Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и средства обработки сигналов. Учебное пособие.pdf
21
К непериодическим сигналам относят почти периодические и
3
0
sin( )
n nn
n
At
=
ω +ϕ
∑
апериодические, или переходные сигналы.
Почти периодические сигналы близки по своей форме к полигар-
моническим (pис. 1.4.3). Они также представляют собой сумму двух и
более гармонических сигналов, но не с кратными, а с произвольными
частотами, отношения которых (хотя бы двух частот минимум) не относятся к рациональным числам, вследствие чего фундаментальный
период суммарных колебаний бесконечно велик. Как правило, почти
периодические сигналы порождаются физическими процессами, не
связанными между собой.
s(t) =
.
Частотный спектр почти периодических сигналов также дискретен.
Рис. 1.4.3. Почти периодический сигнал и его АЧХ
Апериодические сигналы составляют основную группу неперио-
дических сигналов и задаются произвольными функциями времени
(рис. 1.4.4). Например:
s(t) = exp(–0.15t) – exp(–0.17t).
Частотный спектр апериодических сигналов непрерывен и для их
представления в частотной области используется интегральное преобразование Фурье.
К апериодическим сигналам относятся также и импульсные сигна-
лы. Импульсы представляют собой сигналы достаточно простой формы (рис. 1.4.5), существующие в пределах конечных временных интервалов.
22
Рис. 1.4.4. Апериодический сигнал и модуль его спектра
Рис. 1.4.5. Импульсный сигнал и модуль его спектра
1.4.2. Классификация случайных сигналов
Случайный сигнал отображает случайное физическое явление или
физический процесс. Зарегистрированный в единичном наблюдении
сигнал не воспроизводится с достаточной точностью при повторных
наблюдениях и не может быть описан явной математической зависимостью. При регистрации случайного сигнала реализуется только один
из возможных вариантов (исходов) случайного процесса, а достаточно
полное и точное описание процесса в целом можно произвести только
после многократного повторения наблюдений и вычисления определенных статистических характеристик ансамбля реализаций сигнала.
Случайные сигналы подразделяют на стационарные и нестацио-
нарные. Стационарные случайные сигналы сохраняют свои статисти-
ческие характеристики в последовательных реализациях случайного
процесса. Что касается нестационарных случайных сигналов, то их
общепринятой классификации не существует. Как правило, из них выделяют различные группы сигналов по особенностям их нестационарности.
23
2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОШИБОК
.xxX∆= −
12
, ,...,
N
xx x
k
x
1
1
lim .
N
k
N
k
Xx
N
→∞
=
=
∑
2.1. Статистические характеристики ошибок
Ошибка измерения – разность приближенной и точной величин
Это непредсказуемая, неизвестная величина, которую нельзя опре-
делить. В противном случае мы смогли бы внести поправку в приближенное число и получили бы точное. Но сделать это невозможно. Однако практические потребности диктуют нам необходимость знать
что-то об этих ошибках. Понятно, что с плохим инструментом мы получим больший разброс измеренных значений, чем с хорошим. Это
«что-то» есть характеристики ошибок. В частности, одной из характеристик ошибок является мера ее разброса – дисперсия, на определении
которой остановимся чуть позже.
Раздел математики, изучающий закономерности по большому ко-
личеству наблюдательных данных, называют математической ста-
тистикой.
Вероятность – это отношение числа результатов с заданными при-
знаками к общему числу равновозможных результатов. Для построения характеристик погрешности наблюдений мы будем пользоваться
этим статистическим определением вероятности.
Важнейшей характеристикой ошибки является среднее значение,
или в терминологии теории вероятности – математическое ожидание.
Допустим, что мы измеряем величину Х. В результате имеем ряд
приближенных значений
наиболее достоверное значение, как уменьшить влияние погрешности
измерения? Если предположить, что ошибки могут быть как положительные, завышающие истинную величину, так и отрицательные, за-
нижающие Х, то при суммировании
дет компенсировать другие. Интуиция подсказывает, что среднее
арифметическое будет менее всего подвержено влиянию погрешностей
измерений. Кажется очевидным также, что чем больше наблюдательных данных, тем более точный результат мы получим. Тогда
. Возникает вопрос, как получить
часть одних погрешностей бу-
24
Приведенное выражение, по сути, есть статистическое определение
k
x
1
1
lim
N
k
N
k
xx
N
→∞
=
〈 〉=
∑
1
1
n
k
k
xx
n
=
=
∑
,x Х〈 〉=
0.xxХ xХ〈∆ 〉=〈 − 〉=〈 〉− =
22 2
1
1
lim ( ) .
N
xk
N
k
x xX
N
→∞
=
σ = 〈∆ 〉 = −
∑
2
xx
σ= σ
( )
2
1
1
n
xk
k
xX
n
=
ε= −
∑
n →∞
xx
ε →σ
математического ожидания (среднего значения). Молчаливо предполагается, конечно, что все
– равновозможны. В действительности это
выполняется далеко не всегда. Поэтому строгое определение математического ожидания отличается от введенного нами понятия среднего
значения как среднего арифметического по бесконечному ансамблю
данных.
Среднее значение и арифметическое среднее обозначаются соот-
ветственно:
,
.
Для того чтобы среднее значение было равно точному значению
величины Х, необходимо: если
то
Отсюда следует, что среднее значение случайной ошибки равно нулю.
Это свойство случайной ошибки можно считать ее определением:
ошибку (погрешность) можно считать случайной, если помимо ее непредсказуемости выполняется условие равенства нулю ее среднего
значения.
Дисперсией случайной погрешности величины Х называется сред-
нее значение квадрата этой погрешности и обозначается через
Квадратный корень из дисперсии, имеющий размерность числа Х,
называется стандартным отклонением (стандартом)
. Стан-
дарт всегда положителен, так же как и дисперсия.
Наконец, средней квадратической ошибкой (СКО) называют эмпи-
рическое значение (полученное из опытных данных) стандарта случайной погрешности. Например, СКО можно определить как
.
Очевидно, что при
, будем иметь
.
25
Ковариацией двух ошибок называют среднее значение их произве-
k
x∆
, ky∆
1
1
lim
N
xy k k
N
k
xy x y
N
→∞
=
σ =〈∆ ⋅∆ 〉= ∆ ⋅∆
∑
0
xy
σ=
2
x
σ
2
y
σ
xy
σ
2
2
x xy
xy
yx y
C
σσ
=
σσ
σ
xy= yx
σ
( )
12
, ,...,
T
m
XX X=
22
x
xσ = 〈∆ 〉
22
yσ = 〈∆ 〉
xyσ = 〈∆ ⋅∆ 〉
дения. Даны
и
k = 1, 2, …, N – ошибки величин X и Y, тогда
ковариация этих ошибок равна
.
Ковариация является мерой независимости ошибок величин X и Y.
Если они независимы, то
. Обратное утверждение – если кова-
риация ∆x и ∆y равна нулю, то они независимы – строго говоря, несправедливо.
Итак, если имеются два приближенных числа, то в качестве харак-
теристик ошибок будем иметь три числа
,
и
. Из них можно
образовать матрицу
, где
.
Такая матрица называется ковариационной. Она может быть опре-
делена для вектора X
m величин. Ковариационная
матрица ошибок вектора выполняет ту же функцию в математической
обработке наблюдений, что и дисперсия ошибки скалярного числа.
2.2. Линейное преобразование ошибок
2.2.1. Линейное преобразование ошибок скалярных величин
Допустим, что величины X и Y связаны между собой линейной за-
висимостью Y = aX + b. Естественно, что для вычисления y по приближенному числу х мы будем пользоваться той же линейной зависимостью y = ax + b.
Вычитая из второго равенства первое, получим ∆y = a∆x.
Если величина х содержит случайную погрешность, т.е. <∆х> = 0,
то отсюда немедленно следует, что и <∆у> = 0.
Вычислим теперь дисперсии и стандартные отклонения. По опре-
делению
,
y
,
xy
.
26
Возведя в квадрат обе части уравнения ошибок, получим:
2 22
2 22
,
yx
aσ= σ
yx
( )
22
.
xy x
xax a x aσ=∆ ∆ = ∆ =σ
2 22 22
2
z x xy y
a ab bσ= σ+ σ + σ
( )
2
22 22
2
x y x xy y
a b a ab bσ+σ = σ+ σσ+ σ
.
xy x y
σ ≠σσ
2 22 22
z xy
abσ= σ+ σ
( )
12
, ,...,
Т
m
XX X=
( )
12
, , ...,
Т
n
YY Y=
,y ax∆= ∆
т.е.
Определим теперь ковариацию:
aσ = ⋅σ
.
В отличие от стандартного отклонения ковариация в зависимости
от знака а может быть как положительной, так и отрицательной.
Рассмотрим более сложный случай, когда одно число Z есть линейная комбинация двух других X и Y: Z = aX + bY + c. Отбрасывая несущественную аддитивную постоянную с, получим уравнение ошибок
∆z = a∆x+b∆y. Дисперсия ошибок приближенной величины z вычисля-
ется по формуле
2 22 22
2z a x ab x y b y∆ = ∆ + ∆∆ + ∆
или
.
Заметим, что полученное выражение отличается от квадрата
суммы
тем, что в общем случае
Если ошибки ∆x и ∆y независимы, то
.
Полученный вывод очень важен: при независимых ошибках дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Другими словами, складываются не ошибки, а их средние квадраты!
2.2.2. Линейное преобразование ошибок векторных величин
Рассмотрим два вектора X
Будем считать их линейно зависимыми Y = AX + B, где А – прямоугольная матрица (n×m), В – матрица-столбец (n×1). Очевидно, что той же
зависимости удовлетворяют и приближенные векторы x и y: y = Ax + B.
Вычитая из последнего равенства точную формулу, получим векторное уравнение ошибок Δy = AΔx.
Матрица В исключается, ибо по предположению ошибки содержат
только составляющие векторов x и y.
Выполним осреднение по бесконечному «ансамблю реализаций»
<Δy> = A<Δx>.
, Y
.
27
Если Δx – случайная ошибка, т.е. <Δx> = 0, то легко видеть, что и
yx
=⋅⋅
121
122
,
2,
yyx
yyx
+=
−=
( )
12
,Txx=
2
10
01
xx
C
= σ
11
22
11
21
yx
yx
=
−
11
22
11
1
21
3
yx
yx
=
−
2
2
1 1 10 1 2 21
11
2 1 01 1 1 15
3 39
x
yx
C
σ
= σ⋅ =
−−
ее линейная трансформация также случайная ошибка: <Δy> = 0.
Вычислим теперь ковариационную матрицу ошибок вектора y по
известной ковариационной матрице ошибок вектора x. По определе-
нию C
C
= <Δy, ΔyT>, Cx = <Δx, ΔxT>, но Δy = AΔx, ΔyT = ΔxTAT, поэтому
y
= A <Δx, ΔxT> AT.
y
Отсюда следует, что
C AC A
T
.
Итак, для того чтобы получить ковариационную матрицу погреш-
ности линейного преобразования y = Ax, нужно ковариационную матрицу погрешности исходной векторной величины x умножить слева на
матрицу А, а справа – на матрицу А
Т
.
В качестве примера рассмотрим систему
где пред-
полагается, что ковариационная матрица ошибок вектора x
нам известна и равна
. Вычислим ковариационную мат-
рицу погрешностей y.
Запишем уравнение в матричной форме:
, ⇒
.
Ковариационную матрицу y вычислим по ранее выведенной нами
формуле
.
2.3. Перенос ошибки. Прямая задача теории ошибок
Прямая задача теории ошибок решает вопрос переноса ошибок ис-
ходных данных в результаты вычислений при их произвольном преобразовании.
Рассмотрим сначала простейший случай преобразования одной
скалярной величины Х в другую скалярную величину Y, зависящую от
первой: Y = f(X).
28
Вместо точного значения аргумента Х мы располагаем лишь при-
() ( )y y Y fx fX∆= − = −
( ) ( ) ()y fX x fX xf x
′
∆ = +∆ − ≈∆
( )
()
yx
fx
′
σ=σ
sinyx=
cosy xx∆= ∆
cos .
yx
xσ= σ
2, 0.
y
x =π σ=
2x = π
sinyx=
x∆
2
2
2x = π
2
2
22
( )
,z xy= ϕ
(
)
( )
,,xy xy
zxy
xy
∂ϕ ∂ϕ
∆= ∆+ ∆
∂∂
ближенным х, поэтому в результате вычисления получим приближенное значение y = f(x). Ошибкой этого значения будет
. Ограничимся линейным приближением
′
()
fx
2
или
. Отсюда следует, что
22
σ=σ
yx
.
,
Например:
,
,
Однако мы можем столкнуться и с особым случаем. Например, при
Следовательно, ошибка аргумента не вносит ошибку в
результат. В действительности это не так, ибо здравый смысл подсказывает, что ошибочные исходные данные обязаны внести погрешность
в результат. Все дело в том, что процедуру линеаризации – замены нелинейной функции линейной – нельзя применить к функции вблизи ее экс-
тремума. В данном случае в точке
функция
имеет мак-
симум. Очевидно, при разложении х в ряд по степеням приращения
нужно брать и квадрат этой величины:
2
x
sin sin( ) sin cos sin ...,
y x Xx XxX X
= = +∆ = +∆ − +
1
имеем
2
При
y
yx
〈∆ 〉 = − 〈∆ 〉 = − ≠
2
x
cos sin ...
yxx x
∆ ≈∆ − +
∆=−
σ
x
. Ошибка в этом случае имеет систематиче-
0
∆
2
xy∆
, т.е. среднее значение погрешности
∆
.
ский характер, ее среднее значение равно половине дисперсии аргумента с обратным значением.
Рассмотрим теперь случай, когда функция имеет два аргумента
.
Линеаризация этой функции дает
.
29
В данном случае производные
( )
,xy
x∂ϕ∂
( )
,xy
y∂ϕ∂
,z ax by∆=∆+∆
( )
,xy
a
x
∂ϕ
=
∂
( )
,xy
b
y
∂ϕ
=
∂
( ) ( )
2
( )
( )
2
2
22
2
z x x xyxy y y
′ ′′ ′
σ = ϕ σ + ϕϕσ + ϕ σ
x∆
y∆
( )
( )
2
2
22
z xx yy
′′
σ= ϕ σ+ϕ σ
12 12
22 .
l
T lg
g
= π = π⋅
6
1 10
l
−
σ=⋅
6
1 10
T
−
σ=⋅
0.25l ≈
9.8g ≈
11
ln ln ln ln 2
22
Tlg= − +π
11
22
Tlg
Tlg
∆ ∆∆
= −
и
суть числа, по-
лученные после подстановки значений x и y в выражение для производных. Уравнение ошибок, следовательно, можно записать так:
где
,
.
Следуя рассуждениям, приведенным в предыдущем разделе, легко
получить дисперсию и стандартное отклонение функции двух аргументов:
22 2
σ=ϕ σ+ ϕ ϕ σ +ϕ σ
z x x x y xy y y
2
′ ′′ ′
( ) ( )
2
,
.
В случае независимости ошибок
и
будем иметь
.
Определение дисперсии или стандартного отклонения функции по
заданным дисперсиям и ковариациям погрешности аргумента называется прямой задачей теории ошибок.
Пример. Период колебания маятника Т зависит от приведенной
длины l и ускорения свободного падения g следующим образом:
С какой точностью по этой формуле можно
вычислить g, если
м,
с, а
м,
м⋅с-2,
Т = 1с?
В данном случае удобнее поступить следующим образом. Пролога-
рифмируем обе части равенства
Дифференцируя, получим уравнение ошибок
.
.
30
В данном случае g – функция, а l и Т – аргументы, поэтому, разде-
2lT
gg
lT
∆∆
∆= −
l∆
g∆
2
2
22
22
4
l
T
g
g
lT
σ
σ
σ= +
( )
12 12
2
2
1 10 4 10
9.8
1
0.25
g
−−
⋅⋅
σ= + =
6
4.5 10 .g
−
⋅
( )
( )
( )
11 1
112
12
...
m
m
yxx x
xx x
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∆= ∆+ ∆+ + ∆
∂∂ ∂
22 2
212
12
...
m
m
y xx x
xx x
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∆=∆+∆++∆
∂∂ ∂
1
12
12
...
nn n
nm
m
y xx x
xx x
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∆ = ∆+ ∆ + + ∆
∂∂ ∂
лив их знаком равенства, получим
Предполагая, что ошибки
сию ошибки
:
и T∆независимы, получим диспер-
.
.
Подставив численные значения, получим
В случае, когда решается прямая задача для вектор-функции при-
ближенных аргументов, искомую дисперсию погрешности заменяет
ковариационная матрица y = φ(x), где φ(x) – вектор-функция размера
(n ×1), а x – вектор размера (m × 1):
y xx x= ϕ
1 112
y xx x= ϕ
2 212
, ,...,
, ,...,
,
m
,
m
. . . . . . . . . . . . . . . . .
y xx x= ϕ
nn m
, ,...,
12
.
Допустим, что ковариационная матрица ошибок вектора x известна
и равна C
(см. раздел 2.2.2). Попробуем определить ковариационную
x
матрицу ошибок вектора y. Запишем уравнения ошибок, используя
описанный выше способ линеаризации:
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.