Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптические свойства тонких диэлектрических пленок. Учебное пособие
.pdf
С учетом значений векторов (2.14) и (2.15), как функций времени, и
их первых производных уравнения (2.8) и (2.9) получают вид
ω(μ )
iEH
ω(ε )
iHE
; (2.16)
a
. (2.17)
a
Векторные дифференциальные уравнения (2.16) и (2.17) принято
называть уравнениями Максвелла для комплексных векторов (амплитуд) электрического и магнитного поля, изменяющихся во времени с
круговой частотой .
Подобным образом уравнения (2.3), (2.4), характеризующие связь
векторов электрической и магнитной индукции с векторами электрического и магнитного поля, можно записать в виде
Здесь векторы индукции
H, также имеют смысл комплексных амплитуд.
и
exp ( );
aa
exp( ).
aa
0
D и B, как и векторы напряженности поля E
i DE E
(2.18)
i BH H
0
(2.19)
2.2. Условия непрерывности электромагнитного поля
В разделе 2.1 предполагалось, что в поле излучения находится диэлектрик с непрерывным изменением диэлектрической
проницаемости от пространственных (x, y, z) координат. Однако ди-
a
электрическая пленка толщиной h, как следует из рисунка (см. раздел 1.1), имеет трехслойную структуру. При этом ее подложка и защитный слой также являются диэлектриками со своими резко отличающимися значениями диэлектрической и магнитной проницаемости. Разными, как показано на рис. 2.2, могут быть значения и ориентации векторов
E, H, D и B на границах s–f и f–c таких слоев. Поэтому возникает
вопрос: при каких условиях электромагнитное поле в трехслойной
структуре пленки будет непрерывным на границах раздела ее слоев?
Ответ на этот вопрос дает теория электромагнитного поля [7, 8], согласно которой в диэлектрических слоях без поверхностных токов и зарядов связи между векторами
E, H, D и B на границе s–f должны удо-
влетворять условиям
и магнитной
a
11
a) 0, в) 0,
() ()
eBB eDD
xs f xs f
б) ( ) 0, г) (
eEE eHH
xsf x s f
а на границе f–c – условиям
eB B eD D
a) 0, в) 0,
((
,,
Здесь
eee
xyz
координат, а «∙», «
Рис. 2.2. Трехслойная структура диэлектрической пленки
xfc xf c
eEE eHH
б) ( ) 0, г) (
xfc x fc
– единичные векторы (орты) принятой (x, y, z)-системы
» – символы скалярного и векторного произведений.
с границами раздела слоев s–f и f–c
(2.20)
)0,
)
)0
.
(2.21)
)
Принятые в выражениях (2.20), (2.21) векторы E, H, D и B на границах
слоев
s–f и f–c указаны на рис. 2.2. Здесь же единичным вектором
e
отмечена нормаль к границам раздела слоев. Для немагнитных диэлектриков, наиболее часто применяемых в оптике,
0
as af ac
означает, что соответствующие им диэлектрические слои
ными свойствами не обладают. Поэтому
HHHH
sf fc
s, f, c магнит-
. Это
.
С целью выяснения физического смысла условий (2.20) и (2.21),
называемых граничными, представим векторы E, H, D и B в слоях
их проекциями на осях
X, Y, Z. Тогда получим, что
12
s, f, c
x
s
f
f
E
E
Ee e e
s
f
f
s
f
f
D
D
s
f
f
B
B
B
B
х
у
EEE
xsx ysy zsz
Ee e e
Ee e e
Ee e e
He e e
He e e
He e e
He e e
De e e
De e e
De e e
De e e
xfx yfy zfz
xfx yfy zfz
EEE
c x cx y cy z cz
HHH
xsx ysy zsz
HHH
xfx yfy zfz
HHH
xfx yfy zfz
HHH
c x cx y cy z cz
DDD
xsx ysy zsz
xfx yfy zfz
xfx yfy zfz
DDD
c x cx cy z cz
Be e e
xsx ysy zsz
Be e e
xfx yfy zfz
Be e e
xfx yfy zfz
Be e e
c x cx y cy z cz
EE
EE
DD
DD
y
BB
BB
BB
BB
,
,
(2.22)
,
;
,
,
(2.23)
,
;
,
,
(2.24)
,
;
(2.25)
.
Напомним правила скалярного и векторного умножения единичных
векторов:
()1()0()0,
ee e ee
()0()1()0,
ee ee e
()0()0()1;
ee ee ee
()0(e)0.()0,
ee e ee
xx у yzz
() () (e),
ee e ee e e e
() () ()
ee e ee e ee e
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
e
e
(2.26)
у zyzxzxy
xzzyxxzy
13
(2.27)
Найдем теперь значения скалярных и векторных произведений а)–г)
на границах слоев
s–f (2.20) и f–c (2.21) и установим следствия, которые
из них вытекают. Так, с соблюдением правил (2.26) и (2.27) из условий
(2.20) следует:
a) 0,
()
eBB
xs f sxfx
что выполняется при ;
б) ( ) ( ) ( ) 0,
eEE e e
xsf zsyfyyszfz
что выполняется при , ;
BB
BB
sx fx
EE EE
EEEE
sy fy sz fz
в) 0,
(
eDD
xs f sx fx
что выполняется при ;
г) (
eHH e
()()0,
xsfz
что выполняется при , .
DD
)
)
DD
sx fx
HH HH
sy fy y sz fz
HHHH
sy fy sz fz
В свою очередь, из (2.21) получим, что
eB B
()
a) 0,
что выполняется при ;
eEE e e
б) ( ) ( ) ( ) 0,
что выполняется при , ;
xfc fxcx
xfczfycyyfzcz
BB
BB
fx cx
EE EE
EEEE
fy cy fz cz
eD D
в) 0,
xfc fxcx
()
DD
(2.28)
e
(2.29)
что выполняется п
г)
e
HH e e
x
fczfycyyfzcz
ри ;
()()0,
что выполняется при , ' .
Компоненты векторов E, H, D и B с индексами
DD
fx cx
HH HH
HHH H
fy cy fz cz
х в выражениях (2.28)
и (2.29) принято называть нормальными, а с индексами y, z – тангенциальными. Первые из них ортогональны плоскости раздела слоев
14
Y0Z,
вторые – параллельны ей. Положения и направления таких компонент в
s
s
D
s
s
E
E
s
s
трехслойной структуре диэлектрической пленки показаны на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Положения и направления нормальных и тангенциаль-
ных компонент векторов E, H, D и B поля на границах s–f и f–c
диэлектрической пленки
Из сопоставления результатов вычислений (2.28) и (2.29) вначале по
пп. а) и в), а затем по пп. б) и г) следует, что непрерывность электромагнитного поля на границах
s–f и f–c пленки выполняется только для ком-
понент, охваченных равенствами:
,
DD D
xfxfxcx
BBBB
xfxfxcx
,,
(2.30)
и
EE E
yfyfycy
,, ,
EE E
zfzfzcz
HHHH
yfyfycy
HHHH
zfzfzcz
,
,
,, .
(2.31)
Равенства (2.30) выполняются для нормальных компонент векторов
электрической D и магнитной B индукции, ориентированных вдоль
оси X, а равенства (2.31) – для тангенциальных компонент векторов E и
H, ориентированных вдоль осей Y и Z. Они получены при условии, что
на границах s–f и f–c раздела диэлектрических слоев свободные электрические заряды и поверхностные токи отсутствуют.
15
2.3. Учет геометрии диэлектрической
E
пленки
Геометрическая форма самой диэлектрической пленки изображена
на рис. 2.4. Слои подложки и защитного покрытия здесь не показаны.
Предполагается, что размер пленки ограничен только в поперечном
X-направлении, при этом ее толщина h соизмерима с длиной волны элек-
тромагнитного излучения (h ~ ). Размеры по направлениям Y и Z могут
меняться в широких пределах при соблюдении условия
,ll
12
речное сечение пленки t в плоскости X0Y выделено точками.
Рис. 2.4. Форма диэлектрической пленки в X, Y, Z-
системе координат:
t – поперечное сечение; h – толщина
. Попе-
Исходя из геометрической формы пленки комплексные амплитуды векторов напряженности поля E и H можно представить в виде
где
EE E HH H
,
E
– их компоненты в плоскости t, а
H
t
t
,,
tz t z
оси Z [3]. В принятой системе единичных векторов
Ee e Ee
txxyy zzz
EE
HH H
He e H e
txxyy zzz
, , . ,
16
(2.32)
,
E
– компоненты на
H
z
z
(2.33)
Как и в случаях (2.22), (2.23),
x
x
x
EEE
yz
,,
HHH
и
являются ве-
yz
,,
щественными проекциями векторов E и H на осях X, Y, Z принятой системы координат.
Подобным образом с выделением поперечных и продольных компонент представим и дифференциальный оператор «набла»:
где
,
tz
ee e
tx y zz
yz
(2.34)
, а
. (2.35)
Тогда, подставляя значения (2.32) и (2.34), а затем значения (2.33) и
(2.35) в уравнения (2.16) и (2.17), получим вначале выражения
E
eEE HH
tz t z aft z
z
eHH E
tz t z aft z
(( ) ε ,)ω
z
i
i
(),( ) ωμ
а затем
E
EEe H H
tt t zz aft afz
HHe E E
ttt zz aft afz
t
ωμ ω ;μ
ii
z
H
t
ωε ωε .
ii
z
(2.36)
(2.37)
В каждом из выражений (2.36), (2.37) можно выделить по два независимых уравнения:
tt afz
ωμ
iEH
, (2.36а)
E
Ee H
tzz aft
tt afz
He E
tzz aft
z
ωε
iHE
H
17
t
ωμ
i
; (2.36б)
, (2.37а)
t
ωε
i
. (2.37б)
z
Докажем справедливость этих уравнений. С этой целью вычислим
x
E
x
у
значения их левых и правых частей с соблюдением правил векторного
умножения (2.27).
Из (2.36а) следует, что
ee ee e
yxxyy afzz
xy
Ei H
ωμ
,
или
E
ee
zzafz
E
y
x
xy
ω (μ )
iH
.
Равенство выполняется при условии
E
E
y
x
xy
ωμ
iH
(2.38)
af z
Из (2.36б) следует, что
()
e e ee ee
xy zzzxxyy
xy z
EEE
iHH ee,
μ( )ω
af x x y y
или
E
eeeHeH
EE
yz xz
y
zz
y x af x y af y
E
x
()()ωμ ωμ
ii
.
Равенство выполняется при следующих условиях:
E
E
yz
E
ωμ
y
z
E
x
z
i
xz
18
i
ωμ
af
; (2.39)
H
af x
H
. (2.40)
В свою очередь, из (2.37а) следует, что
x
x
ee ee e
yxxyyafzz
xy
()ωε
HHi E
или
H
ee
zzafz
H
y
x
xy
Равенство выполняется при условии
H
H
y
ωε
xy
Из (2.37б) следует, что
()
ee ee ee
xy zzz xxyy
xy z
HHH
iEEee,
()ωε
af x x y y
или
iE
x
iE
af z
,
ω (ε )
.
. (2.41)
H
ee
xy
HH
yz xz
()( ).ωε ωε
y
zz
iE iEee
af x y af y
H
x
Равенство выполняется при условиях
H
H
z
yz
H
z
ωε
xz
y
ωε
H
x
19
iE
af x
iE
af y
; (2.42)
. (2.43)
Таким образом, парные равенства (2.36а) и (2.36б), (2.37а) и (2.37б),
а следовательно, и уравнения (2.36) и (2.37) справедливы при выполнении в общем случае шести независимых условий (2.38)–(2.43):
EE
а) ωμ , б) ωμ
в) ωμ , г) ωε ,
д) ωε , е)
E
yy
x
xy yz
EH
E
z
xz x y
HH
zz
yz xz
iH iH
af z af
xx
iH iE
af af z
y
H
y
iE iE
af af
xy
E
z
H
y
H
ωε.
x
,
x
(2.44)
Дифференциальные формы (2.44) определяют характер связей
между x, y, z – электрическими и магнитными компонентами электро-
магнитного поля в пленке с параметрами
, af . При их получении
af
каких-либо ограничений на вид или характер такого поля не накладывалось. Частные случаи связей (2.44) рассмотрены ниже.
2.4. Влияние поляризации освещающих
световых волн
Простейшими в оптике являются модели плоских световых волн, которые, как показано на рис. 2.5, представляют собой распространяющиеся поверхности равной фазы [10]. Напряженности электрического (E)
и магнитного (H) поля в каждой из (x, y, z) – точек таких поверхностей
ортогональны друг к другу, изменяются во времени по периодическому
закону и находятся в одинаковой фазе. Направление распространения
плоской волны определяется волновым вектором k, ортогональным к
плоскости равной фазы, а следовательно, к паре векторов E и H при любом угле их поворота относительно вектора k. Волны, у которых синфазное изменение амплитуд векторов E и H во времени происходит в
плоскости равной фазы, принято называть поперечными.
Схема прохождения наклонной плоской волны от подложки к защитному покрытию изображена на рис. 2.6. Здесь же отмечены и значе-
ния диэлектрической и магнитной проницаемости всех трех слоев
, j = s, f, c. Такая волна меняет направления своего распространения
aj
,
aj
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]