Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптические свойства тонких диэлектрических пленок. Учебное пособие
.pdf
2.7. Характеристические матрицы
x
E
диэлектрических пленок
Характеристические матрицы являются продуктом волновой теории многослойных диэлектрических сред и используются для вычисления их поперечных электрических и магнитных полей с соблюдением фундаментального закона непрерывности поля на границах раздела слоев [3].
Определим понятие таких матриц для отдельных пленок, находящихся в ТЕ- и ТМ-поляризованных электромагнитных полях. Положение электрических и магнитных компонент в таких случаях показано на
рис. 2.7 и 2.8, а связи между ними определены выражениями (2.56) и
(2.58а–в).
Компоненты U(x), V(x). Введем вначале новые электромагнитные
компоненты U(x) и V(x), как функции переменной x. Они должны харак-
теризовать поперечные электрические/магнитные поля пленки вдоль
оси Х, обладать свойствами непрерывности на границах s–f и f–c диэлек-
трических слоев и совместно удовлетворять волновому уравнению
2
()
Ux
2
Обратим внимание на то, что уравнение (2.65) для компоненты U(x)
подобно волновым уравнениям (2.57) и (2.59), ранее полученным для
ТЕ- и ТМ-поляризованных тангенциальных компонент ( )
соответственно. Это говорит о том, что компоненты U(x) и связанные с
ними компоненты V(x) следует искать среди уже известных компонент,
составляющих уравнения связи (2.56а–в) и (2.58а–в).
С этой целью приведем уравнения (2.56а, б), полученные для среды
с характеристиками
к виду
af f af f
22
00
ωε μ ( )
af af
,,
. (2.65)
Ux
x и ( )
fy
Hx
fy
ωμ μ
0
Ex H x
ωμ , ()
iHx
fy fx
Ex
1
fy
μ
x
f
f
() (),
β
)
0
(
fz
(2.66)
а уравнения (2.58а, б) – к виду
31
ωε ε
f
0
fy
x
β
()
f
ωε , ε)
0
() (),
(2.67)
(
fz
Hx Ex
– относительные значения магнитной и электрической про-
где ,
f
fy fx
Hx
1
iEx
f
ницаемости диэлектрической пленки.
Если теперь принять, что в случае ТЕ-поляризованного состояния
пленки
ωμ μ
0
f
() В/м],
Ux H x
β
() ωμ ) ,
Vx H x
fz
0
()[
fx
В(/м
м
(2.68)
то из уравнений (2.66) следует, что
(() В/),[м]
Ux E x (2.69а)
Vx i
() .
fy
()
Ex
1В/м
μ
f
fy
x
(2.69б)
м
Если далее принять, что в случае ТМ-поляризованного состояния
пленки
ωε ε
0
Ux E x
() А/м],
Vx E x
( ) ωε ,
f
fx
β
()
0
fz
()[
А/м
м
(2.70)
то из уравнений (2.67) вытекает, что
() ()[ А/м]
Ux H x , (2.71а)
() .
Vx i
fy
()
Hx
1А/м
εм
f
32
fy
x
(2.71б)
Исходя из физического смысла и размерности величин, составляю-
E
E
щих равенства (2.69а) и (2.71а), с одной стороны, а также из равенств
(2.69б) и (2.71б) – с другой, можно говорить о том, что компоненты U(x)
отвечают амплитудам напряженностей электрического ( ( )
магнитного ( ( )
Hx) поля, а компоненты V(x) – скоростям их изменения
fy
x ) или
fy
в каждой из точек x поперечного сечения пленки, где 0 ≤ x ≤ h. А поскольку ( )
x и ( )
fy
Hxявляются тангенциальными по определению,
fy
то компоненты U(x) и V(x) удовлетворяют условию непрерывности
электрического и магнитного поля на границах диэлектрических слоев
«подложка–пленка» и «пленка–защитный слой».
Если умножим левые и правые части равенств (2.69б) и (2.71б) на
(–i) и (+i) и, кроме того, найдем их частные производные по x, то получим, что
2
)((
Ex
1
μ
1
ε
f
f
fy
2
x
2
()
Hx
fy
2
x
iV x
iV x
( ),
),
(2.72)
(2.73)
где символом «
′» обозначена производная функции V(x) по переменной
x. Сопоставляя выражение (2.72) с волновым уравнением (2.57) ТЕ-по-
ляризованного поля, а выражение (2.73) с волновым уравнением (2.59)
ТM-поляризованного поля, приходим к выводу о том, что выражения
первой пары будут равны при условии, что
Vx i E x
() ωε μ ,
22
af af fy
1
μ
f
(2.74)
()
а выражение второй пары – при условии, что
Vx i H x
() ωε μ .
22
af af fy
1
ε
f
(2.75)
()
Таким образом, принимая во внимание равенства (2.69а) и (2.71а) и
выполнимость условий (2.74) и (2.75), можно сделать вывод о том, что
33
новые компоненты U(x) и V(x) для ТЕ- и ТМ-состояний поляризации по-
лей являются не только непрерывными на границах раздела диэлектрических слоев, но и удовлетворяют основному волновому уравнению
рассматриваемых электромагнитных явлений.
Граничные значения. Под граничными значениями U(x) и V(x) будем
понимать значения амплитуды и скорости изменения электрического и
магнитного поля на границах диэлектрических слоев s–f, где x = 0, и
f–c, где x = h (см. рис. 2.6).
Из (2.69а, б) следует, что амплитуда и скорость изменения TE-поля-
ризованного электрического поля при x = 0 будут иметь значения:
(0) (0)[В/м],
UE
fy
(0) ,
Vi
(0)
E
1В/м
μм
f
fy
x
(2.76)
а при x = h
() ()[В/м],
Uh E h
() .
Vh i
fy
()
Eh
1В/м
μм
f
fy
x
(2.77)
Граничные значения компонент U(x) и V(x) можно также находить
из равенств (2.68). В этом случае при x = 0
ωμ μ
0
f
(0) 0
UH
(0) ωμ 0 , ()
VH
β
fz
0
(),
fx
(2.78)
а при x = h
ωμ μ
0
() (),
Uh H h
() ωμ ().
Vh H h
f
β
0
fx
(2.79)
fz
В ТМ-поляризованном поле, как следует из (2.71а, б), граничными
значениями амплитуд и скоростей изменения магнитного поля будут
34
s
E
E
s
s
E
(0) (0) [А/м],
UH
fy
(0) ,
Vi
(0)
H
1А/м
εм
f
fy
x
(2.80)
а при x = h
() (),
Uh H Uh
() .
VU h i
fy
1
ε
f
HUh
fy
x
(2.81)
()
Как и ранее, граничные значения компонент (2.78) и (2.79) можно
также получить из уравнения (2.70). Действительно, при x = 0 получим,
что
ωε ε
0
(0) (0),
UE
(0) ωε (0) ,
VE
f
fx
β
fz
0
(2.82)
а при x = h
ωε ε
0
f
()
Uh E h
Vh E h
β
() ωε ().
(),
fx
(2.83)
fz
0
Обычно предполагается, что при изучении электромагнитных явлений в тонких диэлектрических пленках значения
– амплитуда напряженности электрического поля плоской волны,
y
EE , где
yfyy
падающей на пленку со стороны подложки (см. рис. 2.6, 2.9), и угол ее
падения
ными можно считать и магнитные компоненты
относительно нормали являются известными. Тогда извест-
HHH, по-
yfyy
скольку их значения при заданной амплитуде напряженности электрического поля
стиками ,
) могут быть получены по формуле (2.5). А если это
af af
(для изотропных диэлектрических слоев с характери-
y
35
так, то граничные значения компонент U(x), V(x) при x = 0 и x = h для
E
f
обоих состояний поляризации электромагнитного поля могут быть
найдены по формулам (2.76) и (2.77) (или (2.78) и (2.79)) и (2.80) и (2.81)
(или (2.82) и (2.83)).
Перейдем теперь к определению амплитуд (
ций ( )
x и ( )
fy
Hx, являющихся решением волновых уравнений
fy
,AB
) и (
11
,AB
) функ-
22
(2.61) и (2.62). Будем исходить из того, что диэлектрическая пленка является немагнитной, для которой
2
этом
n
.
f
, а
af f
(1)
0
, при
0af f
Тогда, исходя из (2.63) и характера связи компонент ТЕ-поляризованного поля U(x) и V(x), представленных выражениями (2.69а, б), получим, что
() exp exp ,
Ux E x A ik x B ik x
() ( exp e
Vx i k A ik x B ik x
(
fy fx fx
(
Ex
fy
x
11
)
fx fx fx
11
(2.84)
xp) ).
Аналогичным образом, исходя из (2.64) и характера связи компонент U(x) и V(x) ТМ-поляризованного поля в виде выражений (2.71), по-
лучим, что
( ) exp exp ,
Ux H x A ik x B ik x
() exp exp( .
Vx i A ik x B ik x
Hx k
1
22
nn
ff
)
fy fx fx
()
fy fx
x
22
22
fx fx
(2.85)
На границе s–f, где x = 0, из (2.84) следует, что
(0) (0),(),
UABVkAB (2.86)
11 11
fx
а из (2.85)
k
(0) (0) .,()
UABV AB
22 22
fx
2
n
f
(2.87)
36
Полагая, что значения U(0), V(0) как в выражениях (2.86), так и в
A
A
A
f
f
(2.87) являются известными, получим две пары уравнений для нахожде-
,
ния коэффициентов
B
11
Решая уравнения (2.86) относительно
AU V
1
BU V
1
,
и
B
.
22
B
и
, получим, что
1
1
11
(0) (0) ,
2
11
2
k
fx
(0) (0) .
k
fx
(2.88)
Подобным образом из уравнений (2.87) получим, что
11
AU V
(0) (0) ,
где
k
f
k
x
2
n
2
2
11
BU V
2
2
.
k
fx
(0) (0) ,
k
fx
(2.89)
Перейдем теперь к нахождению характеристических матриц диэлектрических пленок, находящихся в ТЕ- и ТМ-поляризованных электро-
магнитных полях.
Случай ТЕ-поляризации. Подставляя значения коэффициентов A
из (2.88) в выражения (2.84), получим, что
B
1
1
и
11 1
Ux U V e U V e
( ) (0) (0) (0) (0) ,
2
kk
fx fx
ik x ik x
fx fx
(2.90)
k
Vx U V e U V e
( ) (0) (0) (0) (0) .
fx
2
11
kk
fx fx
ik x ik x
fx fx
37
Уравнения (2.90) относительно известных компонент U(0) и V(0) бу-
f
f
f
f
дем решать при условии, что
ik x
fx
ekxikx
ik x
ekxikx
cos sin ,
fx
xfx
cos sin .
fx fx
После несложных преобразований найдем, что каждая из компонент
U(0) и V(0) будет связана с искомыми компонентами U(x) и V(x) линейными уравнениями
(0) ( )cos ( )sin ,
UUxkx Vxkx
(0) ( )sin ( )cos
V ikUx kxVx kx
fx fx fx
i
xfx
k
fx
или матричным выражением
cos sin
kx kx
(0) ( )
UUx
VVx
(0) ( )
ik kx kx
fx fx
sin cos
fx fx fx
i
k
fx
, (2.91)
где матрицу
cos sin
kx kx
M
ik kx kx
xfx
sin cos
fx fx fx
i
k
fx
(2.92)
принято называть характеристической [3].
Уравнения (2.90) можно также решить относительно искомых компонент U(x) и V(x). В этом случае связь компонент U(x), V(x) с компонентами U(0), V(0) будет определяться уравнениями
( ) (0)cos (0)sin ,
Ux U k x V k x
i
fx fx
k
fx
( ) (0)sin (0)cos
Vx ik U k x V k x
xfx fx
38
или матричным выражением
f
M
f
A
f
f
cos sin
kx kx
() (0)
Ux U
Vx V
() (0)
fx fx
ik kx kx
sin cos
fx fx fx
i
k
fx
, (2.93)
где матрица
cos sin
kx kx
1
M
ik k x k x
xfx
sin cos
fx fx fx
i
k
fx
(2.94)
является обратной характеристической матрице M.
Определители матриц M и
1
равны (
22
sin cos
kk
xfx
) = 1, в силу
чего их называют унимодулярными.
Случай ТМ-поляризации. Соответствующую характеристическую
матрицу относительно известных U(0), V(0) можно найти путем подста-
новки в уравнения (2.85) значений коэффициентов
B
и
2
из (2.89).
2
Тогда получим вначале матричное уравнение
cos sin
kx kx
(0) ( )
UUx
(0) ( )
VVx
ik kx kx
fx fx
'sin cos
fx fx fx
i
'
k
fx
, (2.95)
а затем после подстановки значения
ние
kx i kx
cos sin
UUx
0
VVx
0
fx fx
k
fx
ikx kx
sin cos
2
n
fx fx
f
39
k
k
fx
n
k
fx
x
2
n
2
f
– матричное уравне-
(2.96)
.
Если уравнение (2.85) решить относительно искомых U(x), V(x), то
f
получим матричное уравнение
2
n
kx i kx
cos sin
Ux U
() (0)
Vx V
() (0)
ikx kx
fx fx
k
fx
sin cos
2
n
fx fx
f
f
k
fx
(2.97)
.
Матрицы, связывающие между собой известные и искомые векторстолбцы в уравнениях (2.96) и (2.97), являются соответственно прямой
и обратной характеристической матрицей ТМ-поляризованных диэлек-
трических пленок. В (2.92) и в (2.94) определители таких матриц равны
22
sin cos
kk
(
xfx
) = 1.
Контрольные вопросы и задания
1. Поясните физический смысл законов электромагнитной индукции Фарадея и полного тока Ампера, лежащих в основе уравнений
Максвелла.
Плоская световая волна как решение уравнений Максвелла и ее
2.
параметры. Комплексная и вещественная форма описания. Почему такую волну называют распространяющейся плоскостью равной фазы?
Модель и планарная структура тонкой диэлектрической пленки.
3.
Почему такую пленку называют тонкой?
Пользуясь правилами скалярного (2.26) и векторного (2.27) умно-
4.
жения, проверьте справедливость выполнения условий (2.20) и (2.21) на
границах s–f и f–c рассматриваемой пленки. Характеристики электромагнитного поля на границах такой пленки показаны на рис. 2.2. Полученные результаты сопоставьте с результатами (2.28), пп. а–г, и (2.29),
пп. а–г.
Укажите основные компоненты TE- и TM-поляризованных полей
5.
и уравнения их связи на границе диэлектрических слоев «подложка–
пленка». Поясните физический смысл таких уравнений.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]