Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и средства обработки сигналов. Учебное пособие.pdf
111
Функция g(k) получила название переходной характеристики си-
( )[ ( ) ( )]
n
hnxkn kn− +ε −
∑
{ ( )} ( )[ ( ) { ( )}] ( ) ( )
nn
Myk hnxkn M kn hnxkn= − + ε− = −
∑∑
nn
Mhnkn Mhnn
∑∑
( )
2 2 22
{ ()} ()
nn
h nM n h n= ε=σ
∑∑
стемы (перехода из одного статического состояния в другое).
Усиление шумов. Критерием качества системы можно считать вы-
полнение целевого назначения с минимальным усилением (максимальным подавлением) шумов. Допустим, что система имеет нормированный к 1 импульсный отклик h(k). Обозначим через ε(k) аддитивный
шум с математическим ожиданием M{ε(k)} = 0 и дисперсией D
= σ2,
ε
который в сумме с сигналом поступает на вход системы. Значения ε(k)
статистически независимы и не коррелированы с сигналом. С учетом
помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе системы:
y(k) =
.
Математическое ожидание значений выходного сигнала:
.
Вычислим дисперсию распределения отсчетов выходного сигнала:
2
{ ( )} ( ) { ( )}
Dyk M hn xk n k n M yk
= − +ε − − =
= ε− = ε =
∑
n
() () ()
( ) ( )
2
( )
22
в силу статистической независимости значений шума. Отсюда следует,
что сумма квадратов значений нормированного импульсного отклика
системы представляет собой коэффициент усиления аддитивных шумов во входном сигнале.
Устойчивость систем. Любая практическая система должна быть
устойчивой, т.е. для сигналов с конечной энергией выходные сигналы
также должны быть конечными по энергии. Система называется
устойчивой, если при любых начальных условиях реакция системы на
любое ограниченное воздействие также ограничена.
При условии ограниченности входного сигнала можно записать:
112
( ) | ( )|| ( )| | ( )| .yt h xt d A h d
∞∞
−∞ −∞
≤ τ −ττ= ττ
∫∫
| ( )| , | ( )| ,
n
hd h
∞
−∞
τ τ<∞ τ <∞
∑
∫
00
MN
mn
mn
∑∑
00
MN
mn
mn
∑∑
00
NM
nm
nm
∑∑
( ) ( )exp( ),
n
H hn j n
∞
=−∞
ω= −ω
∑
Условие, при котором выходной сигнал системы будет ограниченным:
т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная сходимость ее импульсной характеристики, а для
цифровых систем – абсолютная суммируемость импульсного отклика.
Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых систем (систем с обратной связью), нерекурсивные системы
всегда устойчивы.
10.4. Частотные характеристики цифровой системы
Если в качестве сигнала на входе линейной системы подать собственную функцию x(k∆t) = B(ω)exp(jωk∆t), то на выходе системы будет сигнал y(k∆t) = A(ω)exp(jωk∆t). Подставляя эти выражения в разностное уравнение системы (10.1.1), получаем:
( ) exp( ) ( )exp( ),
aA jkt jmt bB jkt jnt
ω ω∆− ω ∆ = ω ω∆− ω∆
= =
( ) exp( ) ( ) exp( ).
A a jmt B b jnt
ω −ω ∆ = ω −ω∆
= =
Отсюда частотная передаточная функция при нормировке к а
( ) ( ) / ( ) exp( ) 1 exp( )
H A B b jnt a jmt
ω= ω ω −ω∆ + −ω ∆
= =
При обратном преобразовании H(ω) в координатную область следует, что частотная характеристика системы представляет собой
Фурье-образ ее импульсной реакции, и наоборот. При ∆t = 1:
= 1:
0
.
113
( )
( ) 1 2 ( )exp( ) .hn H j nd
π
−π
= π ω ωω
∫
22
HH
В общем случае H(ω) является комплексной функцией, модуль которой R(ω) называется амплитудно-частотной характеристикой си-
стемы (АЧХ), а аргумент ϕ(ω) – фазочастотной характеристикой
(ФЧХ).
R(ω) = |H(ω)| =
Re () Im ()
ω+ ω
,
ϕ(ω) = arctg(Im H(ω)/Re H(ω)).
Физический смысл частотной характеристики системы достаточно
прост. Произвольный сигнал на входе системы может рассматриваться
в виде суммы гармонических составляющих с различным набором амплитуд и начальных фазовых углов. Амплитудно-частотной характеристикой системы устанавливаются коэффициенты усиления системой
(коэффициенты передачи) частотных составляющих, а фазочастотной
характеристикой – сдвиг фаз частотных составляющих в выходном
сигнале относительно начальных фаз во входном сигнале.
Рис. 10.4.1. АЧХ и ФЧХ (для рис. 10.2.2)
Рис. 10.4.2. АЧХ и ФЧХ (для рис. 10.2.3)
114
На рис. 10.4.1 и 10.4.2 приведены частотные характеристики фильтров (модули и аргументы спектральных плотностей), которые были
рассмотрены в примерах на рис. 10.2.2 и 10.2.3 Графики приведены в
границах главных диапазонов спектров.
Основными свойствами частотных характеристик систем являют-
ся следующие.
1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями
частоты.
2. При дискретизации данных по интервалам ∆t функция H(ω) является периодической. Период функции H(ω) равен частоте дискретизации входных данных F = 1/∆t. Первый низкочастотный период (по
аргументу ω от –π/∆t до π/∆t, по f от –1/2∆t до 1/2∆t) называется глав-
ным частотным диапазоном сигнала. Граничные частоты главного
частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста ±ω
, ωN = π/∆t.
N
Частота Найквиста определяет предел частотной разрешающей способности системы по обработке данных.
3. Для систем с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(n∆t) АЧХ является четной функцией, а ФЧХ – нечетной. С
учетом этого частотные характеристики систем обычно задаются только на интервале положительных частот от 0 до ω
главного частотного
N
диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно-сопряженными со значениями на интервале положительных частот.
Фазовая и групповая задержка. Задержка сигналов во времени от-
носится к характерной особенности каузальных систем в целом, а следовательно, рекурсивных и односторонних нерекурсивных фильтров.
Фазовая задержка – характеристика временной задержки фильтром
гармонических колебаний. При подаче на вход фильтра гармоники sinωt сигнал на выходе каузального фильтра, без учета изменения
его амплитуды, равен sin(ωt – ϕ), при этом:
sin(ωt – ϕ) = sin ω(t – t
Отсюда фазовая задержка t
t
p
на частоте ω равна
p
= ϕ /ω. (10.4.1)
), ωt – ϕ = ω(t – tp).
p
При распространении (10.4.1) в целом на всех частотах получаем:
(ω)= ϕ(ω) /ω.
t
p
115
Постоянство значения tp(ω) в определенном частотном диапазоне
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
/ Im / .
g
t d d dH H dω = ϕ ω ω = ω ω ω
обеспечивает для всех гармоник сигнала такое же соотношение их фазовых характеристик, какое было на входе системы, т.е. не изменяет
формы сигнала, если его спектр полностью сосредоточен в этом частотном диапазоне, и значения АЧХ в этом диапазоне также постоянны.
Каузальные фильтры, как правило, имеют в рабочем диапазоне зависимость значения t
временем задержки:
от частоты, которая характеризуется групповым
p
11. АНАЛИЗ И ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Основной инструмент цифровой фильтрации данных и проектиро-
вания цифровых фильтров – частотный анализ (второй распространенный термин – спектральный анализ). Частотный анализ базируется на
использовании периодических функций в отличие от численных методов анализа и математической статистики, где предпочтение отдается
полиномам. В качестве периодических используются преимущественно гармонические функции – синусы и косинусы. По существу, спектральный состав сигналов – это тонкая внутренняя структура данных,
которые несет сигнал, практически скрытая в динамическом (графическом) представлении больших множеств данных. Точно так же частотная характеристика цифрового фильтра – это его однозначный функциональный паспорт, полностью определяющий сущность
преобразования фильтром входных данных.
Рассмотрим несколько примеров частотного анализа фильтров
применительно к известным способам обработки данных.
11.1. Сглаживающие фильтры и фильтры аппроксимации
Пусть требуется осуществить сглаживание (аппроксимацию) по
методу наименьших квадратов (МНК) равномерного по аргументу
массива данных.
Фильтры МНК 1-го порядка. Простейший способ аппроксимации
по МНК функции s(t) с помощью полинома первой степени, т.е. функ-
116
ции вида y(t) = A + Bt, – это метод скользящих средних. В качестве
( )
2
, [ ( )]
A B s A Bnσ = −+
∑
2
1
,.
21
N NN
nn
nN nN nN
A s B ns n
N
=− =−=−
= =
+
∑ ∑∑
2
1
( )
21
NNN
kn kn
nN nN nN
y k s ns n
N
−−
=−=−=−
+τ = +τ
+
∑∑∑
1
21
N
kn
nN
s
N
−
=−
+
∑
примера произведем расчет симметричного фильтра на (2N + 1) точек с
окном от –N до N.
Для определения коэффициентов полинома найдем минимум
функции приближения (функцию остаточных ошибок). С учетом дискретности данных по точкам t
= n∆t и принимая ∆t = 1 для симметрич-
n
ного НЦФ с нумерацией отсчетов по n от центра окна фильтра (в системе координат фильтра), для функции остаточных ошибок имеем:
n
n
.
Дифференцируем функцию остаточных ошибок по аргументам А, В
и, приравнивая полученные уравнения к нулю, формируем два нормальных уравнения, результат решения которых относительно значений А и В дает:
А =
Подставляем значения коэффициентов в уравнение аппроксимирующего полинома, переходим в систему координат по точкам k массива
y(k+τ) = A + Bτ, где отсчет τ производится от точки k массива, против
которой находится точка n = 0 фильтра, и получаем в общей форме
уравнение фильтра аппроксимации:
.
Для сглаживающего НЦФ вычисления производятся непосред-
ственно для точки k в центре окна фильтра (τ = 0), при этом:
y
=
k
. (11.1.1)
Импульсная реакция фильтра соответственно определяется (2N + 1)
значениями коэффициентов b
= 1/(2N + 1). Так, для 5 точечного НЦФ:
n
h(n) = {0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}.
Частотная характеристика фильтра (передаточная функция
фильтра в частотной области) находится преобразованием Фурье импульсной реакции h(n) (фильтр симметричный, начало координат в
117
центре фильтра):
[ ]
( ) 0.2 exp(2 ) exp( ) 1 exp(– ) exp(–2 ) .H jj j jω= × ω+ ω+ + ω+ ω
( )
22
22
( ) exp( ) 0.2 exp ( ) 0.2exp( ) exp( ).
nn
H jk j k n jk jn
=−=−
ω ω = ω − = ω −ω
∑∑
( ) ( )
2
2
( ) 0.2 exp( )
0.2 exp 2 exp( ) 1 exp( ) exp 2 ,
n
H jn
jj j j
=−
ω= −ω =
= × ω+ ω+ + −ω+ − ω
∑
( )
( )
( )
( ) sin 1/2 / 1/2 =HN Nω= +ω+ω
( )
( )
sinc 1/ 2 .N= +ω
(11.1.2)
Для вычисления H(ω) можно использовать уравнение фильтра
(11.1.1). Подадим на вход фильтра гармонический сигнал вида
= exp(jωk). Так как сигнальная функция относится к числу собствен-
s
k
ных, на выходе фильтра будем иметь сигнал y
= H(ω)exp(jωk). Под-
k
ставляя выражения входного и выходного сигналов в уравнение
(11.1.1), получаем:
Отсюда выражение для передаточной функции:
что полностью идентично выражению (11.1.2).
Так как импульсная реакция фильтра МНК симметрична (функция
h(n) четная), частотное представление передаточной функции должно
быть вещественным, в чем нетрудно убедиться, объединив комплексно
сопряженные члены выражения (11.1.2):
H(ω) = 0.2×(1 + 2 cos ω+2 cos 2ω).
Альтернативное представление передаточной функции H(ω) для
фильтра с произвольным количеством коэффициентов 2N + 1 нам достаточно хорошо известно, как нормированный Фурье-образ прямоугольной функции, каковой, по существу, и является селектирующее
окно фильтра (11.1.1):
(11.1.3)
Графики передаточных функций (11.1.3) приведены на рис. 11.1.1.
По графикам можно видеть коэффициент передачи сигнала с входа на
118
выход фильтра на любой частоте. Без ослабления (с коэффициентом
передачи 1) сглаживающим фильтром пропускается (и должен пропускаться по физическому смыслу сглаживания данных) только сигнал
постоянного уровня (нулевой частоты). Этим же определяется и тот
фактор, что сумма коэффициентов сглаживающего НЦФ всегда должна быть равна 1.
Рис. 11.1.1. Сглаживающие фильтры МНК
Чем больше число коэффициентов фильтра (шире окно фильтра),
тем уже полоса пропускания низких частот. Подавление высоких частот довольно неравномерное, с осцилляциями передаточной функции
относительно нуля. На рис. 11.1.2 приведен пример фильтрации случайного сигнала (шума) фильтрами с различным размером окна.
Рис. 11.1.2. Фильтрация шумов фильтрами МНК 1-го порядка
Частотное представление передаточных функций позволяет
наглядно видеть особенности фильтров и целенаправленно улучшать
их характеристики. Так, если в рассмотренном нами фильтре с однородной импульсной реакцией hn = 1/(2N + 1) уменьшить два крайних
119
члена в 2 раза и заново нормировать к сумме
n
n
h
∑
= 1, то частотные
характеристики фильтра заметно улучшаются. Для нахождения передаточной функции модифицированного фильтра снимем в выражении
(11.1.3) нормировку (умножим на 2N + 1), вычтем значение 1/2 крайних членов (exp(–jωN) + exp(jωN))/2 = cos(ωN) и заново пронормируем
полученное выражение (разделим на 2N). Передаточная функция при N
= 3 также приведена на рис. 11.1.1.
Передаточные функции модифицированных таким образом фильтров приводятся к нулю на частоте Найквиста, при этом несколько
расширяется полоса пропускания низких частот и уменьшается амплитуда осцилляций в области подавления высоких частот. Если смотреть
на сглаживание как на операцию подавления высокочастотных помех,
то модифицированные фильтры без сомнения больше соответствуют
своему целевому назначению.
При выборе окна фильтра следует учитывать как коэффициент по-
давления дисперсии шумов, так и степень искажения полезного сигнала, на который наложены шумы. Оптимальное окно фильтра может
быть определено, только если спектр сигнала известен и ограничен
определенной верхней частотой, а мощность шумов не превышает
определенного уровня.
Фильтры МНК более высокого порядка рассчитываются, модифицируются и анализируются аналогично. На рис. 11.1.3 приведено сопоставление частотных характеристик одноразмерных фильтров МНК 1го, 2-го и 4-го порядков.
Рис. 11.1.3. Сглаживающие фильтры МНК
В целом по сглаживающим фильтрам МНК можно сделать следу-
120
ющие выводы.
–7
0
0
1
0
–1
0
1
0
–1
0
1
0
–1
0
1
1. Повышение порядка фильтра расширяет полосу пропускания
фильтра.
2. Увеличение количества членов фильтра приводит к сужению по-
лосы пропускания и увеличивает крутизну ее среза.
3. Модификация фильтров уменьшает осцилляции передаточной
функции в полосе подавления сигналов.
Совместное изменение этих параметров позволяет подбирать для
сглаживания данных такой фильтр МНК, частотная характеристика
которого наилучшим образом удовлетворяет частотному спектру сигналов при минимальном количестве коэффициентов фильтра.
11.2. Разностные операторы
Рассмотрим примеры частотного подхода при анализе разностных
операторов.
= s
Разностный оператор 1-го порядка имеет вид: ∆s
k
следовательное n-кратное применение оператора записывается в виде
оператора n-го порядка:
n
(sk) = ∆[∆
∆
n–1
(sk)] = ∆
n–1
(s
k+1
) – ∆
n–1
(sk) (11.2.1)
Ниже приводится таблица выходных значений импульсной реакции
разностных операторов на единичный импульсный сигнал Кронекера.
Как видно из таблицы, ряды последовательных разностей содержат знакопеременные биномиальные коэффициенты. В представленной форме
разностные операторы являются каузальными фазосдвигающими (односторонними), но нетрудно заметить, что операторы четных степеней
могут быть переведены в симметричную форму сдвигом вперед на половину окна оператора.
– sk. По-
k+1
k sk
–6
–5
–4
–3
–2
–1
Таблица выходных значений импульсной реакции
∆(s
) ∆2(sk) ∆3(sk) ∆4(sk) ∆5(sk) ∆6(sk)
k
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
–2
0
0
0
1
–3
3
0
0
1
–4
6
–4
0
1
–5
10
–10
5
1
–6
15
–20
15
–6