Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и средства обработки сигналов. Учебное пособие.pdf
101
Рабочий диапазон частот кристаллических фильтров ограничивается технологическими возможностями на стадии изготовления кварцевых резонаторов. На частотах менее 1 кГц кварцевый элемент становится недопустимо большим, а при частоте 100 МГц и более – столь
маленьким, что невозможно контролировать его размеры в процессе
изготовления.
Рис. 9.3.5. Эквивалентная схема
кварцевого резонатора
Механические фильтры. Принцип действия механического филь-
тра заключается в следующем. Принимаемый электрический сигнал
преобразуется в механические колебания, которые передаются на систему соединенных между собой дисков. Благодаря соответствующему
подбору конструкции дисков удается получить резонансную систему с
высокой добротностью Q. На выходе этой системы результирующее
механическое колебание вновь преобразуется в электрический сигнал,
который и поступает на выход фильтра.
Механические фильтры наиболее эффективно используются в качестве полосовых узкополосных фильтров в частотном диапазоне от
50 до 500 кГц. Они обеспечивают высокую (~10
3
) добротность устрой-
ства и хорошую стабильность его частотных свойств.
Недостатком механических фильтров являются высокие потери.
9.3.2. Фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя
Обычно требуется ФНЧ с плоской характеристикой в полосе пропускания и резким переходом к полосе подавления. Ниже будут рассмотрены три наиболее популярных типа фильтров, а именно фильтр
Баттерворта (максимально плоская характеристика в полосе пропускания), фильтр Чебышева (наиболее крутой переход от полосы пропускания к полосе подавления) и фильтр Бесселя (максимально плоская
характеристика времени запаздывания).
Фильтры Баттерворта и Чебышева. Фильтр Баттерворта обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что
достигается ценой плавности характеристики в переходной области, т.е.
между полосами пропускания и задерживания. У него также плохая фазочастотная характеристика (ФЧХ). Его АЧХ задается формулой
102
( )
12
22
вых вх
11 ,
nC
U U P ff
= +ε
(9.3.1)
где n определяет порядок фильтра (число полюсов).
Увеличение числа полюсов дает возможность сделать более плоским участок характеристики в полосе пропускания, и увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления, как это показано на рис. 9.3.6.
Фильтр Баттерворта имеет максимально плоскую характеристику.
Она идет горизонтально, начиная от нулевой частоты, перегиб ее
начинается на частоте среза f
.
С
Неравномерность характеристики в полосе пропускания не должна
превышать некоторой определенной величины, скажем 1 дБ. Фильтр
Чебышева отвечает этому требованию, при этом допускается некоторая неравномерность характеристики во всей полосе пропускания, но
при этом сильно увеличивается острота ее излома. Допуская увеличение неравномерности в полосе пропускания, получаем более острый
излом.
Рис. 9.3.6. Нормированные характеристики
АЧХ этого фильтра задается соотношением (9.3.1), где Рn – полином Чебышева первого рода степени n, а ε – константа, определяющая
неравномерность характеристики в полосе пропускания.
Фильтр Чебышева, как и фильтр Баттерворта, имеет АЧХ, далекие
от идеальных. На рис. 9.3.7 представлены характеристики 6-полюсных
ФНЧ Чебышева и Баттерворта.
фильтров нижних частот Баттерворта
103
а б
Рис. 9.3.7. Сравнение характеристик 6-полюсных фильтров нижних частот:
а – фильтр Баттерворта; б – фильтр Чебышева (пульсации 0,5 дБ)
Фильтр Баттерворта с максимально плоской характеристикой в полосе пропускания не столь привлекателен, как это может показаться, поскольку приходится мириться с неравномерностью в полосе пропускания.
Она выглядит как постепенное понижение характеристики при приближении к частоте f
для фильтра Баттерворта, а для фильтра Чебышева –
С
как пульсации, распределенные по полосе пропускания (рис. 9.3.8).
а б в
Рис. 9.3.8. Типовые АЧХ фильтров:
а – идеальный ФНЧ; б – ФНЧ Баттерворта; в – ФНЧ Чебышева
Еще одной особенностью фильтров Баттерворта и Чебышева является то, что спектральные составляющие входного сигнала при прохождении через них испытывают различные временные задержки. Изменение времени задержки внутри полосы пропускания фильтра
увеличивается с возрастанием порядка фильтра и уровня пульсаций.
Если входной сигнал содержит колебания с кратными частотами, то
из-за различной временной задержки этих колебаний фильтром форма
выходного сигнала искажается.
104
Фильтры Бесселя. АЧХ фильтра не дает о нем полной информа-
ции. Фильтр с плоской АЧХ может иметь большие сдвиги фаз. Поэтому при прохождении через фильтр форма сигнала, спектр которого
лежит в полосе пропускания, будет искажена.
В ситуации, при которой форма сигнала имеет первостепенное значение, желательно иметь фильтр с постоянным временем запаздывания
(линейно-фазовый фильтр).
Фильтр Бесселя имеет наиболее плоский участок кривой времени
запаздывания в полосе пропускания подобно тому, как фильтр Баттерворта имеет наиболее плоскую АЧХ. Чтобы понять, какое улучшение
во временной области дает фильтр Бесселя, посмотрите на рис. 9.3.9.
За постоянство времени запаздывания у фильтра Бесселя приходится платить тем, что его АЧХ имеет еще более пологий переходной
участок между полосами пропускания и задерживания, чем даже у характеристики фильтра Баттерворта (рис. 9.3.7).
Рис. 9.3.9. Время запаздывания
для 6-полюсных фильтров нижних
частот Бесселя (1) и Баттерворта (2)
9.4. Аналого-цифровые преобразователи
В основном применяется три конструкции аналого-цифровых преобразователей (АЦП):
– параллельная – входной сигнал одновременно сравнивается с
эталонными уровнями набором схем сравнения (компараторов), которые формируют на выходе двоичное значение. В таком АЦП количество компараторов равно 2
что не позволяет наращивать разрядность свыше 10–12;
N
– 1, где N – разрядность цифрового кода,
105
– последовательного приближения – преобразователь с помощью
вспомогательного ЦАП генерирует эталонный сигнал, сравниваемый с
входным. Эталонный сигнал изменяется дихотомически (делится пополам), что позволяет завершить преобразование за количество тактов,
равное разрядности слова, независимо от величины входного сигнала;
– с измерением временных интервалов – использует различные виды преобразования уровней входного сигнала в пропорциональные
временные интервалы. Длительность интервалов измеряется с помощью высокочастотного тактового генератора.
Среди АЦП с измерением временных интервалов преобладают три
типа:
– последовательного счета, или однократного интегрирования
(single-slope), – в каждом такте преобразования запускается генератор
линейно возрастающего напряжения, которое сравнивается с входным
сигналом. Обычно такое напряжение получают на вспомогательном
ЦАП подобно АЦП последовательного приближения;
– двойного интегрирования (dual-slope) – в каждом такте преобразования входной сигнал заряжает конденсатор, который затем разряжается на источник опорного напряжения с измерением длительности
разряда.
– следящие – вариант АЦП последовательного счета, при котором
генератор эталонного напряжения не перезапускается в каждом такте,
а изменяет его от предыдущего значения до текущего.
Наиболее популярным вариантом следящего АЦП является sigmadelta, работающий на частоте, значительно превышающей частоту дискретизации выходного цифрового сигнала. Компаратор такого АЦП
выдает значения пониженной разрядности (обычно однобитовые),
сумма которых на интервале дискретизации пропорциональна величине отсчета. Последовательность малоразрядных значений подвергается цифровой фильтрации и понижению частоты следования, в результате чего получается серия отсчетов с заданной разрядностью и
частотой дискретизации. Для снижения влияния ошибок квантования,
которое в случае однобитового преобразователя получается довольно
высоким, применяется коррекция сигнала высокочастотным шумом,
получаемым через схему обратной связи по ошибке.
106
9.5. Цифроаналоговые преобразователи
01
(( ) ) (( ) ).
NM
ij
ij
bx k i t a y k j t
= =
−∆− − ∆
∑∑
Цифроаналоговые преобразователи (ЦАП) в основном строятся по
трем принципам:
– взвешивающие – с суммированием взвешенных токов или напряжений, когда каждый разряд входного слова вносит соответствующий
своему двоичному весу вклад в общую величину получаемого аналогового сигнала; такие ЦАП называют также параллельными или многоразрядными (multibit);
– sigma-delta, с предварительной цифровой передискретизацией и
выдачей малоразрядных (обычно однобитовых) значений на схему
формирования эталонного заряда, которые со столь же высокой частотой добавляются к выходному сигналу. Такие ЦАП имеют также
название bitstream;
– с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ, Pulse Width
Modulation, PWM), когда на схему выборки-хранения аналогового сигнала выдаются импульсы постоянной амплитуды и переменной длительности.
При использовании передискретизации в десятки раз становится
возможным уменьшить разрядность ЦАП без ощутимой потери качества сигнала; ЦАП с меньшим числом разрядов обладают также лучшей линейностью. В пределе количество разрядов может сокращаться
до одного. Форма выходного сигнала таких ЦАП представляет собой
полезный сигнал, обрамленный значительным количеством высокочастотного шума, который тем не менее эффективно подавляется аналоговым фильтром среднего качества.
10. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
10.1. Нерекурсивные цифровые фильтры
Уравнение (9.1.2') можно рассматривать как алгоритм последовательного вычисления значений y(kΔt), k = 0, 1, 2, … по значениям
входного сигнала x(kΔt) и предыдущих вычисленных y(kΔt) при известных величинах коэффициентов a
начальных условий – значений x(kΔt) и y(kΔt) при k < 0:
y(kΔt) =
СИГНАЛОВ
, bk и задании определенных
j
(10.1.1)
107
Интервал дискретизации в цифровых последовательностях обыч-
0
( ).
N
n
n
bxk n
=
−
∑
1
()
N
n
nN
bxk n=−−
∑
но принимается равным 1, так как выполняет только роль масштабного множителя. При нулевых значениях коэффициентов a
уравне-
j
ние (10.1.1) переходит в уравнение дискретной свертки входной
функции x(k) с оператором b
:
n
y(k) =
При установленных значениях коэффициентов b
(10.1.2)
значения выход-
n
ных отсчетов свертки для любого аргумента k определяются текущим
и «прошлыми» значениями входных отсчетов. Такая система называется нерекурсивной цифровой системой (НЦС).
Пример НЦС
Пример простейшей НЦС приведен на рисунке. Интервал суммирования по n получил название «окна» системы. Окно системы (10.1.1) составляет N + 1 точку, система является односторонней
каузальной, т.е. причинно обусловленной текущими и «прошлыми» значениями входного сигнала, выходной сигнал не опережает входного.
Каузальная система может быть реализована физически в реальном
масштабе времени. При k < n проведение обработки входных данных
возможно только при задании определенных начальных условий для
точек x(–k), k = 1, 2, .., N. Как правило, в качестве начальных условий
принимаются нулевые значения. Применяется также четное или нечетное продление функции x(k) на интервал отрицательных значений k.
При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности системного оператора снимается. В распоряжении программного НЦС
могут находиться как N
«прошлых», так и N «будущих» значений
1
входной последовательности отсчетов, при этом
y(k) =
. (10.1.2')
108
При N1 = N система называется двусторонней симметричной. Сим-
N
n kn
nN
bx
−
=−
∑
метричные системы, в отличие от каузальных, не изменяют фазы обрабатываемых сигналов.
Описанный процесс свертки в вещественной области массива данных x(k) с нерекурсивным оператором системы {b
} (массивом весо-
n
вых коэффициентов системы) обычно называют нерекурсивной цифровой фильтрацией данных, а саму систему – нерекурсивным цифровым
фильтром (НЦФ). Для фильтров обычно используется другое обозна-
чение цифровых последовательностей отсчетов, и выражение (10.1.2')
принимает вид
y
=
k
. (10.1.2'')
10.2. Рекурсивные цифровые фильтры
Системы, которые описываются полным разностным уравнением
(10.1.1), принято называть рекурсивными цифровыми системами
(РЦС), или рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих значений выходного сигнала участвует не только
входной сигнал, но и значения выходного сигнала, вычисленные в
предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные системы называют также системами с обратной связью
(рис. 10.2.1).
Рис. 10.2.1. Пример РЦС
Полное окно рекурсивной системы состоит из двух составляющих:
нерекурсивной части b
, аналогичной НЦС и ограниченной в работе
n
текущими и «прошлыми» значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и «будущих» отсчетов сигнала),
и рекурсивной части a
, которая работает только с «прошлыми» вычис-
j
ленными значениями выходного сигнала.
109
Пример. Уравнение РЦФ: yk = b0xk+a1y
Входной сигнал: x
у
= 0,5x0 + 0,5y
0
y
= 0,5x3 + 0,5y2 = 0,25; y4 = 0,5x4 + 0,5y3 = 0,125; y5 = 0,5x5 + 0,5y4 = 0,0625;
3
= {0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1....}
k
= 0; y1 = 0,5x1 + 0,5y0 = 0; y2 = 0,5x2 + 0,5y1 = 0,5;
–1
y
= 0,5x6 + 0,5y5 = 0,03125; и т.д.
6
, при b0 = a1 = 0.5, y
k–1
–1
= 0.
Выходной сигнал:
= {0, 0, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625, 0,03125, 0,015625,...} (рис. 10.2.2)
y
k
Рис. 10.2.2. Рекурсивная фильтрация
Из примера можно видеть, что реакция РЦФ на конечный входной
сигнал в принципе может иметь бесконечную длительность (в данном
случае с близкими к нулю, но не нулевыми значениями), в отличие от
реакции НЦФ, которая всегда ограничена количеством членов b
(ок-
k
ном фильтра).
Пример. Уравнение РЦФ: y
y
= 0.
–1
Входной сигнал: x
k
= {0, 10, 0, 0, 0,....}.
= b0xk – a1y
k
, при b0 = 0.5, a1 = 1.1,
k-1
Выходной сигнал:
y
= {0,0,5, –5.5,6.05, –6.655,7.321, –8.053,8.858, –9.744,10.718, –11.79, и т.д.}
k
(рис. 10.2.3).
Заметим: коэффициент обратной связи больше 1 и выходной сиг-
нал идет «в разнос».
Рис. 10.2.3. Неустойчивый рекурсивный фильтр
110
10.3. Импульсная характеристика цифровой системы
snthkt nt
∞
hntskt nt
∞
()( )
N
nN
bn k n
=−
δ−
∑
0
0
() ( )
N
n
hnu k n=−
∑
0
()
N
n
hn
=
∑
Импульсный отклик линейной цифровой системы однозначно
определяется реакцией системы h(k∆t) на импульс Кронекера δ(k∆t) = 1
при k = 0.
y(k∆t) = T[δ(k∆t – 0)] = h(k∆t).
Произвольный сигнал на входе цифровой системы может быть разложен в линейную последовательность взвешенных единичных импульсов:
y(k∆t) =
( )( )
∆ ∆− ∆
∑
n
=−∞
=
( )( )
∆ ∆− ∆
∑
n
=−∞
.
Определение импульсной реакции требуется для рекурсивных систем, так как импульсная реакция для НЦС специального определения
не требует:
h(k) =
= b(k).
Если выражение для системы известно в общей форме (10.1.1),
определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых
начальных условиях, при этом сигнал на выходе системы представляет
собой импульсную реакцию системы: y(k) = h(k).
Пример. Уравнение РЦС: y
x
= δ0 = {1,0,0,0,...}.
k
= xk + 0,5y
k
. Входной сигнал:
k-1
Расчет выходного сигнала при нулевых начальных условиях:
Y
= x0+0,5 y–1 = 1 = h0 y1 = x1+0,5 y0 = 0,5 = h1 y2 = x2 + 0,5 y1 = 0,25 = h2
0
= x3+0,5 y2 = 0,125 = h3 y4 = x4 + 0.5 y3 = 0,0625 = h4 и т.д.
y
3
Импульсный отклик системы: h
= {1, 0.5, 0.25, 0.125, ... } = (0.5)k,
k
k = 0,1,2....
Определение импульсной реакции физических систем производится
подачей на их вход ступенчатой функции u
(k) = 1 при k ≥ 0, и u0(k) = 0
0
при k < 0:
g(k) =
=
h(k) = g(k) – g(k –1), k = 0,1,2,...