоской волны (см.
где cos
xf f
рис. 3.1);
n и h – показатель преломления и толщина пленки, а k = 2/ –
fx f f
cos ,
волновое число световой волны в вакууме. Вводимый здесь параметр
2
(4.12)
cos
Hn h (4.13)
f
принято называть оптической толщиной пленки, измеряемой далее в долях длины волны , а произведение cos
лем преломления
эф
, зависящим от угла наклона .f
n
n – эффективным показате-
66
f
Выясним характер зависимости коэффициентов R и T, как энергети-
f
s
f
A
ческих характеристик отражения и пропускания пленок, от их оптической толщины. При этом изменение параметра H может достигаться путем изменения показателя преломления
n или толщины пленки h.
С этой целью из (3.47) с учетом (4.13) получим выражения
2
22
rrrr H
sf fc sf fc
() ;
RH r
kk
TH t
()
kk
2
TE
12cos2
rr rr H
2
cx cx
TE
sx sx
12cos2
22
fc sf sf fc
22
tt
sf fc
22
rr rr H
fc sf sf fc
cos 2
(4.14)
2
, (4.15)
2
где переменной величиной является оптическая толщина H, а ( , )
rt – френелевские коэффициенты отражения и пропускания
и ( , )
cfc
rt
fsf
света на границах s–f и f–c пленки (см. раздел 3.1).
Найдем вначале значения коэффициентов R и T при «четвертьволновых»
H
/4, 3/4, 5/4, 7/4,... (4.16)
и «полуволновых» толщинах
H
/2, 2/2, 3/2, 4/2,... (4.17)
B
Из (4.14) и (4.15) следует, что при толщинах (4.16)
sf fc
2
; (4.18)
2
(4.19)
,
rr
RH
()
TH
()
A
A
sf fc
rr
1
sf fc
tt
k
cx
krr
1
sx sf fc
67
а при толщинах (4.17)
f
s
s
RH
()
B
sf fc
2
; (4.20)
rr
sf fc
rr
1
tt
()
TH
k
B
krr
sf fc
cx
1
sx sf fc
2
. (4.21)
Без потери общности будем считать, что угол наклона падающей
световой волны
(рис. 3.1). В этом случае углы наклона f и
s
0
также равны нулю. Кроме того, из (4.13), а также из (3.26) и (3.27) с учетом (3.1) следует, что
nn n n n
rrtt
sf fc sf fc
nn n n nn n n
Hnh , а
2
ffc f
; ; ;
ffcsffc
n
s
2
. (4.22)
Подставляя значения (4.22) в выражения (4.18)–(4.21), получим значения отражательной и пропускательной способности пленки при «четвертьволновых»
2
nn n
()
RH
A
()
TH
A
nn n
nn n
2
sc f
2
sc f
2
4
nnn
fsc
sc f
; (4.23)
(4.24)
2
2
c
и «полуволновых» толщинах
nn
sc
2
; (4.25)
. (4.26)
2
nn
sc
RH
TH
()
B
()
B
nn
sc
4
()
nn
sc
68
Простым сложением выражений (4.23) и (4.24), а также выражений
f
f
f
f
s
s
f
s
A
A
f
A
(4.25) и (4.26) находим, что
()()1,()()1.
RH TH RH TH
AA BB
(4.27)
Равенства (4.27) соответствуют закону сохранения энергии.
Выражение (4.23) интересно тем, что при выборе показателя преломления
nnn
отражательная способность пленки с «чет-
cs
вертьволновой» толщиной будет равна нулю. Поток энергии из подложки в защитный слой будет следовать без потерь на отражение. Од-
нако при выборе
nnn
, как показано далее, отражательная спо-
cs
собность пленки отличается от нуля и повышается по мере увеличения
значения .
n
Не менее интересным является и выражение (4.25). Так, из него следует, что отражательная способность пленки с «полуволновой» толщи-
ной не зависит от показателя преломления пленки
деляется значениями показателей преломления подложки
n
ного слоя
. Если, к примеру,
c
слой меняются местами), то
значениях
n . В этом примере пропускательная способность пленки,
n
= 1, а
()0,04
RH
B
n
= 1,5 (подложка и защитный
c
. Таким оно будет при любых
n и целиком опре-
n
и защит-
как следует из (4.26), будет равна 0,96.
Общий характер зависимости отражательной способности диэлектрических пленок от их оптической толщины иллюстрируется графиками 1, 2, 3, 4, 5, 6, изображенными на рис. 4.3. Они получены из выра-
жения (4.14) при ранее упомянутых условиях: 0
n
= 1,5, а fHnh . Оптические толщины пленок изменялись в преде-
c
;
sfc
n
= 1,
лах 0 ≤ H ≤ 2. В этих же пределах находятся и выборочные значения
«четвертьволновых»
H
и «полуволновых» толщин
H
из (4.16) и
B
(4.17). График 1 (рис. 4.3) соответствует пленке с показателем преломления
nnn
fcs
нах ее отражательная способность
гих значениях
n , указанных по возрастанию, отражательная способ-
. В этом случае при «четвертьволновых» толщи-
1, 2 2
()
RH
равна нулю. Однако при дру-
()
ность
RH
начинает увеличиваться, и при fn = 3 достигает
значений, превышающих 0,5. На графиках 1, 2,..., 6, изображенных на
69
рис. 4.3, находим подтверждение тому, что при «полуволновых» толщи-
f
A
f
f
f
H
нах
зателя преломления
отражательная способность пленок
B
n и согласно выражению (4.25) равна 0,04. Значе-
ния функций R(H) при всех промежуточных (между
()
RH
B
не зависит от пока-
H
и
H
) толщи-
B
нах H показаны на графиках (рис. 4.3). При любом из показателей преломления пленки
n значения R(H) повторяются с периодом /2.
Характер зависимости пропускательной T(H) и для сравнения отражательной R(H) способности пленок с показателями преломления
n = 2
(графики 5) и
n = 3 (графики 6), показанные соответственно синим и
красным цветом, изображены на рис. 4.4 (цветной рисунок см. на третьей странице обложки). Графики получены из выражений (4.14) и
(4.15) при условиях, отмеченных выше.
Рис. 4.3. Графики зависимости отражательной способности диэлектри-
ческих пленок от оптической толщины Н с показателями преломления:
1 – nf = 1,22; 2 – nf = 1,4; 3 – nf = 1,5; 4 – nf = 1,7; 5 – nf = 2,0; 6 – nf = 3,0
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]