Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптические свойства тонких диэлектрических пленок. Учебное пособие
.pdf
6. Поперечные и продольные электрические (магнитные) поля. Поясните физические механизмы их формирования и способы вычисления
потоков энергии.
Волновые уравнения поперечных электрических и магнитных по-
7.
лей диэлектрической пленки. Укажите общие решения волновых уравнений и их физический смысл.
Характеристические матрицы диэлектрических пленок в случаях
8.
ТЕ- и ТМ-поляризованных световых полей. Их назначение, свойства, ти-
повые подстановки и роль граничных значений.
41
f
s
s
A
A
s
s
s
s
f
3. ОТРАЖАЮЩИЕ И ПРОПУСКАЮЩИЕ
СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПЛЕНОК
3.1. Отражение и пропускание ТЕ-
и ТМ-поляризованных плоских световых волн
Случай ТЕ-поляризации. Схема прохождения ТЕ-поляризованной
k
соответ-
с
n по-
E па-
y
наклонной плоской волны в пленке с показателем преломления
казана на рис. 3.1. Как и ранее, полагаем, что пленка находится на под-
n
ложке с показателем преломления
n
казателем преломления
. Здесь
c
и покрыта защитным слоем с по-
,
B
и
s
– амплитуды напряжен-
c
ности электрического поля падающей, отраженной и прошедшей волны,
распространяющихся с волновыми векторами
kk
f
и
,
ственно. Углы наклона волновых векторов относительно нормали X показаны на рисунке. Вектор напряженности электрического поля
раллелен границам раздела диэлектрических слоев s–f и f–c.
Значения и направления распространения модулей волновых векто-
ров поперечных ( , ,
kkk ) и продольных ( , ,
xfxcx
kkk) плоских волн
zfzcz
в каждом из слоев отмечены в соответствующих им прямоугольных треугольниках:
kkn kkn
xs s szss
kkn kkn
xf f fzf f
kkn kkn
cx c c cz c c
cos , sin
cos , sin
cos , n
.si
42
,
(3.1)
,
s
A
s
A
Рис. 3.1. Распространение ТЕ-поляризованной плоской
световой волны в диэлектрической пленке
Модули продольных волновых компонент поля на границах s–f и
f–c равны между собой, что легко доказывается с помощью закона
Снеллиуса. Их записывают в виде равенства
kkk
sz fz cz
,
β
(3.2)
где является постоянной распространения.
Амплитуды отраженной
и прошедшей
волны в пленке, как
c
B
будет показано ниже, являются комплексными величинами. Это объясняется тем, что ее толщина (h ~ намного меньше размера распространяющегося плоского волнового фронта. При прохождении через пленку
плоская волна испытывает многократное отражение и преломление на
B
s–f и f–c границах раздела слоев, а амплитуды отраженной
шей
волны являются результатом алгебраического сложения (соот-
c
и прошед-
ветственно в подложке и защитном слое) многих вторичных плоских
волн со своими амплитудами и фазовыми задержками. В силу этого
43
комплексными величинами будут и коэффициенты отражения (
s
B
A
s
f
s
A
s
f
f
B
A
t
преломления (
) пленки, определяемые отношениями амплитуд
TE
A
rt
TE TE
и
SS
c
. (3.3)
A
Найдем их значения, определив вначале электрические поля в подложке, пленке и защитном слое.
Из рис. 3.1 (или рис. 2.9) следует, что такие поля, зависящие от переменных x и z, можно найти исходя из выражений
,exp expe() xp ,
Exz A ikxB ikx ikz
s sx s sx sz
r
) и
TE
,exp expe() xp ,
Exz A ikxB ikx ikz
,exp(e)xp()
Exz A ik xh ikz
ccсxcz
0, ,xz
ffxffxfz
0, ,xh z
, .xh z
(3.4)
(3.5)
,
(3.6)
Можно видеть, что поле (3.4) формируется в результате сложения в
подложке двух наклонных (падающей и отраженной) плоских волн с ам-
плитудами
встречных наклонных плоских волн с амплитудами
B
и
, поле (3.5) – в результате сложения в пленке двух
A и
, а поле
(3.6) – в результате прохождения в защитном слое наклонной плоской
волны с амплитудой
. С учетом (3.2) волновые компоненты продоль-
c
ных волн во всех слоях можно заменить на постоянную распространения . Поперечные составляющие этих полей, зависящие только от переменной x, в каждом из слоев выделены круглыми скобками. С их помощью можно рассчитать амплитуды поперечных электрических полей
при всех соответствующих им значениях x.
Описание электрических полей будем далее проводить с помощью
функций U(x) и V(x) = iU'(x), введенных в разделе 2.7. В этом случае
можно вычислять не только амплитуды таких полей, но и скорости их изменения в каждой из точек x (здесь «'» является символом первой производной функции U(x) по x). Выполнив такой переход получим, что
44
в области x ≤ 0
s
A
s
A
f
f
B
s
f
() ()
U x E x A ikx B ikx
sss sxssx
() () exp exp );
Vx iE x k A ikx B ikx
s s sx s sx s sx
exp exp ,
(3.7)
(
в области 0 ≤ x ≤ h
() ()
U x E x A ikx B ikx
fff fxffx
() () exp exp ),
V x iE x k A ikx B ikx
fffxffxffx
exp exp ,
(3.8)
(
а в области x h
() (exp ),
Ux Ex A ik xh
ссссx
() () (exp ).
Vx iEx kA ik xh
сссxc сx
(3.9)
Однако использование этих выражений затруднено тем, что амплитуды плоских волн, участвующих в формировании полей (3.7)–(3.9), являются неизвестными. Исключение составляет только амплитуда пада-
ющей волны
извольной и выбранной заранее. Поскольку амплитуды
ются искомыми, то исключению подлежат амплитуды
, которая по условию решаемой задачи может быть про-
B
и
явля-
c
A и
плос-
ких волн в самой пленке. С этой целью найдем параметры поперечных
электрических полей (3.7)–(3.9) на границах s–f и f–c ее слоев. Так, из
(3.7) и (3.8) следует, что при x = 0 амплитуды и скорости изменения таких полей на границе s–f будут равны:
со стороны подложки
0
() ,
UAB
()
VkAB
sss
0 ( );
sx s s
со стороны пленки
0
() ,
UAB
fff
0 ( ).
()
VkAB
fx f f
(3.10)
Тогда непрерывность полей (3.7) и (3.8) на границе s–f будет выполняться при условиях
() () (),0
UUU
sf
() () ().
0 0 0
VVV
sf
00
(3.11)
45
В свою очередь, из выражений (3.9) и (3.10) вытекает, что при x = h
p
f
f
f
f
f
f
f
B
амплитуды и скорости изменения полей на границе f–c будут равны:
со стороны
пленки
(
U h A ikh B ikh
ff fxffx
V h k A ik h B ik h
sfxf fxffx
exp exp ,
( exp ex
));()
со стороны
защитного слоя
() ,
Uh A
cc
() .
Vh kA
ccxc
(3.12)
Как и ранее, условиями непрерывности полей на границе f–c будут
равенства
() () (),
Uh Uh Uh
Vh Vh Vh
fc
() () ( ).
fc
(3.13)
Поскольку состояние электрического поля на границе s–f со стороны пленки определяется выражениями
(0)
UAB
(0) ( , ),
VkAB
ff
(3.14)
xf f
то, как показано в разделе 2.7, амплитуду U(x) и скорость изменения V(x) поля при значениях 0 ≤ x ≤ h можно находить из матричного
уравнения
(0) ( )
UUx
(0) ( )
VVx
mm
11 12
mm
21 22
, (3.15)
где
cos ,
mkx
11
mkx
i
sin ,
12
k
fx
mik kx
x
21
xfx
x
sin ,
mkx
cos
22
x
являются элементами характеристической матрицы пленки (2.91). Здесь
в явном виде амплитуды плоских волн
A и
уже отсутствуют. Вме-
сто них в (3.15) присутствуют граничные значения поля U(0) и V(0), показанные в (3.14).
46
При x = h уравнение (3.15) с элементами характеристической мат-
f
f
f
f
s
s
s
A
s
A
A
s
рицы
cos
mkh
11
mik kh
21
,
mkh
x
sin
xfx
i
sin
12
k
fx
,
cos
mkh
22
,
x
x
принимает вид
UUh
(0) ( )
VVh
(0) ( )
mm
11 12
mm
21 22
(3.16)
и становится матричным уравнением связи состояний электрического
поля пленки на ее границах s–f и f–c.
Примем теперь во внимание, что значения параметров электрического поля на границах s–f и f–c равны:
со стороны
подложки
(0)
UAB
ss
(0) ( );,
VkAB
xs s
со стороны
защитного слоя
Uh A
() .
Vh k A
,()
c
cx c
(3.17)
Это следует непосредственно из равенств (3.10) и (3.12). Подставляя
теперь значения (3.17) в (3.16), получим матричное уравнение
BA
sc
( )
kAB kA
xs s cxc
mm
11 12
mm
21 22
, (3.18)
,
содержащее только амплитуды
B
и
s
. Первая из них является ам-
c
плитудой падающей волны, задаваемой заранее, а две остальные – амплитудами отраженной и прошедшей плоских волн, подлежащими
определению. Такие амплитуды находятся из уравнений
( )
AB m mkA
ss cxc
( ,
kA kB m mk A
xs sxs cx c
11 12
21 22
,
(3.19)
)
получаемых из (3.18) путем выполнения операции матричного умножения.
47
Если левую и правую часть первого из уравнений (3.19) умножить
B
A
s
A
s
B
A
s
s
s
s
A
A
()
на
mmk
21 22
, а левую и правую часть второго – на
cx
(),
mmk
11 12
cx
то после сложения полученных результатов и преобразований получим
равенство
()
Amk m mk mkk
Ssx cx sxcx
Ssx cx sxcx
в котором амплитуда
Разделив правую и левую часть выражения (3.20) на
11 21 22 12
(),
mk m m k mkk
11 21 22 12
будет отсутствовать.
c
(3.20)
, после пре-
образований с учетом (3.3) получим, что
mk m m k mk k
11 21 22 12
r
TE
Ssxcxsxcx
sx cx sx cx
mmkmkmkk
21 11 22 12
.
(3.21)
Если теперь левую и правую часть первого из уравнений (3.19) умно-
k
жить на
, а левую и правую часть второго – на единицу, то после сло-
x
жения полученных результатов и преобразований получим выражение
kA Amk m mk mkk
xS c sx cx sxcx
()2,
11 21 22 12
(3.22)
в котором будет отсутствовать амплитуда
Разделив левые и правые части (3.22) на
B
.
, после преобразований
с учетом (3.3) получим, что
Ak
t
TE
csx
mkmkmkkm
21 11 22 12
Ssxcxsxcx
2
.
(3.23)
Подставляя теперь в выражения (3.21) и (3.23) значения элементов
характеристической матрицы пленки, принятых в (3.16), получим, что
kk
kkhik khkkhi kh
cos sin cos sin
sx fx fx fx cx fx fx
r
TE
kkhik khkkhi kh
cos sin cos sin
sx fx fx fx cx fx fx
t
TE
kkhik khkkhi kh
cos sin cos sin
sx fx fx fx cx fx fx
k
2
sx
48
sx cx
k
fx
kk
sx cx
k
fx
kk
sx cx
k
fx
,
(3.24)
.
Поскольку выражения (3.24) содержат вещественные и мнимые ком-
s
s
f
f
s
поненты, то уже на этой стадии можно отметить, что ожидаемые значения коэффициентов отражения и коэффициентов пропускания пленки
будут комплексными величинами.
Дальнейшее преобразование выражений (3.24) предлагаем читателю
выполнить самостоятельно с учетом известных равенств
cos (exp exp ),
sin (exp exp ) .
kh ikh ikh
1
kh ikh ikh
fx fx fx
2
i
fx fx fx
2
В результате должно быть показано, что такие выражения приводятся к виду
rr jkh
,
r
TE
1exp(2)
t
TE
1exp(2)
exp( 2 )
sf fc fx
rr jk h
sf fc fx
exp( 2 )
tt jkh
sf fc fx
rr jk h
sf fc fx
,
(3.25)
где
kk
sf
xfx
kk
xfx
(3.26)
r
– коэффициент отражения Френеля на границе s–f,
kk
fc
kk
xcx
xcx
(3.27)
r
– коэффициент отражения Френеля на границе f–с,
2
k
sx
t
sf
kk
xfx
(3.28)
– коэффициент пропускания Френеля на границе s–f,
49
2
f
f
f
f
s
f
s
f
f
s
f
s
k
t
fc
fx
kk
xcx
(3.29)
– коэффициент пропускания Френеля на границе f–с,
а 2
kh и
kh – соответственно двойной и одинарный набег фазы по-
x
x
перечной плоской волны на толщине пленки h.
Вид полученных выражений (3.25) еще раз подтверждает ранее
r
сформулированный тезис о том, что коэффициенты отражения (
пропускания (
t
) пленки в отличие от вещественных коэффициентов
TE
TE
) и
отражения и пропускания Френеля являются комплексными величи-
r
нами. Метод вычисления модуля и фазы коэффициентов
TE
и
t
TE
будет
рассмотрен в разделе 4.1.
Случай ТМ-поляризованной волны. Схема прохождения через пленку
наклонной ТМ-поляризованной плоской волны показана на рис. 3.1.
Здесь параллельным границам раздела слоев s–f и f–c является вектор
напряженности магнитного поля
выражение (2.95) с параметром
H, а характеристической матрицей –
k
k
fx
x
. Тогда коэффициенты от-
2
n
f
ражения и пропускания пленки можно находить по формулам
rr ikh tt ikh
rt
TM TM
1 exp( 2 ) 1 exp( 2 )
exp( 2 ) exp( 2 )
sf fc fx sf fc fx
rr ik h rr ik h
sf fc fx sf fc fx
,,
(3.30)
где
r,
r,
t,
f
c
t – френелевские коэффициенты отражения и пропус-
f
c
кания плоской волны на границах пленки s–f и f–c для ТМ-поляризованной волны:
r
sf
k
sx
22
nn
k
sx
22
nn
k
x
f
k
x
f
– коэффициент отражения Френеля на границе s–f,
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]