Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Колебания и волны. Учебное пособие-1
.pdf
Все параметры, необходимые для расчета собственной частоты,
J
R
x
x
найдены, перейдем к заключительному этапу. Расчет дает следующее
значение:
mgL g g
2
,
0
87 28
R
2
645
15
R
Тогда собственная циклическая частота
лых колебаний физического маятника
28 9,81 м/с
22
0
45 0,5 м
2/3,5c 1,8cT
2
3, 5 с
0
12,2 с
1
, а период ма-
.
.
Сложение перпендикулярных колебаний
Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
и
sin ( )yt
. Построить траекторию движения. Определить направ-
2sin( / 2)xt
ление движения точки.
Запишем уравнения движения в канонической форме, определив
циклическую частоту, начальную фазу и амплитуду колебаний:
,
,
y
где
где
2A
,
0
x
1B
,
00y
,
/2
,
0
() sin( )
xt A t
,
0
() sin( )
yt B t
00
00
.
Циклическая частота взаимно перпендикулярных колебаний совпадает в общем случае, как было показано ранее, траектория представляет
собой эллипс.
Покажем это явным образом. С точки зрения механики уравнения колебаний – это кинематические уравнения, а траектория – это линия, которую движущаяся точка описывает в пространстве. Уравнение траектории
получается исключением времени из кинематических
уравнений.
Воспользуемся формулами приведения. Тогда
() sin( /2) cos( ).
tA t A t
00
81
Затем, возведя в квадрат и сложив
x
/cos()
At
и
0
/sin()yB t
,
0
получим, что уравнение траектории это – эллипс, ориентированный полуосями вдоль осей координат (рис. 54):
22
xy
AB
1
.
Рис. 54
Определим направление движения. Начнем с ответа на простой вопрос. Откуда движение началось? Ответ очевиден: из точки с координатами
(0) 2x
,
(0) 0y
.
Она помечена на рис. 54 круглым маркером. Для установления
направления движения нужно определить, где будет материальная
точка в следующий момент. В какой конкретно момент? Произвола
здесь быть не может. Возьмем, например, момент
точки в этот момент –
(1) 2x
и
соответственно (на рис. 54 она
(1) 0y
1 сt . Координаты
помечена квадратным маркером), но оказаться там точка могла, двигаясь как по часовой стрелке, так и против нее. Абсолютное значение времени не позволяет однозначно судить о ситуации.
82
Однако если взять время, равное (или меньшее) четверти периода, то
x
x
ситуация будет вполне прозрачной. Период колебаний
тогда
/4 0,5ctT
Положение точки определяют координаты
.
()0xt
2/ 2cT
0
и
()1yt
(на рис. 54 она помечена треугольным маркером). Следовательно, мате-
риальная точка движется по часовой стрелке.
Затухающие колебания
К вертикально расположенной пружине прикрепили груз 100 г.
Пружина растянулась на 4 см. Сместили груз еще на 3 см вниз и отпустили. После пяти колебаний смещение составило 1 см (в ту же
сторону). Найти скорость при первом прохождении положения равновесия.
На рис. 55 изображен маятник в трех различных состояниях. В крайнем левом
положении изображена расположенная вертикально пружина, верхний конец которой закреплен. После того как к нижнему
концу пружины прикрепили груз массой m, она под действием силы тяжести растянулась. Удлинение пружины обозначим как
В крайнем
.
1
правом положении приведена пружина после того как груз дополнительно сместили вниз. Это удлинение обозначим как
.
2
,
Рис. 55
83
Предоставленный самому себе пружинный маятник будет совершать колебания. Эти колебания будут затухающими. По условию задачи амплитуда колебаний уменьшается.
В среднем положении (рис. 55) пружина находится в равновесии,
обусловленном балансом силы тяжести и силы Гука:
mg kx
.
1
Это условие позволяет найти жесткость пружины
mg
k
x
1
2
410 м
25
.
м
12
10 кг 9,8 м/мН
Частота и период собственных колебаний такого маятника
25 Н/м
k
0
m
1
10 кг
16 c
1
,
2
0, 4 cT
0
0
.
Наличие диссипативных сил приводит к тому, что колебания перестают быть гармоническими. Уравнение затухающих колебаний имеет вид
t
() sin( )
xt Ae t
222
,
0
.
0
Гармоническая функция модулируется экспонентой, а частота колебаний сдвинута относительно собственной частоты.
Запишем смещение маятника в начальный момент и через пять периодов. Они заданы условием задачи:
5
T
5
T
3
. Выразим коэффициент
.
3
,
, то
(0) sin ( )xx A
20
x
3 см
2
Так как
1 см
x
3
(5 ) sin ( 5 )
xxTAe T
30
(0)
x
(5 )
xT
e
затухания:
ln 3
b
где
10
0,035
ln 3 ln 3
510
T
.
b
,
84
22
Подставим найденное значение в выражение для частоты
2
()b
. Тогда, используя разложение в ряд по малому параметру
21/2 2
получаем, что
(1 ) (1 / 2 )bb
00
.
0
1b
Продифференцировав смещение по времени, получим скорость
tt
() sin( ) cos( )
xt Ae t Ae t
00
.
В начальный момент маятник неподвижен, поэтому
(0) sin ( ) cos( ) 0xA A
Отсюда следует, что
tg ( )
00
1
0
, но тогда начальная фаза коле-
b
.
баний
0
ln 3
.
10
arctg 88
Теперь, когда параметры движения вычислены, можно построить,
графики зависимостей смещения и скорости маятника от времени
(рис. 56). Время на них нормировано на период собственных колебаний.
,
Рис. 56
85
Первому прохождению маятника положения равновесия соответ-
x
ствует момент
(/4) sin(/2 ) cos(/2 )
x Т Ae
. Учитывая, что
/4tT
/4
Т
/4 /2T
00
, получаем
.
Воспользуемся формулами приведения, тогда
/4
Т
(/4) cos( ) sin( )
x Т Ae
00
.
Преобразуем это выражение к виду
cos ( )
/4
T
xT Ae
(/4) sin( )1
0
0
sin ( )
0
2
. Тогда
.
.
.
Замечаем, что
Поскольку
53Te
Если
, то
/4
TAe
(1 / 2 )b
0
(/4) (1 /2)(1 )
Texb b
, слагаемыми
1b
(/4) (1 /2)
xT e x b
Te
4
sin ( ) 1
2
/4 2 2
T
1
20
30,95
0
, а
/ b
20
4
~ b можно пренебречь, тогда
/4 2
T
20
и окончательно получаем иско-
мую скорость
(/4) 0,953см 16 Гц (1+0,035 /2) 46 см/с.xT
2
Сонар
Гидроакустическая станция испускает импульсы частотой 30 кГц.
Отраженный сигнал приходит через 2 секунды. Частота отраженного сигнала 30,2 кГц. На каком расстоянии находится объект? Приближается или удаляется объект? Какова его скорость?
86
Пусть L – расстояние от станции до объекта. Если скорость ультразвука в воде с = 1500 м/c, то отраженный пинг достигнет станции через
время
Для любого волнового процесса справедливо
волны излучения станции составляет
2/tLс
. Тогда
/ 2 1500 м/с 2 с/2 1500 мLc t
1500 м/с
c
3
30 10 Гц
.
. Тогда длина
c
5 см
, что поз-
воляет идентифицировать малоразмерные цели, такие как подводный
дрон или аквалангист.
Объект движется, поэтому происходит изменение частоты эхосигнала, обусловленное доплеровским сдвигом. Если объект (источник
эхосигнала) приближается к наблюдателю (станции), то частота
личивается до
. Величина доплеровского сдвига позволяет рассчи-
уве-
тать скорость объекта u.
cc
.
cu
Тогда скорость объекта
1 1500 м/с 1
uc
9,93 60 60
9,93 м/скм/ч 35,8 км/ч
30
30,2
.
1000
В мореходной и авиационной практике применяется внесистемная
единица измерения скорости – узел. Один узел равен 1852 м/ч. Тогда
объект движется со скоростью
35,8 / 1,852 уз.19,3уз.u
87
24. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Гармонические колебания
1. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная ско-
рость точки V = 10 см/с, максимальное ускорение a =
100 см/с .
циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду. Написать
уравнение колебаний.
Материальная точка массой m = 0,1 г колеблется согласно урав-
2.
нению х =
5sin20t
см. Определить максимальные значения возвраща-
ющей силы и кинетической энергии точки.
Написать уравнение гармонических колебаний материальной
3.
точки массой 52 г, если максимальное сила, действующая на точку,
равна 65 Н, период колебаний 4 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент 100 мм.
Материальная точка массой m = 0,05 кг совершает гармонические
4.
колебания, уравнение которых имеет вид х =
0,1sin 5t
м. Найти силу,
действующую на точку: 1) в момент, когда фаза колебаний = 30°;
2) в положении наибольшего отклонения точки.
Скорость материальной точки, совершающей гармонические ко-
5.
лебания, достигла 1/5 максимальной. Каково отношение потенциальной
энергии точки к полной энергии в этот момент времени?
Груз массой 2 г, подвешенный к спиральной пружине, колеблется
6.
по вертикали с амплитудой А = 10 см. Определить жесткость пружины,
если известно, что максимальное ускорение груза составляет 0,5
Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические
7.
колебания по закону
()0,1cos 4 / 4х t
м. Определить полную энер-
гию и максимальное ускорение точки.
При смещении точки от положения равновесия, равном 2,5 см,
8.
скорость точки равна 4 см/с, а при смещении 3,8 см скорость равна
2 см/с. Найти амплитуду и период этого колебания. Начальная фаза гар-
монического колебания равна нулю.
Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж,
9.
а максимальная сила, действующая на точку, равна 0,5 мН. Написать
2
Найти
м/с .
2
88
уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 4 с,
х
х
А
x
а начальная фаза –6.
Материальная точка, совершающая гармонические колебания
10.
с частотой = 1 Гц, в момент t = 0 проходит положение, определяемое
координатой
= 5 см, со скоростью
0
= 15 см/с. Определить ампли-
V
0
туду колебаний.
Сложение колебаний
1. Точка одновременно совершает два гармонических колебания по
взаимно перпендикулярным направлениям, выражаемых уравнениями
0,5sinхt
см и
2cosyt
см. Найти уравнение траектории точки и по-
строить ее на чертеже; показать направление движения.
Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих по
2.
одной прямой и выражаемых уравнениями
1
см и
cosхt
2
см.
2sinхt
Найти амплитуду А результирующего колебания, его частоту и начальную фазу . Написать уравнение движения.
3.
Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, по-
лученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных
уравнениями
В результате сложения двух одинаково направленных гармониче-
4.
0,02 sin )/(5 2х t
1
м и
0,03sin )/(5 4х t
2
м.
ских колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той
же амплитудой. Найти разность фаз складываемых колебаний.
Колебание дано в виде уравнения
5.
А t
плитуда A изменяется со временем по закону
Здесь
0
Из каких гармонических колебаний состоит это коле-
const.А
sin 2 ,()
при этом ам-
1
1cos2 .()
А t
02
бание? Построить график составляющих и результирующего колебаний
1
для случая
6.
Результирующее колебание, получающееся при сложении двух
см,
4А
0
1
2
1с ,
0,1 с .
1
гармонических колебаний одного направления, описывается уравнением вида
At t
(t – в секундах). Определить: 1) цикли-
cos ( ) cos (45 )
ческие частоты складываемых колебаний; 2) период биений результирующих колебаний.
89
7. Складываются два гармонических колебания одного направле-
а
R
ния, имеющих одинаковые амплитуды и одинаковые начальные фазы,
с периодами
с и
2Т
1
2
с. Определить период результирую-
2,02Т
щего колебания и период биений.
8.
Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания,
полученного сложением одинаково направленных колебаний, заданных
уравнениями
1
()4sin / 2х t
м и
2
м. Написать
)sin (х t
уравнение результирующего колебания.
9.
Написать уравнение результирующего колебания, получающе-
гося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний
1
с одинаковой частотой
Амплитуда одного из колебаний равна 0,15 м, амплитуда
12
/2
12
3 с
и с одинаковой начальной фазой
другого 0,1 м.
10.
Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания,
полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями
1
()5sin / 3х t
м и
2
()3sin /5х t
м.
Физический маятник
1. Физический маятник состоит из шаров. Цен-
тры шаров образуют квадрат. Радиус каждого шар
= 50 см. Определить период колебаний относи-
тельно точки O.
2. Определить период колебаний физического маятника относительно точки O. Радиус обруча R = 50 см,
масса M = 500 г, масса материальной точки m =350 г.
3. Определить период колебаний физического маятника относительно точки O. В вершинах невесомого квадрата со стороной L = 100 см закреплены
диски радиусом R = 20 см.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]