Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптические свойства тонких диэлектрических пленок. Учебное пособие
.pdf
на границах слоев s–f и f–c, что обусловлено различием их показателей
преломления. Так, если
,
0aj j
, где
0aj j
,
– диэлектри-
0
0
ческая и магнитная проницаемости вакуума, то показатели преломления
таких слоев будут равны
Рис. 2.5. Схематическое изображение
плоской световой волны. Размеры поверхностей по периметру предполага ются неограниченными
n . (2.45)
jjj
Для немагнитных слоев
ε , ε , ε
nn n . (2.46)
ssf f cc
εμ
Рис. 2.6. Схема распространения наклонной плоской волны
в диэлектрических слоях с показателями преломления n
21
, nf и nc
s
Различают поперечные электрические (или ТЕ-поляризованные) и
s
f
s
f
f
E
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
E
f
поперечные магнитные (или ТМ-поляризованные) наклонные плоские
волны [3]. В случае ТЕ-поляризованных волн, как следует из рис. 2.6,
векторы
E
E
,
,
поверхностей равных фаз ортогональны плоскости
c
E
X0Z их распространения и параллельны границам раздела слоев s–f и
f–c; в случае ТМ-поляризованных волн – векторы
H
,
,
H
c
поверх-
H
ностей равных фаз ортогональны плоскости распространения волны
X0Z и параллельны границам раздела слоев s–f и f–c. Тем самым состояния электрических и магнитных компонент ТЕ- и ТМ-поляризованных
полей в диэлектрических слоях и уравнения связи между ними будут
отличаться друг от друга. Найдем их.
Для наглядности на рис. 2.7 (в сравнении с рис. 2.6) показаны только
диэлектрический слой пленки f и его X0Y сечение t в 3D-графике. Плос-
кий фронт волны (
k
нии
, вынесен за пределы сечения t и показан пунктиром. Этот фронт
по отношению к плоскости сечения t находится под углом
H ), распространяющейся в слое f в направле-
f
. Вектор
напряженности электрического поля
тором
E , ориентированным вдоль оси Y. Его проекции по осям X и Z
y
равны нулю. Вектор напряженности магнитного поля
плоскости волнового фронта, находится под углом
чения и имеет проекции
H
и
x
E
в этом случае представлен век-
H
, лежащий в
к плоскости се-
H
на осях X и Z соответственно. Его
z
проекция на ось Y равна нулю. Результирующее состояние компонент
ТЕ-поляризованного поля на границе слоев указано в таблице. Здесь
следует иметь в виду, что вектор напряженности электрического поля
EE не зависит от переменной y и что проекция 0
fy
чает, что для всех частных производных электрической
ной
H компонент выполняется условие
y
0
. (2.47)
y
H . Это озна-
fy
и магнит-
y
Следуя далее предписаниям правовинтовой системы вращения
векторов E и H, приведенных в таблице, можно показать, что мощности световых волн, распространяющихся поперек (X) и вдоль (Z)
22
пленки, могут быть найдены путем вычисления значений векторов
x
f
f
f
f
f
f
f
x
Умова–Пойтинга:
SEH SEH
fy fz z fy fx
Компоненты Е и Н ТЕ- и ТМ-поляризованных полей
Тип поляризации Вектор поля X Y Z
TE-поляризованное поле
TM-поляризованное поле
и
E
H
E
H
.
0 E
H
0 Hfz
fx
0 E
E
fx
0 H
0
fy
0
fy
fz
С учетом данных таблицы и условия (2.47) уравнения в), г) д) из (2.44)
обращаются в нуль, а уравнения б), а), е) (см. 2.44) принимают вид
()
,
Exz
fy
Exz
fy
Hxz Hxz
fz fx
ωμ , ),
iHxz
z
()
,
x
() ()
,,
af fx
ωμ , ,
iHxz
xz
af fz
(
()
iExz
af fy
(
ωε , .)
(2.48)
При записи уравнений (2.48) восстановлена зависимость компонент
поля , ,
EHH от переменных x, z. Ранее такая зависимость предпо-
yfxfz
лагалась, но для простоты не отмечалась.
Положение векторов
E
и
H
, соответствующих состоянию ТМ-
поляризованного поля, указано в таблице. Здесь, в отличие от ранее рассмотренного случая, параллельным границе раздела s–f и ориентирован-
ным вдоль оси Y является вектор напряженности магнитного поля
. Поэтому ортогональный ему вектор
E
, лежащий в плоскости наклон-
H
y
ного (под углом
) волнового фронта, будет иметь проекции
f
E
E
и
x
z
на осях X и Z соответственно.
В этом случае потоки энергии световых волн, распространяющихся
поперек (X) и вдоль (Z) пленки, будут определяться значениями векторов Умова–Пойнтинга
SEH SEH
fz fy z fx fy
и
23
.
Рис. 2.7. Положение векторов E
TE-поляризованного поля пленки
Рис. 2.8. Положение векторов H
TM-поляризованного поля пленки
24
, Hfx и Hfz
fy
, Efx и E
fy
fz
Как и ранее, полагаем, что вектор напряженности магнитного поля
f
f
f
s
s
f
H (см. таблицу) не зависит от переменной y и что проекция вектора
y
напряженности электрического поля
E = 0. Тогда для всех частных
y
производных компонент электрического и магнитного поля выполняется условие
0
. (2.49)
y
Далее с учетом данных (см. таблицу) и условия (2.49) получаем, что
уравнения а), б), е) из (2.44) зануляются, а уравнения д), г), в) из (2.44)
принимают вид
,)
,
()
Hxz
fy
z
(
Hxz
fy
x
() ()
,,
Exz Exz
fz fx
xz
ωε ,
iExz
af fx
ωε ,
iExz
af fz
(),
(),
ω() .μ,
iHxz
af fy
(2.50)
Здесь, как и в случае (2.48), восстановлена зависимость компонент поля
,,
HEE от переменных x, z.
yfxfz
Дальнейшее упрощение уравнений связи компонент, составляющих
уравнения (2.48) и (2.50), можно провести только после выяснения
структуры электрических и магнитных полей в пленке и характера их
зависимости от пространственных координат x, y, z.
2.5. Структура электромагнитного поля в пленке
Обратимся к рис. 2.9, а, где показана схема распространения ТЕ-поляризованной плоской волны в диэлектрических слоях пленки с показа-
телями преломления ,
nn и
костей равной фазы такой волны отмечены углами наклона ,
на границах раздела слоев s–f и f–c соответственно. Вектор напряжен-
ности электрического поля
тирован вдоль оси Y, перпендикулярной плоскости чертежа. Полагаем,
n
. Направления распространения плос-
c
f
и
f
E параллелен границам s–f и f–c и ориен-
y
c
25
что поперечный размер наклонных плоских волн намного больше
f
f
f
f
f
длины волны излучения.
а б в
Рис. 2.9. Схема образования ТЕ-поляризованного поля
в диэлектрической пленке (n
а – прохождения наклонной плоской световой волны со стороны подложки к защитному слою; б – формирования поперечного электрического поля Е
терференции двух встречных плоских волн; в – формирования амплитудно-фазового
фронта плоской продольной волны с постоянной распространения
) на этапах:
f
(x, y) за счет ин-
fy
В наклонной плоской волне с вектором
nkk выделим две со-
f
ставляющие: плоскую поперечную волну, распространяющуюся вдоль
оси X с волновым вектором
k
(рис. 2.9, б), и плоскую продольную
x
волну (рис. 2.9, в), распространяющуюся вдоль оси Z с волновым векто-
k
ром
новых векторов следует, что cos
. Из показанного на рисунке прямоугольного треугольника вол-
z
nkk , а sin
xf f
nkk .
zf f
26
Плоская поперечная волна, отразившись от границы слоев f–c, будет
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
f
двигаться, как показано на рис. 2.9, б пунктирными линиями, навстречу
падающей с волновым вектором –
k
. Перемещение поперечных
x
волн вверх-вниз и их отражения на границах f–c и s–f многократно повторяются. Это означает, что за счет интерференции встречных волн в
поперечном (X, Y)-сечении пленки cформируется амплитудный фронт
(, )
yE плоской продольной волны (рис. 2.9, в), распространяющейся
fy
вдоль оси Z. Исходя из этого, компоненты электрического и магнитного
ТЕ-поляризованного поля, отмеченные в таблице, будут иметь вид плоских продольных волн:
EE
() ()
fy fy
HH
() (
fx fx
HH
fz fz
,, , exp ,
yz xy i z
yz xy iz
,, , exp ,
yz xy i z
,,
)()p(
)
,ex
(2.51)
с амплитудами ( , ), ( , ), ( , )
||
нения
k
. Если теперь принять во внимание условие (2.47), со-
z
yxyxyEHH и постоянной распростра-
fy fx fz
гласно которому электрическое поле не зависит от переменной y, то из
(2.51) получим, что
EE
fy fy
HH
fx fx
HH
fz fz
При такой структуре компонент ,
,exp() ()
zxiz
zxiz
() ()
,exp,
zxiz
()
,exp() .
EH и
yfx
,
(2.52)
H
, как нетрудно убе-
z
диться, уравнения связи (2.48) теряют свою зависимость от переменной
z и получают вид
βωμ ,
Ex Hx
Ex
()
Hx
fz
x
() ()
fy af fx
()
fy
ωμ ,
x
iH x i E x
iHx
() ε .()
fx af fy
27
af fz
ω
()
(2.53)
При освещении диэлектрических слоев s, f, c, показанных на рис. 2.9,
f
x
x
x
E
наклонной ТМ-поляризованной волной в пленке f будет формироваться
магнитная плоская продольная волна с амплитудным полем H(x, y) и
постоянной распространения
sin
n kk . Поэтому компоненты
zf f
ТМ-поляризованного электромагнитного поля, показанные выше в таблице, при выполнении условия (2.49) будут иметь вид функций
HH
fy fy
EE
fx fx
EE
fz fz
,exp() ()
zxiz
zxiz
() ()
,exp,
zxiz
()
,exp() ,
,
(2.54)
при которых уравнения (2.50) приводятся к виду
() ()ωε
Hx Ex
fy af fx
()
Hx
fy
x
Ex
fz
x
ωε
iEx
af fz
()
() ().μ
iE x i H x
fx af fy
,
(),
ω
(2.55)
В результате получаем, что уравнения связи компонент ТМ-поляризованного электромагнитного поля пленки (2.55), как и уравнения связи
компонент ТЕ-поляризованного поля (2.53), зависят только от перемен-
ной x. Это позволяет использовать уравнения связи (2.53) и (2.55) для
x и ( )
нахождения вида самих функций ( )
fy
Hx, необходимых для
fy
описания электрического и магнитного поля в поперечном сечении
пленки при 0 ≤ x ≤ h. Задача решается путем построения соответствующих им волновых уравнений.
2.6. Волновые уравнения поперечных
электромагнитных полей
Согласно уравнениям (2.53) электрические и магнитные компоненты ТЕ-поляризованного поля пленки связаны между собой выражениями:
28
βωμ() () ,
E
f
E
f
E
f
E
f
E
x
x
E
x
Hx
fz
x
xHx (2.56а)
fy af fx
Ex
()
fy
x
iHx
ω
af fz
iH x i E x
β()() ().ωε
fx af fy
()μ ,
(2.56б)
(2.56в)
Здесь выражения (2.56а), (2.56б) характеризуют связь парных ,
и ,
компонент: ,
H компонент, а выражение (2.56в) – совместную связь всех трех
yfz
H и
yfx
H . Это позволяет из (2.56а) и (2.56б) найти зна-
z
H
yfx
чения магнитных компонент
x
Hx Ex Hxi
() () (
fx fy fz
β1
,
ω
μμ
af af
)
ω
fy
()
и подставить их в (2.56в). Тогда после несложных преобразований получим дифференциальное уравнение
2
()
Ex
fy
2
которому должна удовлетворять искомая нами функция ( )
22
ω
af af fy
()εμ 0
Ex
, (2.57)
x [3].
fy
В свою очередь, компоненты TM-поляризованного поля пленки, как сле-
дует из (2.55), связаны между собой выражениями:
()ωε ,(),
Hx Exz (2.58а)
fy af fx
Hx
()
()
Ex
fz
x
fy
iEx
x
ωε
() ω ()μ
iE x i H x
fx af fy
af fz
( ),
(2.58б)
. (2.58в)
Далее, действуя по изложенной выше методике, из уравнения (2.58в)
получим дифференциальное уравнение
2
()
Hx
fy
2
которому должна удовлетворять вторая из искомых функция ( )
22
ω
af af fy
()εμ 0
Hx
, (2.59)
Hx [3].
fy
29
Примем во внимание, что
f
f
E
x
x
f
E
f
A
A
A
A
kn – волновые числа наклонной плоской волны в вакууме и в пленке
и
ωε μ εμ ,
af af f f f f
2π 2π
nkn
λλ
где k
соответственно. Тогда из прямоугольного треугольника волновых компонент, показанного на рис. 2.9, следует, что
22 2 2 2
где
k – волновое число интерферирующих плоских поперечных волн
x
ωε μ ( )
af af f fx
kn k
, (2.60)
в пленке f.
С учетом (2.60) выражения (2.57) и (2.59), называемые поперечными
волновыми уравнениями для функций ( )
x и ( )
fy
Hx, получают
fy
окончательный вид:
2
()
Ex
fy
2
Hx
fy
2
2
2
()
kE x
fx fy
()
2
fx fy
()
kH x
(2.61)
0,
0.
(2.62)
Из теории дифференциальных уравнений следует, что таким волновым уравнениям удовлетворяют функции вида
с постоянными, но неизвестными амплитудами (
( ) exp – exp
x A ik x B ik x, (2.63)
yfxfx
Hx A ikxB ikx (2.64)
yfxfx
11
() exp– exp
22
B
,
) и (
1
1
B
,
) со-
2
2
ответственно. В этом можно убедиться, если вторые частные производные этих функций по переменной x подставить в уравнения (2.61) и
(2.62). Что касается амплитуд (
B
,
) и (
1
1
B
,
), то их значения нахо-
2
2
дят исходя из дополнительных, так называемых «граничных», условий.
Это будет показано далее на примере нахождения характеристических
матриц диэлектрических пленок.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]