Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы и модели принятия оптимальных решений в экономике. Учебное пособие
.pdf
11
или в матрично-векторной форме:
.0
,
max,)(
X
BAX
XCXP
Обозначим множество всех планов, удовлетворяющих условиям:
0,...,
,...
,...
1
11
11111
n
mnmnm
nn
xx
bxaxa
bxaxa
или в матрично-векторной форме:
0
,
X
BAX
через D. Это множество называется допустимым, или множеством допустимых планов.
Тогда задачу ЛП можно сформулировать так: найти максимум функции
ХCXP )(
на множестве D допустимых планов. В матрично-векторной форме:
.
max,)(
DX
XP
2.2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Графический метод используется для решения задач с двумя переменны-
ми следующего вида:
,)(
,
,)(
,)(
max(min),)(
2211
2222121
1212111
2211
mmm
bxaxa
bxaxa
bxaxa
xcxcXZ
.0
,0
2
1
x
x
12
Данный метод основывается на возможности графического изображения
области допустимых решений задачи и нахождении среди них оптимального
решения.
Алгоритм графического метода решения задач линейного программиро-
вания с двумя переменными:
1. Построить область допустимых решений.
2. Если область допустимых решений является пустым множеством, то
задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.
3. Если область допустимых решений является непустым множеством —
построить нормаль линий уровня
),(
21
ccn
и одну из линий уровня, имеющую
общие точки с этой областью.
4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в
направлении нормали, в задаче на минимум — в противоположном направлении.
5. Если при перемещении линии уровня по области допустимых решений
в направлении, соответствующем приближению к экстремуму целевой функции, линия ровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения ввиду
неограниченности целевой функции.
6. Если задача линейного программирования имеет оптимальное реше-
ние, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих область допустимых решений и имеющих общие точки с соответствующей опорной прямой. Если целевая функция задачи достигает экстремума в
двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек.
После нахождения оптимальных решений вычислить значение целевой функции на этих решениях [4].
Пример. Решить задачу линейного программирования:
3
,022
,0623
,02
max(min),23)(
2
21
21
21
21
х
xx
xx
xx
xxXZ
.0
,0
2
1
x
x
Решение. Строим область допустимых решений задачи. Нумеруем огра-
ничения задачи.
13
(4) х
(3) xx
(2) xx
(1) xx
3
,022
,0623
,02
2
21
21
21
В прямоугольной декартовой системе координат строим прямую х1 – х2 +
+ 2 = 0 (L1), соответствующую ограничению (1) (рис. 2.2.1).
Рис. 2.2.1. Область допустимых решений
Находим, какая из двух полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю
координатную плоскость, является областью решений неравенства (1). Для этого достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство.
Так как прямая L1 не проходит через начало координат, подставляем ко-
ординаты точки О(0,0) в первое ограничение:
020101
,
т.е. получаем строгое неравенство 2 > 0.
Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений. Таким образом,
стрелки на концах прямой L1 должны быть направлены в полуплоскость, содер-
1 1 -1
-1
2 2 -2
3
4
5 3 4 5 х1 х2 L1 L2 L3 L
4
(1)
(2)
(3)
(4)
X*=(4,3)
)2,3(n
14
жащую точку О. Аналогично строим прямые 3х1 – 2х2 – 6 = 0 (L2), 2х1 + х2 – 2 =
= 0 (L3), х2 = 0 (L4) и области решений ограничений (2), (3), (4). Находим общую
часть полуплоскостей решений, учитывая при этом условия неотрицательности;
полученная область допустимых решений заштрихована (см. рис. 2.2.1).
Строим нормаль линий уровня
)2,3(n
и одну из этих линий, например
3х1 + 2х2 = 0. Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой.
Эта прямая проходит через точку Х* пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (2) и (4). Определяем координаты точки
42
* LLХ
.
Решая систему
3
,0623
2
21
х
xx
, получаем Х* = (4, 3).
Вычисляем
183243*)( XZ
.
Таким образом, max Z(X) = 18 при Х* = (4, 3).
2.3. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В АНАЛИЗЕ
ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая ли-
нейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется
исходной, или прямой.
Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том,
что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения
другой.
Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно
следующим правилам:
1) целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а це-
левая функция двойственной задачи — на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум — вид ;
2) матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе
ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица в двойственной задаче
получаются друг из друга транспонированием;
3) число переменных в двойственной задаче равно числу функциональ-
ных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи — числу переменных в исходной задаче;
15
4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной
задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а
правыми частями в ограничениях двойственной задачи - коэффициенты при
неизвестных в целевой функции исходной задачи;
5) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой
задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства , соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной
задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительное, так и отрицательное значения.
Рассмотрим один цикл работы предприятия с технологической матрицей
А, векторами удельных прибылей С и запасом ресурсов В.
Соответствующая задача оптимального планирования в развернутой
форме будет иметь вид:
,0,...,
,...
,...
max,...
1
11
11111
11
n
mnmnm
nn
nn
xx
bxaxa
bxaxa
xcxc
,
а двойственная к исходной запишется так:
.0,...,
,...
,...
max,...
1
11
11111
11
m
nmnmn
mm
mm
yy
cayay
cayay
byby
.
Запишем эту задачу в матрично-векторной форме:
0
,
max,)(
X
BAX
XCXP
— исходная задача;
0
,
min,)(
Y
CYB
BYYS
— двойственная задача.
16
Математические модели пары двойственных задач могут быть симмет-
ричными и несимметричными. В несимметричных двойственных задачах систе-
ма ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной —
в виде неравенств, причем в последней переменные могут быть и отрицательными. В симметричных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается неравенствами, причем на двойственные переменные
налагается условие неотрицательности.
Рассмотренная выше пара является симметричной.
Основное неравенство теории двойственности. Для любых допусти-
мых решений исходной Х и двойственной Y задач:
)()( YSXP
.
Следствие из основного неравенства. Если допустимое множество одной
из задач двойственной пары не пусто, то целевая функция другой задачи ограничена в направлении экстремума на своем допустимом множестве.
Критерий оптимальности допустимых решений. Пусть Х* и Y* — до-
пустимые решения исходной и двойственной задач. Для того чтобы они были
оптимальными, необходимо и достаточно равенства значений целевых функций
этих задач.
1-я теорема двойственности. Если одна из двойственных задач имеет
оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, и экстремальные значения целевых функций равны.
2-я теорема двойственности. Для того чтобы допустимые решения Х*
исходной и Y* двойственной задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнения каждой из следующих трех групп соотношений:
1) Y*(B – AX*) = 0 и (Y*A – C)X* = 0;
2)
0
1
*
1
*
n
j
jiji
m
i
i
xaby
и
0
*
1 1
*
j
m
j
m
i
jiij
xcya
;
3) для всякого i = 1,…,m, если
0
*
i
y
, то
i
n
j
jij
bxa
1
*
;
для всякого j = 1,…,n, если
0
*
j
x
, то
m
i
jiij
cya
1
*
.
Пример (задача оптимального использования ресурсов). Пусть для
выпуска четырех видов продукции Р1, Р2, Р3, Р4 на предприятии используют
три вида сырья: S1, S2 и S3. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и
17
прибыль на единицу продукции при изготовлении каждого вида продукции
приведены в табл. 2.3.1. Требуется определить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.
Таблица 2.3.1
Исходные данные задачи оптимального использования ресурсов
Вид сырья
Запасы
сырья
Вид продукции
Р1 Р2 Р3 Р
4
S1 35 4 2 2 3
S2 30 1 1 2 3
S3 40 3 1 2 1
Прибыль
14
10
14
11
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи опти-
мального использования ресурсов на максимум прибыли. В качестве неизвестных примем объем выпуска продукции j-го вида xj (j = 1, 2, 3, 4).
1,2,3,4.j ,0
,4023
,3032
,353224
max,11141014)(
4321
4321
4321
4321
j
x
xxxx
xxxx
xxxx
ххххХР
Далее сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация ре-
шила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы у1, у2, у3 исходя
из следующих условий:
1) покупающая организация старается минимизировать общую стои-
мость ресурсов;
2) за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую
хозяйство может выручить при переработке сырья за готовую продукцию.
Согласно первому условию общая стоимость сырья выразится величиной
min403035)(
321
yyyYS
. Согласно второму требованию вводятся ограни-
чения: на единицу первого вида продукции расходуются четыре единицы первого ресурса ценой у1, одна единица второго ресурса ценой у2 и три единицы
третьего ресурса ценой у3. Стоимость всех ресурсов, расходуемых на производ-
18
ство единицы первого вида продукции, равна 4у1 + у2 + 3у3 и должна составлять
не менее 14, т.е.
1434
321
ууу
.
В результате аналогичных рассуждений относительно производства вто-
рого, третьего и четвертого видов продукции получаем систему неравенств:
.1133
,14222
,102
,1434
321
321
321
321
ууу
ууу
ууу
ууу
По экономическому смыслу цены неотрицательные:
0
1
у
,
0
2
у
,
0
3
у
.
Получили симметричную пару взаимодвойственных задач. В результате
решения данной задачи симплексным методом получен оптимальный план
Х* = (0; 5; 12; 5; 0), Y
*
= (3; 4; 0).
2.4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
2.4.1. Математическая модель транспортной задачи
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах a1, a2, …, am.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах b1, b2, …, bn. Известны cij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, …, n) — стоимость перевозки единицы груза
от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить
такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида:
bj
ai
b1
b2 … b
n
a
1
c
11 c12
…
c
1n
a
2
c
21 c22
…
c
2n
…
… … …
…
a
m
c
m1 cm2
…
c
mn
Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x
ij
(i = 1, 2, ..., m;
j = 1, 2, …, n) — объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому j-му по-
требителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок:
19
mnmm
n
n
xxx
xxx
xxx
X
21
22221
11211
.
Математическая модель транспортной задачи в общем случае имеет вид:
min)(
1 1
m
i
n
j
ijij
xcXZ
; (2.4.1)
i
n
j
ij
ax
1
i=1,2,..,m; (2.4.2)
j
m
i
ij
bx
1
j=1,2,…,n; (2.4.3)
0ijx
i=1,2,..,m; j=1,2,…,n. (2.4.4)
Целевая функция (2.4.1) выражает требование обеспечить минимум сум-
марных затрат на перевозку всех грузов. Первая группа из m уравнений (2.4.2)
описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью.
Вторая группа из n уравнений (2.4.3) выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей. Неравенства (2.4.4) являются условиями
неотрицательности всех переменных задач.
Таким образом, математическая формулировка транспортной задачи состо-
ит в следующем: найти переменные задачи Х = (хij) i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, …, n,
удовлетворяющие системе ограничений (2.4.2) и (2.4.3), условиям неотрицательности (2.4.4) и обеспечивающие минимум целевой функции (2.4.1).
В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что сум-
марные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.:
n
j
j
m
i
i
ba
11
. (2.4.5)
Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель —
закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель — открытой.
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела
решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков
20
равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть с правильным балансом.
Пример. Составить математическую модель транспортной задачи, ис-
ходные данные которой таковы:
bj
ai
50
70
80
90
9 5 3
110
4 6 8
Решение. Введем переменные задачи (матрицу перевозок):
232221
131211
ххх
ххх
X
.
Запишем матрицу стоимостей:
864
359
С
.
Целевая функция задачи равна сумме произведений всех соответствую-
щих элементов матрицы Х и С:
Z(X) = 9x
11
+ 5x
12
+ 3x
13
+ 4x
21
+ 6x
22
+ 8x23.
Данная функция, определяющая суммарные затраты на все перевозки,
должна достигать минимального значения.
Составим систему ограничений задачи. Сумма всех перевозок, стоящих в
первой строке матрицы Х, должна равняться запасам первого поставщика, а
сумма перевозок во второй строке матрицы Х — запасам второго поставщика:
х
11
+ х
12
+ х
13
= 90,
х
21
+ х
22
+ х
23
= 110.
Это означает, что запасы поставщиков вывозятся полностью.
Суммы перевозок, стоящих в каждом столбце матрицы Х, должны быть
равны запросам соответствующих потребителей:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]