Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и средства обработки сигналов. Учебное пособие.pdf
11
Большинство дискретных и цифровых сигналов, с которыми прихо-
дится иметь дело, являются аналоговыми по своей природе, дискретизированными в силу методических особенностей измерений или технических особенностей регистрации. Но существуют и сигналы, которые
изначально относятся к классу счетных, например, гамма-кванты, зарегистрированные по последовательным интервалам времени.
Рис. 1.2.4. Квантованный сигнал
y(t) = Q
[4.8 exp(–(t – 4)2/2.8)], k = 5
k
Спектральное представление сигналов. Кроме привычного
временного (координатного) представления сигналов и функций, при
анализе и обработке данных широко используется описание сигналов
функциями частоты, т.е. по аргументам, обратным аргументам временного (координатного) представления. Возможность такого описания определяется тем, что любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал можно представить в виде суммы более простых сигналов, в
частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, совокупность которых называется частотным спектром сигнала. Математически спектр сигналов описывается функциями значений амплитуд и
начальных фаз гармонических колебаний по непрерывному или дискретному аргументу – частоте. Спектр амплитуд обычно называется
амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) сигнала, спектр фазовых углов – фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Описание
частотного спектра отображает сигнал так же однозначно, как и координатное описание.
В качестве примера на рис. 1.2.5 приведен отрезок сигнальной
функции, которая получена суммированием постоянной составляющей
(частота постоянной составляющей равна 0) и трех гармонических ко-
лебаний. Математическое описание сигнала определяется формулой
12
s(t) =
3
0
cos(2 )
n nn
n
A ft
=
π +ϕ
∑
где A
= {5, 3, 6, 8} – амплитуда колебаний; fn = {0, 40, 80, 120} – часто-
n
та колебаний в герцах; ϕ
= {0, –0.4, –0.6, –0.8} – начальный фазовый
n
,
угол колебаний в радианах; n = 0, 1, 2, 3.
Рис. 1.2.5. Временное представление сигнала
Частотное представление данного сигнала (спектр сигнала в виде
АЧХ и ФЧХ) приведено на рис. 1.2.6. Обратим внимание, что частотное представление периодического сигнала s(t), ограниченного по числу гармоник спектра, составляет всего восемь отсчетов и весьма компактно по сравнению с непрерывным временным представлением,
определенным в интервале от –∞ до +∞.
Графическое отображение аналоговых сигналов (см. рис. 1.2.1)
особых пояснений не требует. При графическом отображении дискретных и цифровых сигналов используется либо способ непосредственных дискретных отрезков соответствующей масштабной длины
над осью аргумента (рис. 1.2.6), либо способ огибающей (плавной или
ломаной) по значениям отсчетов (пунктирная кривая на рис. 1.2.2). В
силу непрерывности полей и, как правило, вторичности цифровых данных, получаемых дискретизацией и квантованием аналоговых сигналов,
второй способ графического отображения будем считать основным.
Рис. 1.2.6. Частотное представление сигнала
13
1.3. Преобразования типа сигналов
Формы математического отображения сигналов, особенно на эта-
пах первичной регистрации, отражают их физическую природу. Последнее не является обязательным и зависит от методики измерений и
технических средств регистрации, преобразований, передачи, хранения
и обработки сигналов. На разных этапах процессов получения и обработки информации как материальное представление сигналов в
устройствах регистрации и обработки, так и формы их математического описания при анализе данных могут изменяться путем соответствующих операций преобразования типа сигналов.
1.3.1. Дискретизация сигналов
Обработка информации в ЭВМ производится в числовой форме с
представлением сигналов в виде последовательностей числовых значений (одно- или многомерных массивов), которые образуют дискретную функцию дискретных переменных. Числовые значения представляют собой или значения отсчетов сигнала, дискретного по своей
природе, или квантованные значения выборок при дискретизации аналогового сигнала.
Для реальных задач обработки данных обычно требуется значи-
тельно меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков в виде непрерывного аналогового сигнала. При этом рациональное выполнение операций дискретизации и квантования исходных
данных дает возможность снизить затраты на хранение и обработку
информации. Использование дискретных сигналов позволяет применять методы кодирования информации, доступные для последующего
обнаружения и исправления ошибок и исключения эффекта накопления искажений.
Представление сигнала s(t) на интервале Т совокупностью дискрет-
ных значений с
где А – оператор дискретизации. Аналогично для операции восстановления сигнала s(t):
записывается в виде
i
(с
, с2, ..., сN) = А[s(t)],
1
s'(t) = В[(с
, с2, ..., сN)].
1
Выбор операторов А и В определяется требуемой точностью вос-
становления сигнала. Наиболее простыми являются линейные операторы. В общем случае:
14
( ) ( )
,
nn
t
c q t s t dt=
∫
(1.3.1)
( ) ( )
,
nn
n
s t cv t
′
=
∑
.nt
где qn(t) – система весовых функций. Воспроизводящая функция s'(t)
соответственно представляется аппроксимирующим полиномом:
где v
(t) – система базисных функций. Предполагается, что базисные
n
функции ортогональны и обеспечивают сходимость ряда к s(t) при
n ⇒ ∞. Оптимальными являются методы дискретизации, обеспечива-
ющие минимальный числовой ряд при заданной погрешности воспроизведения сигнала.
Отсчеты в выражении (1.3.1) связаны с операцией интегрирования,
что обеспечивает высокую помехоустойчивость дискретизации. Однако в силу сложности технической реализации «взвешенного» интегрирования последнее используется достаточно редко при высоких уровнях помех. Более широкое распространение получили методы, при
которых сигнал s(t) заменяется совокупностью его мгновенных значе-
ний s(t
), т.е. отсчетов в моменты времени
n
Роль весовых функций в
этом случае выполняют импульсы Кронекера – функции единичного
отсчета δ(k∆t – n∆t), которые равны 1 в координатной точке k = n и нулю во всех остальных точках. При этом функция δ(k∆t – n∆t) определена для любых значений ∆t = const, но только для целых значений координат k и n.
Отрезок времени ∆t между соседними выборками называют шагом
дискретизации. Дискретизация называется равномерной с частотой
F = 1/∆t, если значение шага ∆t постоянно по всему диапазону преоб-
разования сигнала. При неравномерной дискретизации значение ∆t
между выборками может изменяться в зависимости от изменения каких-либо параметров сигнала.
Воспроизведение сигнала по отсчетам может проводиться как на
основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций. При
неортогональных базисных функциях используются в основном степенные алгебраические полиномы:
1.3.2. Воспроизведение сигналов
15
( )
0
.
N
n
n
n
s t ct
=
′
=
∑
( ) ( )
( )
sinc .
k
st skt Ft kt
∞
=−∞
′
= ∆ π − ∆
∑
( )
( )
( )
( )
sinc sinc / ,Ftkt t tkπ − ∆ = π ∆−
sin
sinc( ) =
x
x
x
Если значения аппроксимирующего полинома совпадают со значе-
ниями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим. В качестве интерполирующих полиномов обычно
используются многочлены Лагранжа.
Естественным требованием к выбору частоты дискретизации ин-
формации является внесение минимальных искажений в динамику изменения сигналов. Искажения информации будут тем меньше, чем
выше частота дискретизации F, но чем больше значение F, тем большим количеством цифровых данных будет отображаться один и тот же
объем информации, а соответственно увеличивается время на ее передачу и обработку.
Следовательно, значение частоты дискретизации сигнала F должно
быть необходимым и достаточным для обработки информации с заданной точностью или для восстановления аналоговых сигналов без
искажений.
Интерполяционный ряд Котельникова–Шеннона является основой
для операций дискретизации и восстановления аналогового сигнала,
согласно которой аналоговый сигнал с ограниченным частотным спектром может быть без потерь информации преобразован в дискретный
сигнал и затем точно восстановлен по его отсчетам.
(1.3.2)
По существу, ряд представляет собой разложение сигнала по системе
ортогональных функций
.
Отсюда следует, что если для частоты дискретизации сигнала
справедливо неравенство F ≥ 2f
спектре произвольной непрерывной функции s(t), то функция s(t) без
потери точности может представляться в виде числовой последовательности дискретных значений s(k∆t), k = 0, 1, 2, ... и однозначно по
этой последовательности восстанавливается. В этом и состоит сущность теоремы отсчетов Котельникова–Шеннона.
, где f
max
– наибольшая частота в
max
где
16
1.3.3. Квантование сигналов
( )
max min
/Ns s
σ
= − ∆σ
ε
Операция квантования или аналого-цифрового преобразования
(АЦП) заключается в преобразовании дискретного сигнала s(n∆t) в
цифровой сигнал s(n) = sn ≈ s(n∆t), n = 0, 1, 2, .., N, как правило, коди-
рованный в двоичной системе счисления.
Сущность квантования заключается в округлении мгновенных зна-
чений входной функции s(t) до ближайших значений s
шаг квантования шкалы цифровых отсчетов. Квантование с постоянным шагом ∆σ называется равномерным.
Установленный диапазон шкалы квантования от s
квантования ∆σ определяют число делений шкалы
и цифровую разрядность квантования. Погрешность округления
ε = s(n∆t) – s
(n∆t) заключена в пределах |ε| < ∆σ/2 и называется шумом
i
квантования. При достаточно малом шаге квантования любое значение
в его пределах можно считать равновероятным, а значения случайной
величины ε – распределенными по равномерному закону:
p(ε) = 1/∆σ, –∆σ/2 ≤ ε ≤ ∆σ/2.
Соответственно дисперсия и среднее квадратическое значение шу-
ма квантования:
= ni∆σ, где ∆σ –
i
min
до s
и шаг
max
него выражения нетрудно определить допустимое значение шага квантования.
ственно сигнала s(t) и входной помехи q(t) с дисперсией соответственно σ
вания суммарная дисперсия шумов
времени, квантуется совместно как единый вектор, такой процесс называется векторным квантованием, известный также как блочное квантование.
ε2 = ∆σ2/12,
≈ 0.3 ∆σ.
При задании уровня шума квантования с использованием послед-
Входной сигнал содержит, как правило, аддитивную смесь соб-
2
. Если помехи не коррелированны с сигналом, то после кванто-
q
2
= σ
2
q
+ε2.
2
<< σ
2
.
q
σ
Обычно шаг квантования выбирают таким, чтобы ε
Векторное квантование и кодовые книги
Когда набор значений амплитуд сигнала, дискретизированного по
17
Будем считать, что L = [l1, l2, …, lN]T, N-мерный вектор с действи-
тельными значениями (индекс T означает сдвиг по времени); l
– слу-
k
чайным образом меняющийся компонент с непрерывной амплитудой,
где 1 ≤ k ≤ N. При векторном квантовании вектору L ставится в соответствие другой N-мерный вектор y, имеющий действительные значения и дискретные амплитуды. Вектор y выбирается из конечного набора значений Y = y
, 1 ≤ i ≤ L, yi = [yi1, yi2, …, yiN]T.
i
Набор Y называется кодовой книгой или шаблоном, L – размер ко-
довой книги, y
даются только индексы i векторов y
– набор векторов кодовой книги. В линию связи пере-
i
, входящих в кодовую книгу.
i
Некоторые кодовые книги рассчитываются заранее и не изменяют-
ся. Другие кодовые книги могут обновляться в процессе работы. Кодовую книгу можно сделать следящей за характеристиками входного
вектора с течением времени. Такие кодовые книги называются адаптивными. Применяются также случайные кодовые книги.
1.3.4. Децимация сигналов
Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных
принято называть уплотнение данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретизации данных
был установлен излишне подробным и f
= 1/2∆t >> f
N
формация высокочастотной части сигнала может быть ненужной, если
основная энергия полезной части сигнала заключена в низкочастотной
области. Децимация может потребоваться и в том случае, если массивы данных представлены с разным шагом дискретизации.
Как правило, децимации должна предшествовать низкочастотная
фильтрация данных. Это связано с тем, что в процессе децимации шаг
дискретизации ∆t заменяется на новый шаг ∆t' = p∆t, где p > 1, с соответствующим сжатием главного частотного диапазона, при этом появляется опасность отражения отбрасываемых частотных составляющих
и высокочастотных шумов в главный диапазон (как и при неправильном выборе шага дискретизации). Точка отсечки низкочастотного
фильтра обычно устанавливается по новой частоте Найквиста:
' = 1/(2p∆t).
f
N
сигнала. Ин-
max
18
1.3.5. Цифроаналоговое преобразование сигналов
Операция цифроаналогового преобразования (ЦАП) обратна опе-
рации квантования, при этом на выходе регистрируется либо дискретный сигнал s(n∆t) = s
который восстанавливается из s(n∆t) = s
, либо непосредственно аналоговый сигнал s(t),
n
.
n
Квантование сигналов всегда выполняется с определенной и не-
устранимой погрешностью, поэтому операции АЦП и ЦАП не являются взаимно обратными.
1.4. Модели сигналов
Математические модели сигналов. Теория анализа и обработ-
ки физических данных базируется на математических моделях соответствующих физических полей.
Математическое описание не может быть всеобъемлющим и иде-
ально точным и, по существу, всегда отображает не реальные объекты,
а их упрощенные гомоморфные модели. Как правило, возникает необходимость преодолеть противоречие: простая модель – огрубление
свойств объекта; точная модель – учет несущественных свойств.
Модели могут задаваться таблицами, графиками, функциональны-
ми зависимостями, уравнениями состояний и переходов из одного состояния в другое и т.п. Формализованное описание может считаться
математической моделью оригинала, если оно позволяет с определенной точностью прогнозировать состояние и поведение изучаемых объектов путем формальных процедур над их описанием.
Математические модели сигналов на первом этапе обработки и
анализа результатов наблюдений должны позволять в какой-то мере
игнорировать их физическую природу и возвращать ее в модель только
на заключительном этапе интерпретации данных.
Два вида моделей сигналов. При анализе физических данных
используются два основных подхода к созданию математических моделей сигналов.
Первый подход оперирует с детерминированными сигналами,
априорно известными или точно предсказуемыми. С математических
позиций детерминированный сигнал – это сигнал, который с достаточной степенью точности можно описать явными математическими формулами или вычислительными алгоритмами.
19
Второй подход предполагает вероятностный (случайный) характер
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
сигналов, которые можно описать только с использованием усредненных (статистических) характеристик. Случайность может быть обусловлена как собственной физической природой сигналов, так и определенным вероятностным характером регистрируемых сигналов как по
времени их появления, так и по содержанию.
Между этими двумя видами сигналов нет резкой границы. Строго
говоря, детерминированных процессов и отвечающих им детерминированных сигналов не существует. Даже хорошо известные сигналы
всегда осложнены случайными помехами, влиянием дестабилизирующих факторов и априорно неизвестными параметрами и строением
внешней среды. С другой стороны, модель случайного поля часто аппроксимируется методом суперпозиции (сложения) сигналов известной формы.
На выбор математической модели поля в том или ином случае в
немалой степени влияет также сложность математического аппарата
обработки сигналов и сложившиеся традиции интерпретации результатов наблюдений. Не исключается и изменение модели, как правило, с
переводом из вероятностной в детерминированную в процессе накопления информации об изучаемом явлении или объекте.
1.4.1. Детерминированные сигналы
Классификация детерминированных сигналов производится на ос-
новании существенных признаков соответствующих математических
моделей сигналов. Обычно выделяют два класса детерминированных
сигналов: периодические и непериодические.
К периодическим относят гармонические и полигармонические
сигналы.
Гармонические сигналы (рис. 1.4.1) описываются следующими
формулами:
sin 2 sin или cos ,st A ft A t st A t= π +φ = ω +φ = ω +ϕ
где А, f
, ω0, ϕ, φ – постоянные величины: А – амплитуда сигнала, f0 –
0
циклическая частота в герцах, ω
00 0
– угловая частота в радианах, ϕ и φ –
0
начальные фазовые углы в радианах. Период одного колебания T = 1/f
При ϕ = φ – π/2 синусные и косинусные функции описывают один и
тот же сигнал. Частотный спектр сигнала представлен амплитудным и
фазовым значением одной частоты.
.
0
20
0
sin( )
N
n nn
n
At
=
ω +ϕ
∑
Рис. 1.4.1. Гармонический сигнал и его АЧХ
Полигармонические сигналы составляют наиболее широко рас-
пространенную группу периодических сигналов (рис. 1.4.2) и описываются выражениями
s(t) =
или
s(t) = y(t ± kT
где Т
– период одного полного колебания сигнала. Число циклов ко-
p
), k = 1, 2, 3, ...
p
лебаний за единицу независимой переменной t называют фундаментальной частотой f
= 1/Tp. Полигармонические сигналы представля-
p
ют собой сумму определенной постоянной составляющей и
произвольного (в пределе – бесконечного) числа гармонических составляющих с частотами, кратными фундаментальной частоте f
произвольными значениями амплитуд A
и фаз ϕn. Другими словами,
n
, и с
p
частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, поэтому
получило широкое распространение математическое представление
сигналов в виде спектров (рядов Фурье).
Рис. 1.4.2. Полигармонический сигнал и его АЧХ