Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и модели принятия оптимальных решений в экономике. Учебное пособие
.pdf
21
х
11
+ х
21
= 50,
х
12
+ х
22
= 70,
х
13
+ х
23
= 80.
Это означает, что запросы потребителей удовлетворяют полностью.
Необходимо также учитывать, что перевозки не могут быть отрицатель-
ными:
0
ij
x
; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, …, n.
Таким образом, математическая модель задачи формулируется следую-
щим образом: найти переменные задачи, обеспечивающие минимум функции:
Z(X) = 9x
11
+ 5x
12
+ 3x
13
+ 4x
21
+ 6x
22
+ 8x
23
и удовлетворяющие системе ограничений:
80
,70
,50
,110
,90
2313
2212
2111
232221
131211
хх
хх
хх
ххх
ххх
и условиям неотрицательности
0
ij
x
; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, …, n [1].
Транспортным задачам присущи следующие особенности:
- распределению подлежат однородные ресурсы;
- условия задачи описываются только уравнениями;
- все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;
- во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;
- каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы
ограничений.
2.4.2. Опорное решение транспортной задачи
Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое
решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.
22
Для транспортной задачи существует несколько методов отыскания
опорного решения:
- метод северо-западного угла;
- метод вычеркивания;
- метод минимальной стоимости и т.д.
Метод вычеркивания. Состоит в следующем: если в строке или столбце
таблицы одна занятая клетка, то она не может входить в какой-либо цикл, так
как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или в столбце. Следовательно, можно вычеркивать все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, затем вычеркнуть все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к строкам и продолжить вычеркивание строк и столбцов.
Если в результате вычеркиваний все строки и столбцы будут вычеркнуты, значит из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов условий является линейно независимой, а
решение — опорным. Если же после вычеркиваний останется часть клеток, то
эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов условий линейно зависима, а решение не является опорным.
Метод северо-западного угла. Согласно данному методу запасы очеред-
ного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.
Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего
угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов
очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только
одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик
или потребитель. При этом нулевые перевозки принято заносить в таблицу
только в том случае, когда они попадают в клетку, подлежащую заполнению,
т.е. в таблицу заносятся только базисные нули, остальные клетки с нулевыми
перевозками остаются пустыми.
Во избежание ошибок после построения начального опорного решения
необходимо проверить, что число занятых клеток равно m + n – 1 и векторы
условий, соответствующие этим клеткам, линейно независимы.
Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает
стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное по данному методу, может быть далеким от оптимального.
Пример. Составить начальное опорное решение, используя метод северо-
западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой таковы.
23
Таблица 2.4.1
Исходные данные транспортной задачи
bj
ai
250
300
200
200
200
9 8 3
1
350
7
10 6 4
400
2 3 8
12
Решение. Распределяем запасы первого поставщика. Так как его запасы
а
1
= 200 меньше запросов первого потребителя b1 = 250, то в клетку (1,1) запи-
сываем перевозку х
11
= 200 и исключаем из рассмотрения первого поставщика
(таблица 2.4.2). Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы первого
потребителя
50200250
111
abb
.
Распределяем запасы второго поставщика. Так как его запасы а2 = 350
больше оставшихся неудовлетворенными запросов первого потребителя
50
1
b
,
то в клетку (2,1) записываем перевозку х
21
= 50 и исключаем из рассмотрения
первого потребителя.
Определяем оставшиеся запасы второго поставщика:
30050350
122
bаа
.
Так как
300
22
ba
, то в клетку (2,2) записываем х
22
= 300 и исключа-
ем по своему усмотрению либо второго поставщика, либо второго потребителя.
Пусть исключили второго поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетво-
ренными запросы второго потребителя:
0300300
222
abb
.
Распределяем запасы третьего поставщика. Так как
0)(400 ba
23
, то в
клетку (3,2) записываем х
32
= 0 и исключаем второго потребителя. Запасы треть-
его поставщика не изменились:
4000400
233
baa
. Сравниваем
3
a
и b3
(400 > 200), в клетку (3,3) записываем х
33
= 200, исключаем третьего потребителя
и вычисляем
200200400
333
baa
. Так как
43
ba
, то в клетку (3,4)
записываем х
34
= 200. Ввиду того что задача с правильным балансом, запасы
всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью.
Результаты построения опорного решения приведены в табл. 2.4.2.
24
Таблица 2.4.2
Результаты построения опорного решения
bj
ai
250
300
200
200
200
9
200
8 3 1
350
7
50
10
300
6 4
400
2 3 0 8
200
12
200
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых
клеток должно быть равно N = m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6.
В табл. 2.4.2 занято 6 клеток. Применяя метод вычеркивания, убеждаемся,
что найденное решение является «вычеркиваемым»:
20020000
0030050
00
*
0200
X
Следовательно, векторы условий, соответствующие занятым клеткам, ли-
нейно независимы и построенное решение является опорным [1].
2.4.3. Метод потенциалов
Как показывает практика, более удобным методом является метод по-
тенциалов, при котором каждой i-й строке (i-му поставщику) устанавливается
потенциал ui, который можно интерпретировать как цену продукта в пункте поставщика, а каждому столбцу j (j-му потребителю) устанавливается потенциал vj,
который можно принять условно за цену продукта в пункте потребителя.
Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:
1) проверить выполнение необходимого и достаточного условия разре-
шимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и
нулевыми стоимостями перевозок.
Примечание:
- если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запасы
потребителей, т.е.
n
j
j
m
i
i
ba
11
, то необходимо ввести фиктивного (n + 1)-го по-
25
требителя с запросами
n
j
j
m
i
in
bab
11
1
, равными разности суммарных запасов
поставщиков и запросов потребителей, и нулевыми стоимостями перевозок
единиц груза c
i(n+1)
=0 i;
- если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запросы
поставщиков, т.е.
n
j
j
m
i
i
ba
11
, то необходимо ввести фиктивного (m+1)-го по-
ставщика с запасами
m
i
i
n
j
jm
aba
11
1
, равными разности суммарных запросов
потребителей и запасов поставщиков, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза c
j(m+1)
=0 j;
2) построить начальное опорное решение (метод северо-западного угла),
проверить правильность его построения по количеству занятых клеток (их
должно быть m + n – 1) и убедиться в линейной независимости векторов условий (используется метод вычеркивания);
3) построить систему потенциалов, соответствующих опорному реше-
нию. Для этого решают систему уравнений ui + vj = cij при x
ij
> 0, которая имеет
бесконечное множество решений. Для нахождения частного решения системы
одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число
занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам:
ui= c
ij
– vj при x
ij
> 0, если известен потенциал vj, и
vj=cij – ui при x
ij
> 0, если известен потенциал ui;
4) проверить выполнение условия оптимальности для свободных клеток
таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формуле:
ijjiij
cvu
и те из них, которые больше нуля, записывают в левые нижние углы клеток.
Если для всех свободных клеток
0
ij
, то вычисляют значение целевой функ-
ции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой,
опорное решение не является оптимальным;
26
5) перейти к новому опорному решению, на котором значение целевой
функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка:
lkij
max
.
Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток,
занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки
«+» и «–», начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осу-
ществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину
}{min
""
ij
x
.
Клетка со знаком «–», в которой достигается
}{min
""
ij
x
, остается пустой. Если
минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в
остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось
равным m + n – 1.
Далее переходят к пункту 3 данного алгоритма [1].
27
3. ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
3.1. ПОНЯТИЕ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. СУЩНОСТЬ ГЛОБАЛЬНОГО
И ЛОКАЛЬНОГО КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Формулировка критериев экономических систем является необходимой
предпосылкой оптимизации плановых решений. В общем случае под критери-
ем оптимальности понимается признак, на основании которого производится
оценка, сравнение альтернатив, классификация объектов и явлений. Критерий
оптимальности функционирования экономической системы — это один из возможных критериев (признаков) ее качества, а именно тот признак, по которому
функционирование системы признается наилучшим из возможных вариантов ее
функционирования. В сфере принятия экономических решений критерий оп-
тимальности — это показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной
оценки возможных решений выбора наилучшего из них. Наиболее часто используется максимум прибыли или минимум затрат.
Критерий оптимальности обычно носит количественный характер и показывает, насколько один из вариантов лучше ли хуже другого. Порядковый критерий определяет лишь то, что один вариант лучше или хуже другого. Математической формой критерия оптимальности в экономико-математических моделях является целевая функция, экстремальное значение которой характеризует
предельно допустимую эффективность деятельности моделируемого объекта.
Если за классифицирующий признак принять уровень общности, то для
экономической системы существуют глобальный критерий оптимального развития в масштабе Земли, социально-экономический критерий, а также глобальный (обобщенный) и локальный критерий оптимальности в частных системах
моделей.
Если за классифицирующий признак взять математическую формулировку, то критерии подразделяются на скалярные и векторные, аддитивные и мультипликативные, интегральные критерии во временном аспекте и интегральные
в пространственном аспекте и др.
Возможна классификация моделей по временному аспекту, по способам
формирования критериев, по типу применяемых измерителей, по способам использования критериев.
Чаще всего термин «глобальный» применяется либо по отношению к
критерию одноуровневой модели, либо по отношению к критерию верхней модели многоуровневой системы моделей. В последнем случае, наряду с глобаль-
28
ным, фигурируют локальные критерии моделей нижних уровней, отражающие
интересы отдельных хозяйственных звеньев, социальных групп.
Разделение критериев на глобальный и локальный может быть отнесено к
любой иерархически построенной системе моделей, например модели отрасли
или предприятия.
Глобальному критерию может быть дана словесная формулировка, а для
решения практических задач планирования и управления такая формулировка
детализируется и представляется в виде совокупности более конкретных локальных критериев. Математически глобальный критерий принято формулировать в виде скалярной целевой функции, которая обобщенно выражает все многообразие целей, или в виде векторной функции, представляющей собой набор
несводимых друг к другу частных целевых функций.
Большинство многоуровневых систем имеют два уровня: верхний и нижний. Система моделей производственной программы предприятия включает в
себя модели расчета общезаводских показателей и показателей отдельных цехов. При формировании обобщенных критериев должны учитываться и местные (частные интересы), а локальные критерии — подчинены обобщенному.
Сложность системы целей объясняется многообразием задач общественного развития и развития систем, а также тем, насколько обширны и интенсивны внешние связи данной системы.
Предприятие является элементом более общих систем: отрасли промышленности, экономического региона. Поэтому деятельность предприятия оценивается в рамках любой из этих общих систем по соответствующим показателям.
С этой точки зрения предприятие должно наилучшим образом соответствовать
целям внешней системы. С другой стороны, само предприятие — сложная система, элементами которой являются коллективы его работников (бригады, отделы, службы, участки и т.д.) и отдельные индивидуумы. Следовательно, деятельность предприятия должна быть направлена на наилучшее обеспечение интересов коллектива и его работников. Система критериев оптимальности деятельности предприятия включают объемы выпуска основных типов продукции
высшей категории качества, производительность труда, себестоимость продукции, фонд заработной платы.
Система критериев отраслевой системы включает удовлетворение общественных потребностей производимой продукции, экономию ресурсов, внедрение достижений научно-технического прогресса, обеспечение надежности выполнения плановых заданий. Внешние связи отраслевых систем, а значит и
комплексы их целей, усложняются фактором времени, пространственной организацией, сочетанием различных подходов и аспектов планирования.
29
3.2. ПОНЯТИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ.
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК
Множественность целей развития систем существенно осложняет планирование, особенно если цели разнонаправленные, и приближение к одним целям удаляет систему от достижения других. Таким образом возникает задача их
согласования. Отыскание наилучших решений по нескольким критериям называется многокритериальной, или векторной, оптимизацией.
К общей формулировке многокритериальной задачи могут сводиться задачи различного содержания, которые можно подразделить на четыре типа:
1. Задачи оптимизации на множестве целей, каждая из которых должна
быть учтена при выборе оптимального решения. Примером может служить задача составления плана работы предприятия, в которой критериями служит ряд
экономических показателей.
2. Задачи оптимизации на множестве объектов, качество функциониро-
вания каждого из которых оценивается самостоятельным критерием. Если качество функционирования каждого объекта оценивается несколькими критериями (векторным критерием), то такая задача называется многовекторной.
Примером может служить задача распределения дефицитного ресурса между
несколькими предприятиями. Для каждого предприятия критерием оптимальности является степень удовлетворения его потребностей в ресурсе или другой
показатель, например величина прибыли. Для планирующего органа критерием
выступает вектор локальных критериев предприятий.
3. Задачи оптимизации на множестве условий функционирования. Задан
спектр условий, в которых предстоит работать объекту, и применительно к
каждому условию качество функционирования оценивается некоторым частным критерием.
4. Задачи оптимизации на множестве этапов функционирования. Рас-
сматривается функционирование объектов на некотором интервале времени,
разбитом на несколько этапов. Качество управления на каждом этапе оценивается частным критерием, а на множестве этапов — общим векторным критерием. Примером может служить распределение квартального плана цеха по декадам. В каждой декаде необходимо обеспечить максимальную загрузку. В результате получится критерий максимизации загрузки в каждой декаде квартала.
Многокритериальные задачи можно также классифицировать по другим
признакам: по вариантам оптимизации, по числу критериев, по типам критериев, по соотношениям между критериями, по уровню структуризации, наличию
фактора неопределенности.
30
Обозначим i-й частный критерий через
)( XZ
i
, где X – допустимое ре-
шение, а область допустимых решений через Q. Если учесть, что изменением
знака функции всегда можно свести задачу минимизации к задаче максимизации, то кратко задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:
max)(),...,(),()(
21
XZXZXZXZ
m
; (3.2.1)
QX
. (3.2.2)
Некоторые частные критерии могут противоречить друг другу, другие
действуют в одном направлении, третьи — безразличны друг к другу. Поэтому
процесс решения многокритериальных задач неизбежно связан с экспертными
оценками как самих критериев, так и взаимоотношений между ними.
Известен ряд методов решения задач многокритериальной оптимизации:
- оптимизация одного признанного наиболее важным критерия, осталь-
ные при этом играют роль дополнительных ограничений;
- упорядочение заданного множества критериев и последовательная оп-
тимизация по каждому из них (метод последовательных уступок);
- сведение многих критериев к одному введением экспертных весовых
коэффициентов для каждого из критериев таким образом, что более важный
критерий получает более высокий вес.
В идеальном случае можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных
задач. Однако такое пересечение обычно оказывается пустым множеством, поэтому приходится рассматривать так называемое переговорное множество эффективных решений (оптимальных по Парето). Критерий оптимальности применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались.
Вектор
QX
*
называется эффективным (оптимальным по Парето)
решением задачи (3.2.1), (3.2.2), если не существует такого вектора
QX
, что:
)()(
*
XZXZ
ii
mi ,1
, (3.2.3)
причем хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравенство.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]