Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и модели принятия оптимальных решений в экономике. Учебное пособие
.pdf
ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ
Н. А. Рутта
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ
ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
В ЭКОНОМИКЕ
Учебное пособие
2-е издание, стереотипное
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2026
УДК 519.816
ББК 65.23
Р90
Автор:
Рутта Н. А. — канд. экон. наук, доц., зав. кафедрой
экономики и управления Южно-Российского гуманитарного института
Рутта, Наталья Александровна.
Р90 Методы и модели принятия оптимальных решений в экономике : учеб-
ное пособие / Н. А. Рутта ; Южно-Российский гуманитарный институт. —
2-е изд., стер. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2026. — 87 с. — Текст : элек-
тронный.
ISBN 978-5-4497-4851-5
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал, направленный на применение математических методов и моделей для принятия оптимальных
решений в экономике. В издании представлены задачи оптимального планирования
производства, транспортная задача, экономико-математическая модель межотраслевого
баланса, задачи многокритериальной оптимизации. Особое внимание уделено методам
финансовой математики в принятии оптимальных решений.
Подготовлено с учетом требований Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования.
Учебное пособие предназначено для студентов укрупненной группы специальностей и направлений подготовки «Экономика и управление», изучающих дисциплины
«Методы принятия оптимальных решений в экономике», «Финансовая математика»,
«Моделирование экономических процессов организации», «Аналитические методы
в менеджменте» и другие аналогичные курсы.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-4851-5 © Рутта Н. А., 2026
© Частное учреждение высшего образования
«Южно-Российский гуманитарный институт», 2026
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2026
Учебное издание
Рутта Наталья Александровна
Редактор А. Д. Талмаева
Технический редактор, компьютерная верстка А. В. Неверова
Корректор И. О. Игнатьева
Обложка С. С. Сизиумова, фотобанк «Лори»
Подписано к использованию 30.09.2025. Объем данных 6 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................. 5
1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ ............ 6
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ .............................. 9
2.1. Общие сведения о линейном программировании ............................................................. 9
2.2. Графический метод решения задач линейного программирования .............................. 11
2.3. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач ........ 14
2.4. Транспортная задача ........................................................................................................ 18
2.4.1. Математическая модель транспортной задачи ......................................................... 18
2.4.2. Опорное решение транспортной задачи ................................................................... 21
2.4.3. Метод потенциалов.................................................................................................... 24
3. ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ............................................. 27
3.1. Понятие критерия оптимальности. Сущность глобального
и локального критериев оптимальности ......................................................................... 27
3.2. Понятие многокритериальной задачи. Метод последовательных уступок.................... 29
4. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ .................................................................................................. 35
4.1. Балансовый метод. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса ....... 35
4.2. Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических показателей ............... 40
5. АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ .............................................................. 43
6. ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ В ПРИНЯТИИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ........... 48
6.1. Простые и сложные проценты ......................................................................................... 48
6.2. Дисконтирование и учет .................................................................................................. 50
6.3. Кредитные операции с конверсией валюты ................................ .................................... 52
6.4. Баланс финансовой операции при использовании
сложной и простой ставок наращения............................................................................. 54
6.5. Составление плана погашения задолженности ............................................................... 59
6.6. Методы сравнения коммерческих контрактов ................................................................ 65
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ......................................................................................... 68
РЕШЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ
MS EXCEL И MS INFOPATH ................................................................................................. 72
ГЛОССАРИЙ ............................................................................................................................ 85
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................................... 87
5
ВВЕДЕНИЕ
В рыночных условиях функционирования экономики одним из актуаль-
ных вопросов для менеджеров, экономистов, руководителей отделов, фирм различной организационно-правовой формы является принятие оптимальных решений для эффективного ведения экономико-хозяйственной деятельности организации.
Учебное пособие «Методы и модели принятия оптимальных решений в
экономике» направлено на изучение вопросов, связанных с построением математических моделей экономических объектов, систем и явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, предпосылках и на различных
уровнях); изучение поведения участников экономики (условий существования
оптимальных решений и их признаков, методов их вычисления в моделях потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.), а также
формирование практических навыков финансовых вычислений при анализе
эффективности инвестиционных проектов, расчете процентов и доходности
финансово-кредитных операций в современных экономических условиях и пр.
6
1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Для изучения различных экономических явлений и принятия оптимальных решений экономисты используют упрощенные формальные описания,
называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей
являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках
и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы,
определяющие исследуемое явление, и отбрасывают детали, не существенные
для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей
функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.
Экономико-математические модели подразделяются на:
- статистические;
- балансовые;
- оптимизационные.
Статистические модели — это модели, в которых описываются корреляционно-регрессионные зависимости результата производства от одного
или нескольких независимых факторов. Эти модели широко используются для
построения производственных функции, а также при анализе экономических
систем.
Балансовые модели представляют систему балансов производства и рас-
пределения продукции и записываются в форме шахматных квадратных матриц. Балансовые модели служат для установления пропорций и взаимосвязей
при планировании различных отраслей народного хозяйства.
Оптимизационные модели представляют систему математических урав-
нений, линейных или нелинейных, подчиненных определенной целевой функции и служащих для отыскания наилучших (оптимальных) решений конкретной экономической задачи. Эти модели, в отличие от статистических и балансовых, относятся к классу экстремальных задач и описывают условия функционирования экономической системы.
Классификация экономико-математических моделей может быть различной и условной. Это зависит от того, на базе каких признаков строится модель.
В основу классификации кладутся различные признаки.
7
Так, по функциональному признаку модели подразделены на модели планирования, модели бухгалтерского учета, модели экономического анализа, модели информационных процессов.
По признаку размерности модели классифицируются на:
- макромодели;
- локальные модели;
- микромодели.
Макроэкономические модели строятся для изучения народного хозяйства
в целом на базе укрупненных показателей. Цель таких моделей состоит в разработке более обоснованных перспективных планов развития на основе познания
важнейших экономических пропорций и соотношений, темпов роста производства и уровней потребления, рациональной отраслевой структуры.
Макромодели в зависимости от принятых уровней детализации подразделяются на односекторные, двухсекторные и многосекторные.
К локальным экономическим моделям относят модели, с помощью которых анализируются и прогнозируются некоторые показатели развития отрасли.
Микромодели на предприятиях разрабатываются для углубленного анализа структуры производства. Они позволяют выявить резервы роста объемов
производства продукции. При построении микромоделей широко используются
методы математической статистики — корреляционный и регрессионный, индексный и выборочный.
Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно
зависит от выходных данных. В стохастических вероятных моделях определенный набор входных данных может дать, а может и не дать соответствующего
результата. Стохастические модели описывают случайные процессы, в которых
результат всегда остается неопределенным, в отличие от детерминированных
моделей, входная информация которых заранее предопределяет результат решения.
Наиболее разработаны и практически более применимы детерминированные модели, использующие аппарат математического программирования.
Поскольку экономико-математическая модель отражает объективные закономерности воспроизводства определенного объекта или отдельные стороны
этого процесса с помощью различных математических средств, любая модель
характеризуется рядом признаком, часть которых относится к отражаемым
свойствам моделируемого объекта (процесса), а часть связана с самим аппаратом моделирования.
8
В основу классификации положен следующий прием: выделены четыре
признака объекта и три признака по средствам построения моделей.
Моделируемые объекты рассматриваются с позиций:
1) сущности моделируемых процессов воспроизводства;
2) временных характеристик процессов;
3) уровней управления процессами (объектами);
4) назначения моделей в управлении.
В основу классификации по средствам их построения положены:
1) средства моделирования и методы реализации моделей;
2) структура моделей и характер зависимости ее компонентов;
3) используемая информация.
Каждая из этих совокупностей классификационных процессов отражает
математическую и информационную сторону моделей. Приведенная классификация моделей условна. Она проводится по вполне определенным общим признакам моделей.
9
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ
2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
Если сформулировать задачу линейного программирования (ЛП) без экономической интерпретации, то она такова: найти экстремум линейной функции
при линейных же ограничениях на переменные.
При этом множество значений переменных, удовлетворяющих всем (линейным) ограничениям задачи, называется допустимым множеством. Допустимое множество представляет собой некоторое многогранное тело в линейном числовом пространстве размерности, равной числу переменной задачи.
Линейная функция, экстремум которой ищется, называется целевой функцией.
Точка экстремума, если она существует, называется оптимальным ре-
шением задачи ЛП, в отличие от любой точки допустимого множества, которая
называется просто решением (или допустимым решением) задачи ЛП.
На практике иногда приходится решать такие задачи ЛП, в которых много видов ресурсов (иногда сотни и тысячи) и много видов продукции (тоже такого порядка). Для решения задач ЛП разработаны мощные математические
методы, и такие задачи сегодня решают только на компьютере. Самый известный алгоритм решения задач ЛП — это так называемый симплекс-метод, разработанный американским математиком Дж. Данцигом в 1949 г.
Теоретической основой ЛП и симплекс-метода являются две теоремы.
Теорема 1. Задача ЛП имеет оптимальное решение тогда и только тогда,
когда целевая функция ограничена на допустимом множестве в направлении
экстремума.
Теорема 2. Если экстремум целевой функции в задаче ЛП достигается, то
он достигается в некоторой угловой точке допустимого множества.
Точное определение угловой точки непросто, но нам оно не нужно. Нужно только понять, что допустимое множество (то, на котором ищется экстремум) — это многогранное тело, и вершины этого многогранного тела и есть угловые точки. Таких угловых точек конечное число.
Сам симплекс-метод представляет собой направленный перебор угловых
точек допустимого множества в сторону приближения к искомой точке экстремума. При анализе очередной угловой точки симплекс-метод указывает:
1) что эта точка — искомая точка экстремума;
2) что целевая функция задачи не ограничена в направлении экстремума,
и значит точки экстремума нет, тем самым задача не имеет решения;
10
3) какую угловую точку далее надо исследовать (при этом значение це-
левой функции в следующей угловой точке будет ближе к экстремуму).
Решение задачи ЛП вручную с помощью симплекс-метода оформляется в
виде специальных таблиц, называемых симплексными таблицами. Однако решение задачи ЛП уже лишь с десятком ограничений и таким же количеством
переменных весьма трудоемко, так что применение компьютера просто необходимо [4].
Задача оптимального планирования. Пусть предприятие из m видов ре-
сурсов проводит n видов продукции. Предположим, что для производства одной
единицы j-го вида продукции расходуется a
ij
единиц i-го ресурса, т.е. a
ij
— норма
расхода i-го ресурса на производство j-й продукции. Матрица А = (aij), составленная из норм расхода, так и называется матрицей норм расхода, или технологической.
Напомним, что j-й столбец Аj этой матрицы полностью описывает расход
ресурсов на производство одной единицы j-й продукции, а i-я строка описывает
расход i-го ресурса на производство единицы каждой продукции или при единичной интенсивности каждой технологии.
Пусть сj есть величина удельной прибыли от реализации одной единицы
j-й продукции. Эти удельные прибыли образуют вектор-строку С = (с
1
,…,сn).
Тогда произведение
nn11
xc xc XС
представляет собой величину прибыли,
полученной при реализации Х = (х
1
,…,х
n
) единиц произведенной продукции.
Обозначим эту прибыль Р(Х).
Пусть bi обозначает количество единиц i-го ресурса, запасенного на складе. Запишем эти величины запасов в виде B = (b1,…,bm).
Тогда матрично-векторное неравенство
ВАХ
означает необходимость
учитывать ограниченность запасов ресурсов при рассмотрении планов производства. Если это неравенство выполняется, значит для плана Х хватит имеющихся запасов ресурсов В и такой план является реальным или допустимым.
Рассмотри следующую задачу оптимального планирования [4].
Найти такой план производства Х = (х1,…,хn), который был бы допустимым и обеспечивал наибольшую прибыль из всех допустимых планов. Запишем
эту задачу следующим образом:
0,...,
,...
,...
max,...
1
11
11111
11
n
mnmnm
nn
nn
xx
bxaxa
bxaxa
xcxc
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]