Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и модели принятия оптимальных решений в экономике. Учебное пособие
.pdf
31
Множество допустимых решений, для которых невозможно одновременно улучшить все частные показатели эффективности, называют областью Па-
рето, или областью компромиссов, а принадлежащие ей решения — эффек-
тивными, или оптимальными по Парето.
Рассмотрим один из методов решения многокритериальных задач — метод последовательных уступок.
Метод последовательных уступок решения задач многокритериальной
оптимизации применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывания их важности. Предположим, что все частные критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности.
Находим максимальное значение
*
1
Z
первого по важности критерия в области
допустимых решений путем решения однокритериальной задачи:
max)(
1
XZ
,
QX
.
Затем, исходя из практических соображений и принятой точности, назначается величина допустимого отклонения δ1 > 0 (экономически оправданной
уступки) критерия Z1 и находится максимальное значение второго критерия
*
2
Z
при условии, что значение первого критерия не должно отклоняться от своего
максимального значения более чем на величину допустимой уступки, т.е. решается задача:
max)(
2
XZ
,
1
*
11
)(
ZXZ
,
QX
.
Снова назначается величина уступки δ2>0 по второму критерию, которая
вместе с первой уступкой используется для нахождения условного максимума
третьего частного критерия:
max)(
3
XZ
,
1
*
11
)(
ZXZ
,
2
*
22
)(
ZXZ
,
QX
.
32
Аналогичные процедуры повторяются до тех пор, пока не будет выявлено
максимальное значение последнего по важности критерия Zm при условии, что
значение каждого из первых m – 1 частных критериев отличается от соответствующего условного максимума не более чем на величину допустимой уступки по данному критерию. Полученное на последнем этапе решение считается
оптимальным.
Пример. Пусть задача трехкритериальной оптимизации имеет вид:
max2
211
xxZ
; (1)
max2
212
xxZ
; (2)
max3
213
xxZ
; (3)
.41
,31
,6
2
1
21
x
x
xx
(4)
Решить задачу методом последовательных уступок.
Решение. Для определенности будем считать, что допустимые уступки
по первым двум критериям заданы: δ1 = 3; δ2 = 5/3.
Максимизируем функцию Z1 в области допустимых решений, т.е. решаем
однокритериальную задачу (1), (4). Это несложно сделать графическим методом решения задач линейного программирования (рис. 3.2.1).
Рис. 3.2.1. Область допустимых решений
Максимум функции Z1 при условии (4) достигается в точке А области Q
с координатами (1;4), так что в данном случае:
1
2
3
1
2
3
4
х1 х
2
Q
А
–1
33
1
*
1
х
;
4
*
2
х
;
7)(max
1
*
11
AZZZ
.
Переходим к максимизации функции Z2 при условии (4) и дополнительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию Z1 нельзя уступать
более чем на δ1. Так как
4
1
*
1
Z
, то дополнительное ограничение будет
иметь вид:
42
21
хх
. (5)
Задачу (2), (4), (5) также решаем графически (рис. 3.2.2).
Рис. 3.2.2. Область допустимых решений
Получаем, что максимум функции Z2 при условиях (4), (5) достигается в
точке В части Q1 области Q, так что:
3/8
**
1
х
;
3/10
**
2
х
;
3/26)(max
2
*
22
ВZZZ
.
Теперь уступаем по критерию Z2 на величину уступки δ2=5/3 и получаем
второе дополнительное ограничение:
1
2
3
1
2
3
4
х1 х
2
Q
1
В
–1
Z
2
3
8
3
10
34
72
21
хх
. (6)
Максимизируем функцию Z3 при условиях (4), (5) и (6). Решение этой задачи графическим методом представлено на рисунке 3.2.3.
Рис. 3.2.3. Область допустимых решений
Таким образом, получаем оптимальное решение рассматриваемой трехкритериальной задачи (точка С):
х1 = 2; х2 = 3.
Соответствующие значения частных критериев при этом составляют:
Z1 = 4;
Z2 = 7;
Z3 = –7.
1
2 3 1
2
3
4
х1 х2 Q2 С
–1
Z
3
35
4. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ
4.1. БАЛАНСОВЫЙ МЕТОД.
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод, т.е.
метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Если описывать экономическую систему
в целом, то под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из
которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в
этой продукции. При таком подходе рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, часть
его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного продукта. Если вместо понятия «продукт» ввести более общее понятие «ресурс», то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.
Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике
составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. Например, в модели межотраслевого баланса такую
роль играет так называемая технологическая матрица — таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство
единицы продукции в натуральном выражении.
Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли
требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное aij. Оно не зависит от объема производства в отрасли и является
довольно стабильной величиной во времени. Величины aij называются коэф-
фициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим
образом:
j
ij
ij
X
x
a
nji ,1,
,
где xij — величины межотраслевых потоков продукции (i и j соответственно
номера отраслей производящих и потребляющих); Xi — валовой общественный
продукт.
36
Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество
продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для
производства единицы продукции j-й отрасли.
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A=(aij), вектор-столбец валовой продукции Х и вектор-столбец ко-
нечной продукции Y:
n
X
X
X
X
2
1
,
n
Y
Y
Y
Y
2
1
.
Тогда система уравнений баланса в матричной форме примет вид:
X = AX + Y.
Полученное выражение называется экономико-математической моде-
лью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты — вы-
пуск»). С помощью этой модели можно выполнять следующие расчеты:
1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi),
можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi):
Y = (E – A)X.
2. Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно опре-
делить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
X = (E – A)–1Y,
где Е — единичная матрица; (Е – А)–1 — матрица, обратная к матрице (Е – А).
Если определитель матрицы (Е – А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную
матрицу через В(Е – А)–1, тогда систему уравнений в матричной форме можно
записать в виде:
X = BY.
37
Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения X = BY для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:
n
j
jiji
YbX
1
ni ,1
.
Из этого соотношения следует, что валовая продукция выступает как
взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты bij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы про-
дукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и
включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если
прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных
непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к
предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не
прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.
Коэффициент полных материальных затрат bij показывает, какое количество i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат
этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь
лишь неотрицательные значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и называется неотрицательным:
0Х
. Встает вопрос: при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям?
Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.
Неотрицательную матрицу А называют продуктивной, если существует
такой неотрицательный вектор
0Х
, что X > AX. Это условие означает суще-
ствование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса X = AX + Y.
Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А
была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных условий:
1) матрица (Е – А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная
матрица
0)(
1
АЕ
;
38
2) матричный ряд
0
32
...
k
k
ААААЕ
сходится, причем его сумма
равна обратной матрице (Е – А)–1;
3) наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А, то есть
решение характеристического уравнения
0 АЕ
, строго меньше единицы;
4) все главные миноры матрицы (Е – А), т.е. определители матриц, обра-
зованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка
от 1 до n, положительны.
Пример. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица
коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:
2,01,03,0
05,02,0
4,01,03,0
А
;
3
1
2
Y
.
Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой
продукции, составить схему межотраслевого материального баланса.
Решение:
1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат при-
ближенным методом:
а) определим матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:
16,010,017,0
08,027,016,0
20,012,023,0
2,01,03,0
05,02,0
4,01,03,0
2,01,03,0
05,02,0
4,01,03,0
2)1(
АА
;
б) определим матрицу коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка:
100,0083,0119,0
080,0159,0126,0
132,0103,0153,0
16,010,017,0
08,027,016,0
20,012,023,0
2,01,03,0
05,02,0
4,01,03,0
3)1()2(
АААА
.
Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат
приближенно равна:
460,1283,0589,0
160,0929,1486,0
732,0323,0683,1
32
АААЕВ
.
39
2. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с
помощью формул обращения невырожденных матриц:
а) находим матрицу (Е-А):
8,01,03,0
05,02,0
4,01,07,0
2,01,03,0
05,02,0
4,01,03,0
100
010
001
)( АЕ
;
б) вычисляем определитель этой матрицы:
196,0
8,01,03,0
05,02,0
4,01,07,0
АЕ
;
в) транспонируем матрицу (Е – А):
8,004,0
1,05,01,0
3,02,07,0
)(
Т
АЕ
;
г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е – А)Т:
А11=0,40
А12=0,12
А13=0,20
А21=0,16
А22=0,44
А23=0,08
А31=0,17
А32=0,10
А33=0,33
Используя формулу В = (Е – А)–1, находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
684,1510,0867,0
408,0245,2816,0
020,1612,0041,2
)(
1
АЕВ
.
3. Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х):
6,729
1,510
3,775
300
100
200
684,1510,0867,0
408,0245,2816,0
020,1612,0041,2
BYX
.
40
4. Составим схему межотраслевого материального баланса.
Выделим в схеме межотраслевого баланса четыре части, имеющие различное экономическое содержание (они называются квадрантами).
Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса применим формулу x
ij
= aijXij. Из этой формулы следует, что для
получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х1 = 775,3; элементы второго
столбца матрицы А умножить на величину Х2 = 510,1; элементы третьего
столбца матрицы А умножить на величину Х3 = 729,6 (табл. 4.1.1).
Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся
как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Четвертый квадрант в данном примере состоит из одного показателя и
служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.
Таблица 4.1.1
Схема межотраслевого баланса
Производящие
отрасли
Потребляющие отрасли
1 2 3
Конечная
продукция
Валовая
продукция
1
232,6
51
291,8
200
775,3
2
155,1
255 0 100
510,1
3
232,6
51
145,9
300
729,6
Условно чистая
продукция
155
153,1
291,9
600
Валовая продукция
775,3
510,1
729,6
2015
4.2. МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ
В АНАЛИЗЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Рассмотрим применение межотраслевого балансового метода для анализа
таких важных экономических показателей, как труд, фонды и цены.
I квадрант
II квадрант
III квадрант
IV квадрант
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]