Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обработка результатов измерений в холодильной технике. Лабораторный практикум
.pdf
Рис. 16. Поле двухфакторного эксперимента
3
28N
N
0j
j1
1
by
N
Составляется матрица планирования эксперимента, в которой в
строках указывается номер эксперимента j=1…N, значения всех
кодированных факторов Xi, значение функции отклика, полученное в
эксперименте yj, а также расчетное значение отклика, полученное
после нахождения коэффициентов уравнения модели y
j.расч
. Для
полного трехфакторного эксперимента число экспериментов
, матрица плана имеет соответственно 8 строк и
представлена в таблице 16.
Правила заполнения столбцов (расстановки знаков) для
кодированных факторов следующее: знаки первого фактора
чередуются от эксперимента к эксперименту, знаки второго фактора
чередуются в два раза реже чем первого, т.е. меняются через два
значения, знаки третьего фактора чередуются еще в два раза реже чем
второго, т.е. меняются через четыре значения. Это общее правило
образования знаков факторов Xi.
Коэффициенты уравнения функции отклика определяются на
основании полученных экспериментальных значений yj по следующим
уравнениям:
- свободный член
;
- члены bi при факторах Xi
61
N
i ji j
j1
1
b X y
N
- члены blm при парных факторах XlXm
N
lm jl jm j
j1
1
b X X y
N
(l m)
Номер
эксперимента
j
Факторы
Функция
отклика
yj
Функция
отклика
расчетная
y
j.расч
X1
X2
X3
1
-1
-1
-1
y1
2
+1
-1
-1
y2
3
-1
+1
-1
y3
4
+1
+1
-1
y4
5
-1
-1
+1
y5
6
+1
-1
+1
y6 7
-1
+1
+1
y7
8
+1
+1
+1
y8
2
воспр
2
b
s
sN
2
воспр
s
b
b s t
;
,
.
Таблица 16 – Матрица полного трехфакторного эксперимента
Некоторые из коэффициентов уравнения могут оказаться
пренебрежимо малыми – незначимыми. Для определения значимости
коэффициентов уравнения вычисляют оценку дисперсии
,
где
- оценка дисперсии воспроизводимости, определенная ранее.
Коэффициент уравнения значим, если выполняется следующее
условие
где t – значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы
f = k-1 (Приложение, таблица П3).
Рекомендуется составить таблицу, в которую свести
коэффициенты уравнения bj (таблица 17).
Таблица 17 – Коэффициенты уравнения регрессии
,
62
Коэффициент
уравнения
Значение
коэффициента
b
st
Вывод о
значимости
коэффициента
b0
b1
b2
bi
bk
b12
b
23
b13
Число значимых коэффициентов уравнения
B =
2
ад
2
воспр
s
Fs
2
ад
s
N
22
ад j j.расч
j1
1
s (y y )
NB
ад
f N B
Если коэффициент незначим, то его исключают из уравнения,
таким образом, число коэффициентов может сократиться.
Далее проводят проверку адекватности уравнения, т.е.
способность модели достаточно близко описывать поверхность
отклика. Проверку на адекватность проводят по критерию Фишера,
который представляет собой следующее отношение
,
где
- оценка дисперсии адекватности.
Оценку дисперсии адекватности вычисляют по формуле
где B – число значимых коэффициентов уравнения модели, включая
свободный член, yj – экспериментальные значения функции отклика
(таблица 16), y
– расчетные значения функции отклика по
j.расч
найденному уравнению модели в j-й точке.
С оценкой дисперсии адекватности связано число степеней
свободы
Уравнение модели адекватно реальному объекту (процессу)
при условии
63
,
.
табл
FF
,
1 01 2 02 3 03
0 1 2 3
123
1 01 2 02 3 03 3
12
0 1 2 3
1 2 3 1 2 3
x x x x x x
y b b b b
x x x
b x b x b x b
bb
(b ) x x x .
x x x x x x
где F
– табличное значение критерия Фишера при числе степеней
табл
свободы fад в числителе и числе степеней свободы f в знаменателе
(Приложение, таблица П4).
После подтверждения адекватности уравнения необходимо
перейти от кодированных факторов (+1, -1) к физическим переменным
(x1, x2, x3, … xn). Для этого в уравнение модели вместо кодированных
переменных Xj подставляют их выражения и после преобразований
получают уравнение с физическими переменными. В частности для
полного трехфакторного эксперимента уравнение модели без парных
произведений факторов будет иметь следующий вид
Выражение в круглых скобках есть свободный член уравнения
регрессии.
После определения уравнения модели можно использовать ее
для нахождения значений функции отклика в любой точке
исследованного диапазона параметров xj, а также для оптимизации
объекта (процесса).
Дробный факторный эксперимент
С ростом числа учитываемых факторов резко возрастает число
опытов полного факторного эксперимента. Как следует из
соотношения N = 2k достаточно ввести в рассмотрение один
дополнительный фактор и количество экспериментов возрастает в 2
раза. Однако для определения уравнения регрессии не всегда требуется
такое полное количество опытов. Существуют возможности
сокращения числа опытов полного факторного эксперимента, такие
своего рода «усечения» называются репликами ПФЭ или дробным
факторным экспериментом (ДФЭ). В зависимости от возможности
усечения ДФЭ может быть ½, ¼ и т.д.
64
В этом случае ряд факторов приравнивают произведению из
Номер
эксперимента
j
X1 X2 X1X2
X3
Функция
отклика
yj
1
-1
-1
+1
+1
y1
2
+1
-1
-1
-1
y2
3
-1
+1
-1
-1
y3 4 +1
+1
+1
+1
y4
4
3 j3 j 1 2 3 4
j1
11
b X y (y y y y )
44
нескольких уже известных факторов. Обозначают такой эксперимент
как ДФЭ 2
k-p
, где k-общее число факторов ПФЭ, р- число факторов,
приравненных произведениям. Рассмотрим пример сведения ПФЭ с
количеством факторов k = 3 и экспериментов N = 8 к ДФЭ рангом ½. В
этом случае количество опытов сокращается в 2 раза, т.е. до N =
k-1
= 2
3-1
= 2
= 4. Матрица плана ДФЭ 2
3-1
представлена в таблице 18.
Таблица 18 – Дробный факторный эксперимент
При переходе к ДФЭ вводится генерирующее соотношение в
виде произведения факторов, в данном случае вводится один дополнительный фактор X3= X1X2. В случае k > 3 необходимо вводить
нескольких факторов в виде генерирующих соотношений, при этом по
возможности нужно выбирать такие два Хi, которые между собой не
зависят. Например, при переходе с ПФЭ = 25 = 32 к ДФЭ = 1/4 ПФЭ =
5-2
= 2
= 8 мы должны ввести два фактора, например, скомбинировав
имеющиеся три фактора следующим образом:
X4 = X2X3;
X5 = X1X2.
Расчет коэффициентов уравнения регрессии, проверка их
значимости и адекватности модели в целом осуществляется так же, как
и при полном факторном эксперименте. В частности для плана
(таблица 18) коэффициент при факторе Х3 определяется как
.
65
Задание
j
x
j
x
Значения фактора
Физические переменные
x1
x2
x3
Наибольшее значение
фактора
imax
x
265
0,35
0,6
Наименьшее значение
фактора
imin
x
235
0,25
0,4
Номер
наблю-
дения
y1 y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
1
14,5
45,2
12,3
50,1
7,35
27,6
8,14
26,13
2
14,6
45,4
12,5
50,14
7,4
27,5
8,15
26,17
3
15
45,27
12,33
50,08
7,32
27,4
8,07
26,19
4
14
45,1
12,6
50,2
7,42
27,58
8,18
26,22
На основании данных полного факторного эксперимента
определить уравнение регрессии и оценить его адекватность. Этапы
построения модели:
1. Проверка воспроизводимости эксперимента;
2. Определение среднего значения каждого фактора
и
интервала его варьирования
;
3. Составление матрицы ПФЭ (по примеру таблицы 16);
4. Определение коэффициентов уравнения регрессии и
оценка их значимости (по примеру таблицы 17);
5. Оценка адекватности модели;
6. Записать уравнение в физических переменных.
Варианты заданий для 4-х бригад в каждой группе студентов
представлены ниже.
Вариант 1
Таблица 19 – Условия проведения полного трехфакторного
эксперимента
Таблица 20 – Результаты полного трехфакторного
эксперимента с многократными наблюдениями
66
Окончание таблицы 20
5
14,8
45,5
12,73
50,26
7,49
27,55
8,04
26,22
6
14,35
45,24
12,2
49,96
7,26
27,5
8,17
26,24
7
14,6
45,39
12,14
50,1
7,42
27,51
8,09
26,23
Значения фактора
Физические переменные
x1
x2
x3
Наибольшее значение
фактора
maxi
x
250
0,5
0,8
Наименьшее значение
фактора
mini
x
230
0,3
0,5
№
наблю-
дения
y1 y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
1
-4,1
24,82
2,647
52,034
19,226
48,23
26,045
75,436
2
-4,198
24,87
2,636
52,03
19,22
48,235
26,044
75,435
3
-4,21
24,84
2,636
52,056
19,23
48,248
26,052
75,445
4
-4,08
24,86
2,649
52,077
19,248
48,252
26,056
75,441
5
-4,14
24,87
2,655
52,019
19,267
48,258
26,047
75,498
6
-4,135
24,83
2,662
52,072
19,272
48,257
26,049
75,445
7
-4,187
24,86
2,665
52,062
19,287
48,27
26,057
75,45
Вариант 2
Таблица 21 – Условия проведения полного
трехфакторного эксперимента
Таблица 22 – Результаты полного трехфакторного
эксперимента с многократными наблюдениями
67
Вариант 3
Значения фактора
Физические переменные
x1
x2
x3
Наибольшее значение фактора
maxi
x
200
0,7
1,8
Наименьшее значение
фактора
mini
x
170
0,4
1,2
Номер
наблюдения
y1 y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
1
16,54
41,72
27,62
37,2
-13,83
11,1
-2,75
6,72
2
16,55
41,75
27,64
37,3
-13,84
11,15
-2,78
6,755
3
16,56
41,78
27,66
37,4
-13,85
11,2
-2,81
6,79
4
16,57
41,81
27,68
37,5
-13,86
11,25
-2,84
6,825
5
16,58
41,84
27,7
37,6
-13,87
11,3
-2,87
6,86
6
16,59
41,87
27,72
37,7
-13,89
11,35
-2,9
6,895
7
16,6
41,9
27,74
37,8
-13,9
11,4
-2,93
6,93
Значения фактора
Физические переменные
x1
x2
x3
Наибольшее значение
фактора
maxi
x
100
0,8
2,4
Наименьшее значение
фактора
mini
x
80
0,5
1,8
Таблица 23 – Условия проведения полного
трехфакторного эксперимента
Таблица 24 – Результаты полного трехфакторного
эксперимента с многократными наблюдениями
Таблица 25 – Условия проведения полного
трехфакторного эксперимента
Вариант 4
68
Таблица 26 – Результаты полного трехфакторного
Номер
наблю-
дения
y1 y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
1
13,015
41,1
12,33
44,1
-2,1
26
-2,8
29,21
2
13,03
41,2
12,345
44,2
-2,11
26,08
-2,81
29,22
3
13,045
41,3
12,36
44,3
-2,12
26,16
-2,82
29,23
4
13,06
41,4
12,375
44,4
-2,13
26,24
-2,83
29,24
5
13,075
41,5
12,39
44,5
-2,14
26,32
-2,84
29,25
6
13,09
41,6
12,405
44,6
-2,15
26,4
-2,85
29,26
7
13,105
41,7
12,42
44,7
-2,16
26,48
-2,86
29,27
эксперимента с многократными наблюдениями
Контрольные вопросы
1. Каковы основные задачи теории планирования
эксперимента.
2. Как представляется исследуемый объект в теории плани-
рования эксперимента? Факторы, их вид и функции отклика.
3. Постановка задачи планирования эксперимента.
4. Воспроизводимость эксперимента, проверка воспроизво-
димости.
5. Проверка значимости коэффициентов уравнения.
6. Полный факторный эксперимент, матрица плана.
7. Адекватность уравнения регрессии (модели).
8. Дробный факторный эксперимент.
69
Библиографический список
1. Крутов, В.И. Основы научных исследований : учебник для техн.
Вузов / В.И. Крутов, И.М.Грушко, В.В.Попов и др. под ред.
В.И.Крутова, В.В.Попова. – М.: Высшая шк., 1989. – 400 с.
2. Нуждин, А.С., Ужанский, В.С. Измерения в холодильной технике:
Справочное руководство. – М.: Агропромиздат, 1986. – 368 с.
3. Новицкий, В.П., Зограф, И.А. Оценка погрешностей результатов
измерений. – Л.: Энергоатомиздат, 1985.– 248 с.
4. Каверин, С.B. Регрессионный анализ: подход с использованием
excel: учебно-методическое пособие / Балашихинский
промышленно-экономический колледж. – Балашиха, 2014.- 28 с.
5. Шкуратник, В.Л. Измерения в физическом эксперименте: Учебник
для вузов. – М:. Горная книга, 2006. – 325 с.
6. Алексеев, В.П. Основы научных исследований и патентоведение
[Электронный ресурс] : учебник / В.П. Алексеев, Д.В. Озеркин. –
М.: ТУСУР (Томский гос. ун-т систем управления и
радиоэлектроники), 2012. –172 с.
7. Рыжков, И.Б. Основы научных исследований и изобретательства
[Электронный ресурс]: учебное пособие.– СПб.: Лань, 2012.– 223с.
8. Методы и средства научных исследований: Учебник/ А.А.
Пижурин, А.А.Пижурин (мл.), В.Е.Пятков – М.: НИЦ ИНФРА-М,
2015. – 264 с.
9. Основы научных исследований / Б.И. Герасимов, В.В. Дробышева,
Н.В. Злобина и др. – М.: Форум, 2009. - 272 с.
10. Основы научных исследований: Учебное пособие для бакалавров /
М.Ф. Шкляр. –4-e изд. – М.: Дашков и К, 2012. –244 с.
11. Основы научных исследований (Общий курс): Учебное пособие /
В.В. Космин. – 2-e изд. – М.: ИЦ РИОР: НИЦ ИНФРА-М, 2014. –
214 с.
12. Методология научного исследования: Учебник / А.О. Овчаров,
Т.Н. Овчарова. – М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. – 304 с.
13. Основы научных исследований: метод. указ. по СРС / Казан. гос.
технол. ун-т ; сост. Д.И. Сагдеев, Е.С. Воробьев, Г.Х.
Мухаметзянов, В.А. Аляев .– Казань, 2007 .– 48 с.
14. Рогов, В. А. Методика и практика технических экспериментов:
учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. подготовки
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]