Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и модели принятия оптимальных решений в экономике. Учебное пособие
.pdf
41
Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через Lj, а
объем производства этого продукта (валовый выпуск) — через Xj. Тогда прямые затраты труда на единицу j-го вида продукции (коэффициент прямой
трудоемкости) можно задать следующей формулой:
j
j
j
X
L
t
;
nj ,1
.
Полные трудовые затраты на единицу j-го вида продукции (коэффици-
ент полной трудоемкости) описываются выражением:
n
i
jiijj
tTaT
1
,
nj ,1
,
где aijTi — затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу j-го продукта через i-е средство производства.
В матричной форме последнее выражение можно записать:
T = TA + t.
Произведя матричные преобразования с использованием единичной матрицы Е:
T – TA = TE – TA = T(E – A) = t,
получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:
T = t(T – A)–1.
Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем
видам продукции, которая равна:
tXXtLL
n
j
jj
n
j
j
11
и приходим к соотношению:
tX = TY,
42
здесь t и T — вектор-строки коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а
X и Y — вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.
Соотношение tX = TY представляет собой основное балансовое равенство
в теории межотраслевого баланса труда.
Пример. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица
коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:
2,01,03,0
05,02,0
4,01,03,0
А
;
3
1
2
Y
. (условия взяты из примера темы 4.1)
Также заданы затраты живого труда (трудовые ресурсы) в трех отраслях:
L1 = 1160, L2 = 460, L3 = 875 — в некоторых единицах измерения трудовых затрат. Требуется определить коэффициенты прямой и полной трудоемкости.
Решение. Воспользуемся расчетами из примера темы 4.1 и найдем коэф-
фициенты прямой трудоемкости:
5,1
3,775
1160
1
t
,
9,0
1,510
460
2
t
,
2,1
6,729
875
3
t
.
Далее по формуле T=tB, где B=(E-A)-1, находим коэффициенты полной
трудоемкости:
)92,3;55,3;84,4(
684,1510,0867,0
408,0245,2816,0
020,1612,0041,2
)2,1;9,0;5,1(
T
.
43
5. АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата
производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как
черный ящик, на вход которого поступают ресурсы R1, ..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1, ..., Хm.
В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее
часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов
(капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата — валовой
выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N).
Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X.
Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К.
Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K
определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в
непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство
примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в
ПФ только производственные фонды.
Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями
производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого
периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды.
Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать
все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из
них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.
Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ:
Х = F(K, L),
т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).
44
Теперь рассмотрим экономическую интерпретацию основных характеристик ПФ на примере мультипликативной функции (в частности, функции
Кобба — Дугласа).
Производственная функция Х = F(K, L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся
естественной экономической интерпретации:
1) F(0, L) = F(K, 0) = 0 — при отсутствии одного из ресурсов производ-
ство невозможно;
2)
0
L
F
0
K
F
— с ростом ресурсов выпуск растет;
3)
0
2
2
L
F
0
2
2
K
F
— с увеличением ресурсов скорость роста выпуска за-
медляется;
4) f(+, L) = F(K, +) = + — при неограниченном увеличении одного
из ресурсов выпуск неограниченно растет.
Мультипликативная ПФ задается выражением
21
aa
LAKX
:
a1>0 a2>0,
где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а1, a2 — коэффициенты эластичности по труду и фондам.
Таким образом, ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным
случаем этой функции служит функция Кобба — Дугласа:
aa
LAKX
1
,
где a1 = a, a2 = 1 – a.
Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и
затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t = 1, ..., Т, где T — длина временного ряда, при этом
предполагается, что имеет место Т соотношений:
21
a
t
a
tt
LAKX
,
где
t
— корректировочный случайный коэффициент, который приводит в со-
ответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, М
t
= 1. Поскольку в логарифмах эта
функция линейна:
In Хt = In A + atIn Kt + a2InLt +
t
,
45
где
t
= In
t
, М
t
= 0, получаем модель линейной множественной регрессии.
Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным
реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е.
0
1
1
1
21
K
Xa
LAKa
K
F
aa
, так как a1 >0,
0
2
1
2
21
L
Xa
LAKa
L
F
aa
, так как a2>0.
Частные производные выпуска по факторам называются предельными
продуктами, или предельными (маржинальными) эффективностями фак-
торов, и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста
фактора:
-
K
F
— предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предель-
ная эффективность фондов);
-
L
F
— предельный продукт труда, предельная производительность (пре-
дельная эффективность труда).
Из мультипликативной функции, указанной выше, вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче —
K
X
с коэффи-
циентом a1, а предельная производительность труда — средней производитель-
ности труда
L
X
— с коэффициентом а2:
K
X
a
K
X
1
,
L
X
a
L
X
2
.
Из чего вытекает, что при а1 < 1, a2 < 1 предельные отдачи факторов
меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функции обладает
свойством 3: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.
0)1()1(
2
11
2
11
2
2
21
K
X
aaLAKaa
K
X
aa
, так как а1 < 1;
0)1()1(
2
22
2
22
2
2
21
L
X
aaLAKaa
L
X
aa
, так как а2 < 1.
Из
21
aa
LAKX
также видно, что мультипликативная функция обладает
свойством 4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск не-
46
ограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 < а1 < 1,
0 < а2 < 1 является неоклассической.
Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а
1
, а
2
мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр
нейтрального технического прогресса: при тех же а1, а2 выпуск в точке (К, L)
тем больше, чем больше А. Для интерпретации а
1
, а2 необходимо ввести поня-
тие эластичностей как логарифмических производных факторов:
)/(
)/(
lim
ln
ln
0
KK
XX
K
X
a
KK
;
)/(
)/(
lim
ln
ln
0
LL
XX
L
X
a
LL
.
Поскольку в нашем случае In Х = In А + a1ln К + a1ln L, то
1
ln
ln
a
K
X
a
K
2
ln
ln
a
L
X
a
L
,
т.е. а1 — эластичность выпуска по основным фондам, a2 — эластичность выпуска по труду.
Если а1 > a2, имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае — фондосберегающий (экстенсивный) рост.
Рассмотрим темп роста выпуска:
21
111
a
t
t
a
t
t
t
t
L
L
K
K
X
X
.
Если возвести обе части уравнения в степень
21
1
aa
, получим соотношение:
a
t
t
a
t
t
aa
t
t
L
L
K
K
X
X
1
11
1
1
21
,
в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат
ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности
факторов:
21
1
aa
a
a
21
2
1
aa
a
a
.
47
При а1+ а2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а
при а1+ а2 < 1 — медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. K
t+1
> Kt,
L
t+1
> Lt), то согласно
21
111
a
t
t
a
t
t
t
t
L
L
K
K
X
X
растет и выпуск (т.е. X
t+1
> Xt), сле-
довательно, при а1 + а2 > 1:
a
t
t
a
t
t
aa
t
t
t
t
L
L
K
K
X
X
X
X
1
11
1
11
21
,
т.е. действительно темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов.
Таким образом, при а1+ а2 > 1 ПФ описывает растущую экономику.
Предельной нормой замены SK труда фондами называется отношение:
KF
LF
dL
dK
S
k
/
/
;
соответственно, предельная норма замены SL фондов трудом:
LF
KF
dK
dL
S
K
/
/
,
при этом
Sk SL = 1.
Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:
k
a
a
L
K
a
a
S
K
1
2
1
2
,
L
K
k
,
что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его
лучшей фондовооруженностью.
48
6. ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ В ПРИНЯТИИ
ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
6.1. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
Под процентными деньгами, или процентами, в финансовых расчетах
понимают абсолютную величину дохода от представления денег в долг в любой
форме.
При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кре-
дитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки — отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды. Ставки процентов могут применяться к одной и той же
начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются про-
стыми, а во втором — сложными процентными ставками.
Обычно расчеты с помощью простых процентов используются на практи-
ке за краткосрочные кредиты с периодом Т меньше 1 года.
Пусть: S(0) — начальный вклад; i — процентная ставка; S(0)i — начисленные проценты за один период; S(0)ni — начисленные проценты за n периодов; S — наращенная сумма.
Тогда наращенную сумму можно представить в виде суммы двух слагаемых: начальный вклад S(0) и суммы процентов I:
S = S(0) + I,
где
I = S(0)ni.
При этом надо учитывать принятые условности, иногда неявно оговариваемые в сделке. Ставка процентов устанавливается в расчете за год, поэтому
при краткосрочном кредите необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору.
Для этого величину n выражают в виде дроби:
n = t/k,
где n — срок ссуды (измеренный в долях годах); k — число дней в году; t —
срок операций ссуды в днях.
Часто за базу измерений берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный про-
49
цент (коммерческий). В отличие от него, точный процент получают, когда за
базу берут действительное число дней в году (365 или 366).
Расчет числа дней пользования ссудой также может быть:
- точным (количество дней между двумя датами);
- приближенным (число месяцев и дней ссуды, при этом продолжитель-
ность всех месяцев составляет около 30 дней).
Варианты расчетов процентов, применяемых на практике:
1. Точные % с точным числом дней ссуды (схема 365/365, британская
практика).
2. Обыкновенные % с точным числом дней ссуды (схема 365/360, фран-
цузская практика).
3. Обыкновенные % с приблизительным числом дней ссуды (схема 360/360,
германская практика) [6].
Пример. Ссуда 25 000 руб. выдана на срок 0,7 года под простые процен-
ты, 18 % годовых. Определить проценты и наращенную сумму.
Решение. Проценты находим по формуле:
I = S(0)ni:
315018,07,025000 I
.
Наращенную сумму по формуле S = S(0) + I=25 000 + 3 150 = 28 150 руб.
Сложный процент — это процент, выплачиваемый на процентный до-
ход, полученный в периоде.
Формула наращения по сложным процентам:
S = S(0)(1 + i)n,
где S — наращенная сумма; i — годовая ставка сложных процентов; n — срок
ссуды; (1 + i)
n
—
множитель наращения.
В том случае, когда ставка сложных процентов не меняется во времени,
данная формула принимает следующий вид:
S = S(0) (1 + i1)n1 (1 + i2)n2 (1 + ik)nk,
где i1, i2, … ik — последующие значения ставок процентов, действующие в период
n1…nk.
Номинальная и эффективная ставки процентов. Пусть годовая ставка
сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году — m. При каждом начислении проценты капитализируются, т.е. добавляются к сумме процентов, начисленной в предыдущем периоде. Каждый раз проценты начисляются по
50
ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке проводится по формуле:
S(T) = S(0) (1 + j/m)N,
где N — число периодов начисления (N = m*n) (количество месяцев * квартал).
Эффективная ставка процентов показывает, какая годовая ставка
сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m, — разовое
наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m,
то по определению можно записать следующее равенство для соответствующих
множителей наращения:
(1 + iэф)n = (1 + j/m)mn,
где iэф — эффективная ставка; j/m — номинальная ставка.
Связь между iэф и j:
iэф = (1 + j/m)m – 1;
обратная связь:
j = m (1 + iэф )
1/m
– 1.
Сравнение роста по сложной и простой процентным ставкам. Сравним множители наращения по простой и сложной процентным ставкам. При
сроке больше нуля и меньше года множитель наращения по простой процентной ставке превосходит множитель наращения по сложной:
(1 + ni) > (1 + i)n.
При сроке больше года множитель наращения по сложной процентной
ставке больше множителя по простой:
(1 + ni) < (1 + i)n.
При сроках, равных нулю и единице, множители наращения по сложным
и простым процентам равны.
6.2. ДИСКОНТИРОВАНИЕ И УЧЕТ
Обычно при удержании процентов в момент выдачи ссуды, при учете
векселей, при покупке депозитных сертификатов возникает задача определения
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]