Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Колебания и волны. Учебное пособие-1
.pdf
Рис. 11
Рис. 12
2
T
Период биений определяется как
2T
бания
. Очевидно, что
TT
b
b
. Период основного коле-
, т. е. изменение амплитуды ре-
зультирующего колебания происходит медленно относительно основного сигнала.
Изменение по определенному закону параметров колебаний называется модуляцией. Биение – простейший вид модуляции, называемой амплитудной.
Биения, возникающие при наложении двух колебаний с частотами
350 и 355 Гц, можно прослушать, перейдя по ссылке
1
.
1 http://pitf.ftf.nstu.ru/BeatingSound.ogg
21
9. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Пусть колебания совершаются одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Этого можно добиться, закрепив материальную точку на двух пружинах, как показано на рис. 13.
Рис. 13
Рассмотрим случай, когда частоты этих колебаний совпадают. Запишем уравнения колебаний
sin ( )xA t
,
sin ( )yB t
.
Отсчет времени начнем тогда, когда фаза первого колебания равна
0
нулю. Тогда
, а
– разность фаз этих колебаний.
Построим траекторию результирующего колебания, исключив
время из уравнений колебаний. Так как
sin /txA
, то
cos t
.
Запишем, используя тригонометрические соотношения:
/sincoscossinyB t t
Подставим полученные выражения для
//cos1(/)sinyB xA xА
22
sin t и
.
cos t
, тогда
2
.
Возведя в квадрат и приведя подобные, получаем уравнение кривой
B
yxA
второго порядка
22
xxy y
2cos sin
AAB B
2
.
В общем случае траектория результирующего колебания представляет собой эллипс, располагающийся в прямоугольнике со сторонами A
и B, как показано на рис. 14. Такие колебания называют эллиптически
поляризованными.
Если разность фаз кратна
0, 1, 2...m
, то уравнение сводится к виду
xxyy
AABB
, т. е. выполняется условие
22
20
.
Полученное выражение есть не что иное как уравнение прямой
;m
, проходящей через начало координат. Знак в уравнении
определяется разностью фаз. Траектории таких колебаний показаны
на рис. 15.
Рис. 14 Рис. 15
23
Нетрудно видеть, что их амплитуда равна
CAB
22
. Такие ко-
лебания называются линейно поляризованными.
Если
( 1 / 2) ; 0, 1, 2, ...mm
, то полуоси эллипса совпадают
с осями декартовой системы координат, в соответствии с уравнением и
рис. 16:
22
xy
AB
Рис. 16
1
.
Если амплитуды складываемых колебаний совпадают, A = B, то траектория результирующего колебания – окружность. Такие колебания
называют циркулярно поляризованными.
10. ФИГУРЫ ЛИССАЖУ
В общем случае при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний различных частот траектория движения – сложная незамкнутая
кривая. Однако если частоты взаимно перпендикулярных колебаний
кратны, то траектория – замкнутые кривые причудливой формы, называемые фигурами Лиссажу.
24
Рассмотрим некоторые из них. Пусть n и m – целые числа, тогда
уравнения взаимно перпендикулярных колебаний запишем в виде
sin ( )xA nt
,
sin ( )yB mt
.
Вид фигуры Лиссажу определяется кратностью частот и разностью
начальных фаз колебаний. На рис. 17 приведены некоторые частные
случаи.
Рис. 17
Правило частот Лиссажу определяет отношение частот двух колебаний. Частоты соотносятся так же, как и количество точек касания фигуры со сторонами прямоугольника A и B, в котором она заключена.
25
В приведенных примерах выполняется
x
y
x
N
N
m
,
nN
где
– число пересечений фигуры с осью абсцисс, а
N
– число пе-
y
ресечений фигуры с осью ординат.
Правило частот Лиссажу позволяет измерять частоту неизвестного
сигнала путем сравнения его с опорным. Изменяя частоту опорного сигнала, добиваются устойчивого воспроизведения фигуры Лиссажу на
экране осциллографа. Тогда частота неизвестного сигнала кратна частоте опорного сигнала, а кратность определяется визуально.
11. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
В отличие от идеализированных маятников реальные системы в процессе совершения колебаний теряют часть своей энергии. Диссипативные силы, прежде всего силы трения, неизбежно присутствуют в таких
системах. Это приводит к тому, что рано или поздно без подпитки энергией от внешнего источника любой реальный маятник останавливается.
В дальнейшем будем полагать
Такое ограничение требует некоторого пояснения. Абсолютное значение в физике редко когда бывает информативно. Чаще в физике значимо
соотношение параметров. Важно, мал параметр или велик в сравнении
с другим параметром. Поэтому, говоря о том, что затухание маятника
мало, будем полагать, что потерянная за один период
сравнению с полной энергией маятника.
Для механических колебаний, будь то пружинный или математический маятник, затухание проще всего моделировать путем помещения
маятника в вязкую жидкость. Диссипация энергии в такой среде обусловлена вязким трением.
На тело, движущееся в вязкой среде, действует сила вязкого трения,
пропорциональная скорости этого тела
, что затухание не слишком велико.
энергия мала по
и направленная против нее.
26
Коэффициент пропорциональности зависит от вязкости среды и геомет-
s
x
x
s
рических характеристик тела. Тогда
,
где
FrVrx
тр
– коэффициент сопротивления.
0r
Преобразуя второй закон Ньютона для пружинного маятника
mx kx rx
,
получаем однородное линейное дифференциальное уравнение
где
20xx x
– коэффициент затухания, а
/2rm
2
, (4)
0
/km
0
– циклическая
частота.
Уравнение (4) называется дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний. Решение этого уравнения будем искать исходя из следующих соображений.
При отсутствии затухания,
решение определяется выраже-
0,
нием (2). Можно предположить, что в случае малого затухания решение
изменится незначительно. Тогда представим решение в таком виде:
,
0
где под
мени
() ()sin( )xt st t
будем понимать уже не константу, а некую функцию вре-
()st
.
Для того чтобы упростить выкладки, в дальнейшем будем полагать,
0
. Тогда
0
что
sin cos
sts t
, а
sin 2 cos sin
sts tst
2
.
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение (4), получаем
2sin2()cos0
22
sstsst
0
27
.
Такое возможно лишь при условии того, что одновременно и
s
0ss
, и
20ss s
22
0
.
Разделим переменные в первом выражении, тогда
тегрируя, а затем потенцируя, получаем, что
ds s dt
t
Ae
. Подставляя
. Ин-
функцию s во второе условие, сведем его к выражению
отсюда
222
0
2222
20ss s
0
.
,
Итак, решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний имеет вид
t
() sin( )
xt Ae t
222
,
0
. (5)
0
Такие колебания, строго говоря, не являются гармоническими, их
амплитуда монотонно убывает со временем. Через время
1/
(его
называют временем релаксации) амплитуда уменьшается в e раз.
Зависимость смещения маятника от времени показана на рис. 18.
Время нормировано на период собственных колебаний маятника. В рас-
1
четах полагалось, что
[c ],
0
а
/ 10 [c ].
ниями обозначены экспоненциальные огибающие
1
Пунктирными ли-
и
()st
()st
.
Рис. 18
28
Период затухающих колебаний определяется выражением
E
2
,T
22
0
(6)
тогда количество колебаний, которые совершит маятник за время релаксации,
.
/NT
Решение (5) получено в предположении малости затухания. Сделаем
количественную оценку этого требования. Запишем выражение для потенциальной энергии маятника
2
Et e t
kx
() sin ( )
p
22
22
mA
0
t
22
.
0
Тогда рассеянную за период энергию можно записать как
2
T
Из требования
EEt EtT Et e
() ( ) ()(1 )
pp p
E
следует, что затухания можно считать ма-
p
лыми, если выполняется условие
.
0
.
Определим отношение запасенной энергии маятника к рассеянной
за период энергии
2/
QEE
.
p
Этот безразмерный параметр называется добротностью. Чем больше
добротность маятника, тем дольше маятник совершает колебания.
В случае малого затухания добротность
/QTN
Если затухание не является малым, но выполняется условие
.
,
0
решение (5) остается справедливым.
Пусть пружинный маятник совершает колебания в вязкой жидкости,
например в глицерине. С понижением температуры вязкость глицерина
существенно возрастает, а это приводит и значительному росту затухания. Математически этот процесс соответствует переходу
этом, как следует из (6), период колебаний
T
.
, при
0
29
Режим движения маятника называется критическим, если
x
x
B
x
x
0
В этом случае решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний имеет вид
t
() ( )
tABte
.
Константы А и B определяются из начальных условий. Если маятник
отклонили и отпустили, то
t
() ( )
te B ABt
(0)xA
. Тогда, так как
, а
(0) 0x
, то
.
A
Окончательно получаем, что
t
() (1 )
tA te
, а
()
tAte
2
t
.
Зависимость смещения маятника от времени в критическом режиме
показана на рис. 19. Маятник возвращается к равновесию асимптотически, не совершая колебаний. По истечении времени, равного периоду
собственных колебаний, движение маятника практически полностью
прекратится.
.
Рис. 19
Если
, то маятник, выведенный из состояния равновесия,
0
также не совершая колебаний, возвращается в положение равновесия
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]