Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обработка результатов измерений в холодильной технике. Лабораторный практикум
.pdf
(предпочтительно чтобы величина температуры выражалась числом
№замера
1 2 3 4 5 6 7 8 9
tв , °С
tw , °С
ΔΕ
хк1
,мВ
ΔΕ
хк2
,мВ
ΔΕ
хк3
,мВ
ΔΕ
хк4
,мВ
ΔΕ
хк5
,мВ
ΔΕ
хк6
,мВ
ΔΕ
хк7
,мВ
ΔΕ
хк8
,мВ
ΔΕ
хк9
,мВ
ΔΕ
хк10
,мВ
ΔΕ
хк11
,мВ
ΔΕ
хк12
,мВ
.мВ ,
n
Eхк
хк
n
1i
i
кратным 5 °С). После стабилизации температуры произвести замер
термо-э.д.с. и показаний термометра. Заполнить протокол испытаний
(таблица 3).
3.3. Повторять действия п.3.2 при новых значениях
температуры воды 6…8 раз.
3.4. Выключить нагревательный элемент.
Таблица 3 – Протокол испытаний
4 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
4.1. Для каждого из режимов выполнить расчет
среднеарифметических величин термо-э.д.с.
4.2. Для каждого из режимов выполнить расчет разности
температур
ΔТ = tw – tв, °С.
11
4.3. Занести результаты расчетов в протокол обработки
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ΔТ, °С
ΔЕхк, мВ
результатов (таблица 4).
Таблица 4 – Протокол обработки эксперимента
4.4. Построить графики зависимостей термо-э.д.с. от перепада
температур, при которых находится спаи темопар – ΔΕ=f(ΔT).
Занятие №2. Анализ погрешностей эксперимента
1. ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОШИБОК
Измерения в любых опытах, как правило, содержат
погрешности (ошибки) и при планировании эксперимента этот факт
необходимо обязательно учитывать, в виде выполнения этапа –
анализа погрешностей эксперимента [3, 11, 12, 13, 14, 16].
Погрешность измерения – это алгебраическая разность между
действительным значением измеряемой величины хд и полученным
при измерении ε = хд – хi. Значение ε иногда называют абсолютной
погрешностью измерения. Относительная погрешность это отношение
абсолютной к действительному значению измеряемой величины
δ = ε/ хд.
Погрешности принято делить на два вида: систематические и
случайные.
Под систематической погрешностью измерения понимается
составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно
изменяющейся при повторных измерениях. Такие погрешности
порождаются причинами, действующими регулярно (систематически),
например, сбитая шкала прибора, постоянно растущая температура
окружающей среды и т.д. Такие ошибки не трудно выявить,
определить количественно, ликвидировать или учесть при обработке
результатов эксперимента. Операция по выявлению систематических
ошибок носит название рандомизация.
12
Случайные погрешности появляются нерегулярно. Природа их
n
1i
,i
x
i
n
1
x
возникновения неизвестна, поскольку они могут порождаться
большим количеством нерегулярно проявляющих себя причин. Как
правило, исследователь составляет предположительный список таких
причин, каждая из которых вносит элементарную погрешность, и
общая величина случайной погрешности является суммой таких
элементарных погрешностей. К таким причинам могут быть отнесены:
– несовершенство объекта исследования (например,
наведение им электромагнитных полей, влияющих на результаты
измерений некоторых величин);
– несовершенство измерительных приборов
(инструментальные ошибки);
– неточность считывания результата со шкальных приборов,
неопытность исследователя (субъективные ошибки);
– изменение внешних условий в процессе проведения
эксперимента – например, барометрического давления (внешние
ошибки) и так далее.
Выполняемые в процессе эксперимента измерения
представляет совокупность прямых измерений, при которых оценка
измеряемой величины производится непосредственно по показанию
прибора, и косвенных измерений, при которых значение искомой
величины определяется на основании функциональных зависимостей
между этой величиной и другими измеряемыми величинами. Теория
ошибок измерений базируется на методах теории вероятности и
математической статистики.
В нашем эксперименте, выполненном на занятии 1, мы имеем
дело с прямыми измерениями с многократными наблюдениями. Для
выявления случайной ошибки здесь выполнено дублирование замеров
несколькими термопарами с сохранением всех условий проведения
эксперимента. Это позволяет нам выполнить статистический анализ
результатов характерный для прямых измерений с многократными
наблюдениями [15].
Выполнение повторных замеров, как правило, не дает
полностью совпадающих результатов. Поэтому следует определять
среднеарифметическую величину всех результатов измерений
13
где n – число измерений; xi – результат текущего измерения. Если
)n(
,xP)x(m
i
n
1i
i
i
x lim
n
.)xx(
1n
1
D
2
n
1i
i
.
1n
)xx(
2
n
1i
i
.x/k
в
.
2
))x(mx(
exp
2
1
)x(f
2
2
число измерений велико
, среднеарифметическое принимает
новый смысл и называется математическим ожиданием – m(x).
где Рi – вероятность появления i – го результата.
Таким образом, математическое ожидание является
теоретической величиной, к которой стремится среднее значение
измеряемой величины по мере увеличения количества измерений.
Математическое ожидание – это наиболее вероятное значение
случайной величины.
Мерой рассеивания отдельных измерений от среднего служит
дисперсия – D.
Корень квадратный от величины дисперсии называется
средним квадратичным отклонением или квадратичной ошибкой
Для оценки рассеивания применяется так же относительная
величина называемая коэффициентом вариации
Распределение случайных величин по вероятностям получения
такой величины (см. рисунок 4) называется законом распределения.
Величина абсциссы, соответствующая математическому ожиданию,
называется центром распределения. Площадь под такой кривой равна 1
или 100%, и позволяет охватить все результаты измерений. В
большинстве случаев кривая распределения соответствует
нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса)
14
m(x)
x
f(x)
Рис. 4. Кривая распределения вероятностей по закону Гаусса
)x(
i
xx
t
.dxe
2
2
)t(
i
t
0
2
x
i
Доверительным интервалом
, называется интервал
значений xi, в который попадает истинное значение измеряемой
величины с заданной вероятностью. Величина , составляющая
половину доверительного интервала, определятся здесь
Доверительной вероятностью измерения называется вероятность φ(t)
того, что истинное значение измеряемой величины попадает в
заданный доверительный интервал. Эта величина определяется в
процентах или долях единицы.
Обычно доверительный интервал определяют по формуле
,
где t – гарантийный коэффициент.
Доверительная вероятность Рд, гарантийный коэффициент и
значения измерений xi связаны между собой соотношением,
называемым интегралом Лапласа.
.
Рд =
Численные значения интеграла в зависимости от гарантийного
коэффициента приводятся в таблице 5.
15
Таблица 5 – Доверительная вероятность
t
Рд t Рд t Рд
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,1585
0,2357
0,3108
0,3829
0,4515
0,5161
0,5763
0,6319
0,6827
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
0,7287
0,7699
0,8064
0,8385
0,8664
0,8789
0,8904
0,9011
0,9109
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,25
2,50
3,00
0,9199
0,9281
0,9357
0,9426
0,9488
0,9545
0,9756
0,9876
0,9973
.
)t(1
)t(
n
из
x/m
o
o
.n/o
min
N
.
m
tk
t
N
2
22
в
2
o
22
min
При t = 1 величина
и для нормального закона
распределения границы доверительного интервала проходят через
точки перегиба кривой распределения. Вероятность того, какие-то из
измерений не выйдут за эти пределы, составляет 0,683, что
геометрически иллюстрируется заштрихованной площадью
(рисунок 4).
Количество измерений, на которые приходится одно с
погрешностью превышающей доверительный интервал, при
нормальном законе распределения определяется
Точность измерений характеризуется величиной
Здесь
– величина называемая средней ошибкой и определяемая
В исследованиях часто по заданной точности m и
доверительной вероятности Рд измерения требуется определить
минимальное количество измерений
, гарантирующих
требуемые величины m и Рд. Для этих целей в большинстве случаев
используют приближенные зависимости
16
.
Определяемое таким образом требуемое количество измерений
,
стост
n
Рд
0,80
0,90
0,95
0,99
0,995
0,999
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
30
60
3,080
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,363
1,350
1,341
1,333
1,328
1,316
1,290
1,282
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,80
1,77
1,75
1,73
1,70
1,68
1,67
1,64
12,71
4,30
3,18
2,77
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,20
2,16
2,13
2,11
2,09
2,04
2,00
1,96
63,70
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,11
3,01
2,95
2,90
2,86
2,75
2,66
2,58
127,30
14,10
7,50
5,60
4,77
4,32
4,03
3,83
3,69
3,50
3,37
3,29
3,22
3,17
3,15
3,06
2,81
637,20
31,60
12,94
8,61
6,86
5,96
5,40
5,04
4,78
4,49
4,22
4,07
3,96
3,88
3,65
3,46
3,29
в значительной мере зависит от желаемой точности и может быть
сравнительно небольшим. Так при исследованиях проводимых в
области холодильной техники оно часто бывает не более трех. Оценки
измерений по приведенным методам с помощью и о справедливы
лишь при большом числе измерений. При малом числе измерений для
нахождения границы доверительного интервала применяют метод
Госсета (псевдоним для научных публикаций – Стьюдент). Кривые
распределения Стьюдента при n 20 практически совпадают с
кривой нормального распределения.
Для малого количества n доверительный интервал
определяется
где
– коэффициент Стьюдента, принимаемый по таблице 6 в
ст
зависимости от значения доверительной вероятности Рд.
Таблица 6 – Коэффициент Стьюдента
17
Зная ст можно вычислить действительное значение
стд
xx
.3xx
max(min)
;
n
1n
xx
max
1
.
n
1n
xx
min
2
n
max
при Рд
n
max
при Рд
0,90
0,95
0,99
0,90
0,95
0,99
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1,41
1,64
1,79
1,89
1,97
2,04
2,10
2,15
2,19
2,23
1,41
1,69
1,87
2,00
2,09
2,17
2,24
2,29
2,34
2,39
1,41
1,72
1,96
2,13
2,26
2,37
2,46
2,54
2,61
2,66
13
14
15
16
17
18
19
20
25
30
2,26
2,30
2,33
2,35
2,38
2,40
2,43
2,45
2,54
2,61
2,43
2,46
2,49
2,52
2,55
2,58
2,60
2,62
2,72
2,79
2,71
2,76
2,80
2,84
2,87
2,90
2,93
2,96
3,07
3,16
измеряемой величины хд по малой выборке измерений
.
В процессе обработки экспериментальных данных следует
исключать измерения, содержащие грубые ошибки. Однако прежде,
чем измерение исключается, необходимо убедится, что оно содержит
действительно грубую ошибку. Известно несколько методов
определения ошибок статистического ряда. Наиболее простым
является правило трех сигм, по которому разброс случайных величин
от среднего значения не должен превышать
Чаще используется более достоверный метод, применяемый
для малой выборки измерений при нормальном законе распределения.
Здесь критерии грубых ошибок определяются
где х
max
, x
– наибольшее и наименьшее значения из n измерений.
min
В таблице 7 приведены в зависимости от доверительной
вероятности максимальные значения
разброса измерений.
Таблица 7 - Максимальные значения
18
, возникающие вследствие
max
max
Если 1
m
1
i
i
k
D
Dmax
k
m
Критерий Кохрена при Рд = 0,95
q = n – 1
1 2 3 4 5 6 8
10
16
36
2
3
4
5
6
0,99
0,97
0,90
0,84
0,78
0,97
0,93
0,76
0,68
0,61
0,93
0,79
0,68
0,60
0,53
0,90
0,74
0,62
0,54
0,48
0,87
0,70
0,59
0,50
0,44
0,85
0,76
0,56
0,48
0,42
0,81
0,63
0,51
0,44
0,38
0,78
0,60
0,48
0,41
0,35
0,73
0,54
0,43
0,36
0,31
0,66
0,47
0,36
0,26
0,25
статистического ряда, как грубую погрешность. При 2
исключается x
min
погрешности, определяются новые значения х
, то значение х
max
необходимо исключить из
max
min
. После исключения данной пары содержащей грубые
, x
max
, которые вновь
min
подвергаются проверке. Эта операция повторяется до тех пор, пока все
измерения, содержащие грубые погрешности не будут исключены.
Экспериментальные исследования должны проверяться так же
на воспроизводимость результатов. Такая проверка возможна, если
имеется несколько серий параллельно выполненных экспериментов.
Число серий m рекомендуется брать от 2 до 4. Чтобы оценить
воспроизводимость, рассчитывают критерий Кохрена
,
где Di – наибольшее из значений дисперсий из числа рассматриваемых
параллельных серий m; D
Опыты считаются воспроизводимыми, если kk kkт, где k
– сумма дисперсий m серий.
i
kт
–
табличное значение критерия Кохрена (таблица 8), принимаемое в
зависимости от числа серий экспериментов m, доверительной
вероятности Рд и числа степеней свободы q = n – 1.
Таблица 8 – Критерий Кохрена
2. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
Из анализа полученных на занятии №1 графиков зависимостей
термо э.д.с. от перепада температур, при которых находится спаи,
19
ΔΕ=f(ΔT) для хромель-копелевых и хромель-алюмелевых термопар,
n
1i
,
i
хк
Е
i
n
1
хк
Е
,
1n
)EE(
2
хк
n
1i
i
xк
хк
,n/
хк
хк
o
2
хк
o
22
хк
хк
min
t
N
,хк
ст
хк
о
хк
ст
;
n
1n
ЕЕ
хк
хк
хк
max
хк
1
.
n
1n
ЕЕ
хк
хк
minхк
хк
2
выявить экспериментальные точки, достоверность которых вызывает
сомнения. Для этих режимов выполнить повторную серию замеров с
максимально полным соблюдением всех условий, при которых
выполнялась первая серия.
Порядок обработки результатов полученных на занятии №1
можно представить в виде следующего алгоритма.
1. Вычислить среднеарифметические значения измеряемых
величин
мВ.
2. Вычислить величины среднего квадратичного отклонения
мВ.
3. Вычислить величины средней ошибки
мВ.
4. Выполним оценку минимального необходимого количества
измерений для доверительных вероятностей Рд = 0,80; 0,90; 0,95,
предполагая принадлежность результатов измерений к нормальному
закону распределения вероятностей
,
где величина гарантийного коэффициента t находится по таблице 5.
5. Определим доверительный интервал случайной
погрешности измерений для доверительных вероятностей Рд = 0,80;
0,90; 0,95, при условии, что n и m меньше 20
мВ,
где величина коэффициента Стьюдента определяется по таблице 6.
6. Выполнить анализ экспериментальных данных на грубые
ошибки по правилу трех сигм и по критериям грубых ошибок
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]