Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы принятия решений. Лабораторный практикум
.pdf
Рис. 2.10. Внешний вид диалогового окна «Результаты поиска решения»
Ответ: F
= 14; x1 = 2; x2 = 4.
max
Контрольные вопросы
1. Определение управленческих решений (УР). Сущность УР (органи-
зационная, экономическая, социальная, технологическая).
2. Области применения УР (технические, биологические, социальные
системы). Направленность УР (стратегическое планирование, управление
управленческой деятельностью, управление человеческими ресурсами, управление производственной и вспомогательной деятельностью, формирование организации: структура, процессы, механизмы, коммуникации с внешней средой
и др.).
3. Типы УР (структурированные, слабоструктурированные, неструкту-
рированные).
4. Понятие «лицо, принимающее решения» (ЛПР). Факторы, влияющие
на принятие и реализацию УР (общественное мнение, эгоизм, собственность,
религия, деньги, любовь, семья, политика и т.п.).
5. Альтернативы. Критерии. Процесс принятия решений. Типовые за-
дачи принятия решений.
6. Решение задач линейного программирования графическим методом.
7. Порядок решения задач линейного программирования.
8. Работа с надстройкой Поиск решения.
9. Последовательность решения задач линейного программирования
средствами Eсxel.
51
10. Активизация надстройки Поиск решения.
Оформление отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. цель и задачи работы;
2. постановку задачи и исходные данные;
3. порядок решения поставленной задачи;
4. полученные результаты;
5. выводы по лабораторной работе.
Литература: [1, с. 63 – 75]; [2, с. 3 – 24]; [3, с. 169 – 185]; [11]; [12].
Лабораторная работа № 2
Решение многокритериальной транспортной задачи методом STEM
Цель работы: решить многокритериальную транспортную задачу мето-
дом STEM в Microsoft Excel с помощью надстройки Поиск решения.
2.1. Постановка задачи
Основными этапами решения любой задачи в исследовании операций яв-
ляются:
1) построение модели;
2) выбор критерия оптимальности;
3) нахождение оптимального решения.
Наиболее часто встречаются следующие классические задачи исследова-
ния операций.
Первая из них получила название обобщенной транспортной задачи.
Пусть имеется большая компания грузоперевозок, доставляющая грузы по различным маршрутам. Руководство компании определяет, какие автомашины (по
вместительности) и сколько машин должны обслуживать различные маршруты.
Считается, что известны грузовые потоки между разными потребителями и общее число имеющихся автомашин различной грузоподъемности. Требуется
распределить машины по маршрутам так, чтобы минимизировать расходы на
их обслуживание.
Вторая задача получила название задачи о назначениях. Предполагает-
ся, что необходимо распределить заданное число работ среди исполнителей
так, чтобы каждый исполнитель выполнял одну работу. Стоимость выполнения
каждой из работ каждым исполнителем известна. Нужно распределить работы
так, чтобы суммарная стоимость их выполнения была минимальной.
Словесному описанию этих двух задач соответствует четкое математиче-
ское описание, представляющее собой математическую модель.
Классическая постановка транспортной задачи общего вида такова. Име-
ется m пунктов отправления («поставщиков») и n пунктов потребления («потребителей») некоторого одинакового товара. Для каждого пункта определены:
Wi – объемы запасов i-го поставщика, i = 1, …, m;
52
qj – потребность j-го потребителя, j = 1,…,n;
Поставщики
Потребители
Запасы
Q1
Q2 … Qn
W1
с
11
с
12
…
с
1n
w1
W2
с
21
с
22
…
с
2n
w2
…
… … … … …
W
m
c
m 1
c
m 2
…
cmn
wm
Потребность
q1
q2 … qn
njmix
mbx
miax
xcxf
ij
n
i
jij
i
n
j
ij
min
j
ijij
,...,1 ,,...,1 ,0
,...,1j ,
,...,1 ,
min)(
1
1
1 1
m
j
i
n
i
i
ab
11
– условие минимизации суммарных
транспортных расходов;
– ограничения по запасам;
– ограничения по потребностям;
– условие неотрицательности.
с
– стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта Wi –
ij
i-го поставщика, в пункт Qj – j-го потребителя.
Для наглядности данные удобно представлять в виде таблицы (табл. 2.1),
которую называют таблицей стоимостей перевозок.
Требуется найти план перевозок, при котором бы полностью удовлетво-
рялся спрос всех потребителей, при этом хватало бы запасов поставщиков и
суммарные транспортные расходы были бы минимальными (в случае однокритериальной транспортной задачи).
Таблица 2.1
Стоимость перевозок
Под планом перевозок понимают объем перевозок, т.е. количество това-
ра, которое необходимо перевезти от i-го поставщика к j-му потребителю. Для
построения математической модели задачи необходимо ввести m×n штук переменных х
возок из пункта Wi в пункт Qj. Набор переменных X = {x
, i= 1,…, n, j= 1, …, m, каждая переменная хij обозначает объем пере-
ij
} и будет планом, ко-
ij
торый необходимо найти, исходя из постановки задачи.
Ограничения задачи примут вид:
Достижение условия минимизации суммарных транспортных расходов
является решением однокритериальных транспортных задач.
Очевидно, что для разрешимости задачи необходимо, чтобы суммарный
спрос не превышал объема запасов у поставщиков:
.
53
При широком применении методов исследования операций аналитики
Xx
;
))(...,),((
1
m
X
xfxf
RZZX
m
ZXD
ZZZ
)...,,(
1 n
xxx
))(...,),(()(
1
xfxfxf
m
стали сталкиваться с задачами, где имеется не один, а несколько критериев
оценки качества решения. Такие задачи называются многокритериальными.
Задачи принятия решений, возникающие при управлении системами, при
решении задач проектирования, оценки свойств систем, как правило, являются
многокритериальными, т.к. системы обычно описываются несколькими свой-
ствами – локальными критериями.
Проблемная ситуация многокритериального принятия решений при опре-
деленности формально описывается следующей моделью:
существуют альтернативы x, которые обладают m свойствами (харак-
теристиками) z1, …, zm;
каждому i-му (i = 1, …, m) свойству zi альтернативы x соответствует
критериальная оценка zi = fi (x) – локальный критерий;
каждой альтернативе x соответствует в m-мерном критериальном про-
странстве Z решение (точка) z = (z1, …, zm) = (f1 (x), …, fm (x)) Rm;
альтернативы x принадлежат исходному множеству альтернатив X,
образованному ограничениями и условиями (
);
отображение множества X в критериальное пространство Z порождает
в этом пространстве множество решений ZX, являющееся образом множества
X:
на множество решений в критериальном пространстве наложены кри-
териальные ограничения, образующие подмножество ZZ;
допустимое множество решений в критериальном пространстве Z об-
разовано пересечением множеств ZX и ZZ (
).
Особенностью задачи является то, что альтернативе x соответствует од-
нозначное описание в пространстве критериев z = (z1, …, zm) = (f1 (x), …, fm (x)).
Требуется решить одну из следующих задач:
1) упорядочения альтернатив по совокупности m свойств;
2) классификации – распределить альтернативы по классам решений;
3) выбора – выделить лучшую альтернативу.
Требуется предложить формализованную постановку детерминированной
задачи выбора, сведя ее к задаче оптимизации, и предложить алгоритмы решения поставленных задач.
По признаку непрерывности задачи принятия решений делятся на дис-
кретные, непрерывные и смешанные.
Отметим, что для производственной системы, состоящей из производ-
ственных подсистем (агрегаты, установки, цеха, отделы, участки и т.д.), вектор
входных параметров
может описывать режимные параметры,
управляющие воздействия, вектор выходных параметров (критериев)
– результаты функционирования системы. Каждый ло-
54
кальный критерий
i
f
)...,,(
1 n
xxx
*
x
)...,,(
**
1
*
n
xxx
)(max xf
i
Xx
mi ...,,1
}...,,1,)(,:{ LjbxgxxX
jj
)(xf
i
)(xg
j
Lj ...,,1
X
)(xfi
связан со значением входных воздействий
эти зависимости, в частности, может описывать система моделей объекта.
С учетом приведенной информации задачу принятия решений при управ-
лении производственными и иными системами в общем виде можно формали-
зовать следующим образом.
,
Требуется найти альтернативу (решение)
вектор управления
), обеспечивающую такие значения локаль-
(для непрерывной задачи
ных критериев, которые удовлетворяют ЛПР, и для которой
,
,
,
где
– локальные критерии, значения которых либо вычисляются по моде-
лям либо получены в результате измерений или с помощью экспертных оценок;
,
, – функции ограничений, определяющих допустимую область
многокритериальной задачи; – исходное множество альтернатив.
Обычно критерии являются противоречивыми, и улучшение (увеличение)
значений по одному из критериев приводит к ухудшению (уменьшению) значе-
ний по другим критериям. В этой ситуации нужно искать компромисс.
Для преодоления неопределенности, связанной с многокритериально-
стью, нужно обычно решить ряд следующих проблем:
ввести понятие лучших решений;
использовать принципы оптимальности, которые обеспечивают спо-
собы сравнения решений в пространстве критериев;
использовать методы для поиска компромиссных решений.
В настоящем практикуме рассматривается задача максимизации. Такой
выбор связан с тем, что мы обычно имеем дело с функцией качества, значения
которой, естественно, желательно увеличить.
При наличии различного характера локальных критериев необходимы
предварительное преобразование и нормализация этих критериев. Если в качестве критериев выбраны затраты, потери и др., которые надо минимизировать,
то задача минимизации преобразуется в задачу максимизации изменением знака локальных критериев: «
».
В случае транспортных задач наиболее широко распространенными яв-
ляются критерии минимальности затрат на перевозку, максимальности без-
опасности и комфортабельности осуществляемых перевозок. Если есть три
критерия, то необходимо согласовать их. Какое соотношение между оценками
по критериям является наилучшим? Ответ на этот вопрос не определен условиями задачи. Нужна дополнительная информация, которая может быть получена
только от руководства компании перевозчика.
Обратимся теперь к задаче о назначениях. Возьмем часто встречающийся
случай, когда работы неодинаковы по своей важности, а исполнители различаются по качеству выполняемой работы. Тогда к приведенному выше критерию
55
минимальной стоимости можно добавить критерий качественного выполнения
наиболее важных работ. Если есть уже два критерия, по которым следует оце-
нивать качество распределения исполнителей по работам, то необходимо как-то
согласовать их. Какое отклонение от минимума стоимости оправдывает высококачественное выполнение важных работ? Ответ на этот вопрос не вытекает
из сформированной модели. Этот ответ вообще не может быть получен объективным образом. Информация о компромиссе может быть дана людьми, при-
нимающими решения на основе их опыта и интуиции.
Эти и многие подобные задачи имеют следующую характерную особен-
ность: модель, описывающая множество допустимых решений, объективна, но
качество решения оценивается по многим критериям. Для выбора наилучшего
варианта решения необходим компромисс между оценками по различным критериям. В условиях задачи отсутствует информация, позволяющая найти такой
компромисс. Следовательно, он не может быть определен на основе объектив-
ных расчетов.
Анализ многих реальных практических проблем, с которыми сталкива-
лись специалисты по исследованию операций, естественным образом привел к
появлению класса многокритериальных задач.
При появлении многих критериев задачи выбора наилучшего решения
приобретают следующие особенности:
задача имеет уникальный, новый характер – нет статистических дан-
ных, позволяющих обосновать соотношения между различными критериями;
на момент принятия решения принципиально отсутствует информа-
ция, позволяющая объективно оценить возможные последствия выбора того
или иного варианта решения. Но поскольку решение так или иначе должно
быть принято, то недостаток информации необходимо восполнить. Это может
быть сделано лишь людьми на основе их опыта и интуиции.
Приведенный выше пример позволяет объяснить, почему многокритери-
альные задачи с объективными моделями сложны для ЛПР. Чтобы принять решение, необходимо, во-первых, установить, насколько хорошие значения по
критериям достижимы одновременно. Сделать это совсем не просто, так как
число переменных, описывающих область В допустимых значений, равно сотням и тысячам. Получая каким-то из способов решение задачи, ЛПР видит со-
отношения между критериями. Для поведения ЛПР типичны попытки достичь
«всего сразу» (т.е. получить наилучшие значения по всем критериям одновременно). Результаты таких попыток позволяют понять, чего можно достичь и чего нельзя. Наряду с этим ЛПР вырабатывает компромисс между оценками по
критериям, определяя желательное для него отношение между ними в точке
решения. Выработка такого компромисса достигается тоже путем проб, ошибок
и затрат времени. На первых этапах решения ЛПР обычно стремится к идеальному результату, но потом, с опытом, его притязания становятся более реали-
стичными.
56
Теперь, когда основные трудности для ЛПР стали ясны, можно сформу-
n
j
jiji
xcC
1
лировать многокритериальную задачу линейного программирования.
Дано: область В допустимых значений переменных, определяемая сово-
купностью линейных равенств и неравенств; критерии С
, оценивающие каче-
k
ство решения.
Каждый из критериев линейно связан с переменными:
,
где n – число переменных j = 1, ..., n; cij – числовые коэффициенты.
Требуется: найти решение (x1, x2, ..., xn) в области D, при котором до-
стигаются наиболее приемлемые значения по всем критериям. Иначе говоря, нужно найти такие критериальные оценки, при которых достигается
максимальное значение априори неизвестной функции полезности ЛПР.
Эта задача решается с помощью человеко-машинных процедур.
Диалоговый подход, использующий интерактивные человеко-
машинные процедуры (ЧМП), для поиска лучших альтернатив ориентиро-
ван на преодоление многокритериальности и нечисловой природы оптимизируемых функций, основан на использовании информации о предпочтен и-
ях ЛПР.
При этом подходе ЛПР обычно взаимодействует с ЭВМ, определяя
соотношения между критериями, проясняет характерные черты задачи, выявляет и уточняет свои предпочтения и в результате диалога с ЭВМ вырабатывает все более совершенные решения. Так осуществляется самооб учение
на реальном материале задачи, что способствует выработке разумного компромисса в требованиях ЛПР к значениям, достигаемым по разным критериям. Это объясняет потенциальную эффективность подобных методов
принятия решений. Процесс заканчивается, когда ЭВМ выдает приемлемое
решение либо когда ЛПР убедится в нецелесообразности дальнейших попы-
ток получить разумный компромисс при данной модели.
Достоинством диалоговых методов является сочетание возможностей
ЭВМ по быстрому проведению больших, сложных расчетов и способностей
человека к восприятию альтернатив в целом. Методы этой группы приме-
няются в том случае, когда модель проблемы известна частично.
Диалоговые, или человеко-машинные, процедуры структурно состоят
из совокупности шагов, каждый из которых включает в себя фазу анализа,
выполняемого ЛПР, и фазу расчетов, выполняемых компьютером.
Компьютерная фаза расчетов:
компьютер, используя полученную от ЛПР на предыдущем шаге ин-
формацию, проводит дополнительные расчеты;
компьютер вычисляет решение, соответствующее последней инфор-
мации ЛПР;
57
компьютер вырабатывает вспомогательную информацию для ЛПР.
( ) ( )
()
( ) ( )
k
k
k
k
k
C x C x
Сx
C x C x
( ), ( )
k
k
C x C x
Фаза анализа, проводимая ЛПР:
ЛПР определяет, оценивая предъявленное решение (или множество
решений), является ли решение приемлемым; если да, то процедура поиска решения окончена; в противном случае ЛПР анализирует вспомогательную ин-
формацию;
ЛПР сообщает дополнительную информацию, с помощью которой
компьютер вычисляет новое решение.
Существует большое количество ЧМП [2], [3]. Различные ЧМП отлича-
ются друг от друга содержанием и способом выполнения каждой из фаз. Первые из разработанных ЧМП основаны на использовании информации об отно-
сительной важности критериев.
Была предложена классификация ЧМП, основанная на характере инфор-
мации, получаемой от ЛПР на фазе анализа.
Первая группа ЧМП – прямые ЧМП, в которых ЛПР непосредственно
назначает веса критериев и корректирует их на основе полученных решений. В
основе прямых ЧМП лежит предположение, что человек может искать наилучшее решение путем непосредственного назначения ряда параметров (например,
весов критериев) и сравнения получающихся решений.
Для второй группы ЧМП задача ЛПР состоит в сравнении многокритери-
альных решений. Эта группа называется ЧМП оценки векторов.
Третья группа требует от ЛПР наложения ограничений на значения кри-
териев и, следовательно, на область достижимых значений. ЧМП этой группы
называются ЧМП поиска удовлетворительных решений.
Все эти ЧМП имеют общие предварительные этапы. Прежде всего реко-
мендуется произвести нормирование критериев, определив диапазон их изме-
нения от 0 до 1:
где
рия; Ck (х) – промежуточное значение.
влетворительных значений критериев. Она предназначена для решения много-
критериальных задач линейного программирования, одной из которых как раз и
является многокритериальная транспортная задача.
шения, который осуществляется следующим образом: в порядке очереди опре-
деляется приемлемое значение по каждому из критериев.
де можно представить в виде следующих действий:
ЧМП STEM – одна из первых ЧМП, относится к процедурам поиска удо-
Процедуры предназначены для систематического поиска наилучшего ре-
Рассмотрим общую структуру метода ограничений, которую в общем ви-
,
– минимально и максимально возможные значения k-го крите-
58
1. Исследование области допустимых значений. Оптимизация по каж-
max
Z
opt
Z
max
Z
opt
Z
opt
Z
i
z
i
z
i
z
Критерии
C1
C2 … Cj
C1
1
2
1
C
…
j
C
1
C2
1
2
C
1
…
j
C
2
…
… … …
…
Cj
1
j
C
2
j
C
…
1
1
j
C
дому из критериев, определение вектора, объединяющего оптимальные значения для каждого критерия
.
2. Определение весов критериев. Оптимизация свертки критериев, по-
лучение вектора
.
3. Диалог с ЛПР (по
компоненты
4. Выбор
).
с наименее удовлетворительным значением. Назначение
ЛПР удовлетворительного значения для
и
определяются «хорошие» и «плохие»
.
5. Максимизация критериев при ряде ограничений на критерий (крите-
риальные ограничения).
6. ЛПР выбирает ограничение на
. Переход к новой области допу-
стимых значений.
7. Если ЛПР удовлетворен решением, то останов поиска, иначе переход
к п. 1.
2.2. Теоретический материал для изучения
Примером человеко-машинных процедур поиска удовлетворительных
значений критериев служит процедура STEM – одна из первых человеко-
машинных процедур. Она предназначена для решения многокритериальных задач линейного программирования, одной из которых как раз и является много-
критериальная транспортная задача.
Рассмотрим фазы расчетов и анализа человеко-машинной процедуры
STEM.
Фаза расчетов
1. Проводится оптимизация по каждому критерию отдельно, при этом
значения всех остальных критериев заносятся в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Относительные значения критериев
В табл. 2.2
– значение 1-го критерия при оптимизации по j-му крите-
рию. Ясно, что диагональные элементы равны единице, а все прочие меньше
единицы. Очевидно, что после нормирования наибольшее значение каждого
критерия равно единице, а наименьшее – нулю. Любой столбец содержит зна-
59
чения соответствующего критерия, достигаемые при оптимизации по всем кри-
1
1;
1
1
1
Ni
i
j
i
j
i
a
a
N
i
iгл
C
1
1
териям.
Таблица вмещает ценную информацию, характеризующую область допу-
стимых значений. Так, если значения каких-то двух столбцов близки для каж-
дой из строк (кроме строк, содержащих единицы в этих столбцах), то два соответствующих критерия сильно зависимы, так как изменения всех иных критериев (кроме этих двух) одинаково влияют на эти два критерия. Можно выявить
также и противоречивые критерии: высокая оценка по одному сопровождается
низкой оценкой по другому. Такая информация весьма полезна для лица, при-
нимающего решение, изучающего возможности, предоставляемые областью D
допустимых значений.
2. По табл. 2.2 вычисляются индексы критериев.
Пусть ai – среднее значение, взятое по всем элементам 1-го столбца (кро-
ме единицы). Тогда
(индекс 1-го критерия) вычисляется из соотношений
. (2.1)
Индекс критериев может быть назван коэффициентом внимания, которое
следует уделять критерию при поиске решения.
Предположим, что все элементы 1-го столбца в табл. 2.2 близки к едини-
це. Тогда среднее значение тоже близко к единице, (1 – a
) мало и соответству-
i
ющий индекс мал. Действительно, если при оптимизации по другим критериям
значение данного критерия близко к наилучшему, то ему вряд ли стоит уделять
внимание. Наоборот, критерию, сильно зависящему от изменений других критериев (ai мало), должны соответствовать большие значения индекса. Индексы
называют иногда техническими весами, потому что в отличие от весов wi они
не назначаются лицом, принимающим решение, а вычисляются.
3. Производится оптимизация по глобальному критерию. Глобальный
критерий имеет вид
. (2.2)
Решение, найденное при оптимизации, предъявляется лицу, принимаю-
щему решение (ЛПР).
Фаза анализа
1. ЛПР анализирует вектор значений критериев Pi, найденный при оп-
тимизации по критерию (2.2). Затем ему задается вопрос: все ли компоненты
вектора Pi имеют удовлетворительные значения? Если да, то решение получе-
но. Если нет, то ЛПР указывает один критерий с наименее удовлетворительным
значением.
2. ЛПР просят назначить для критерия с наименее удовлетворитель-
ным значением пороговое значение, при достижении которого можно признать этот критерий имеющим удовлетворительное значение.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]