Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Колебания и волны. Учебное пособие-1
.pdf
E
Рис. 35
Рис. 36
Фазовые траектории нелинейного осциллятора
Качественные представления о фазовом портрете нелинейного осциллятора можно получить, используя уже известные закономерности.
Под нелинейным осциллятором будем понимать шарнирно подвешенный невесомый стержень, к свободному концу которого прикреплена материальная точка. Это известный нам физический маятник. Систему будем считать консервативной.
Кратковременное приложение силы к свободному концу стержня
выведет его
гию
ной точки
из состояния покоя. Маятник, получивший при ударе энер-
, начнет движение. Пусть длина стержня l, а масса материаль-
0
. Тогда при выполнении условия
m
0
маятник будет
2Emgl
вращаться с переменной скоростью.
51
В качестве фазовых координат будем использовать угловое переме-
J
g
щение
и угловую скорость
Совершив полный оборот относи-
.
тельно произвольного положения, маятник вернется к тому же значению угловой скорости, а угловое перемещение при этом возрастет на
2 . Фазовые траектории окажутся незамкнутыми.
Если
0
, то осциллятор будет совершать линейные гармо-
2Emgl
нические колебания. Фазовая траектория линейного гармонического осциллятора – эллипс. Траектории замкнуты.
Если
0
, то колебания будут нелинейные. Фазовые траекто-
2Emgl
рии останутся замкнутыми, но перестанут быть эллипсами.
Таким образом, фазовая траектория, соответствующая значению
, будет делить фазовую плоскость на две области, в одной фа-
2Emgl
0
зовые траектории –- незамкнутые кривые, а в другой – замкнутые.
Точный расчет фазового портрета нелинейного осциллятора можно
провести на основе закона сохранения полной механической энергии.
Сумма кинетической и потенциальной энергии всегда равняется энергии, полученной маятником при ударе:
2
J
(1 cos )
mgl E
2
Момент инерции такого маятника равен
стота малых колебаний
0
l
. Тогда
.
0
2
ml , а собственная ча-
E
21cos
0
0
mgl
.
Фазовый портрет нелинейного осциллятора показан на рис. 37. Результаты расчета соответствуют качественному анализу. Сепаратриса
разделяет фазовую плоскость на области с различными типами движения. На рисунке сепаратриса – это кривые, проходящие через точки
с координатами
(,0)
и
(,0)
.
Состояние устойчивого равновесия осциллятора реализуется в особых точках (центрах). Они расположены на оси абсцисс при значениях
0, 2, 4,...
52
Рис. 37
y
В точках на оси абсцисс со значениями
, 3 , ...
реализуется
состояние неустойчивого равновесия. Эти точки называются седлами.
17. ВОЛНЫ НА СТРУНЕ
Во многих музыкальных инструментах источником звука являются
туго натянутые струны. Эти инструменты так и называют – струнные.
Арфа, скрипка, гитара – всем известные представители этой обширной
группы инструментов. Музыканты, воздействуя на струны пальцами,
смычком, медиатором, заставляют струны колебаться и издавать при
этом звуки.
Рассмотрим такой вид колебаний. Пусть имеется туго натянутая
струна (нить
ная плотность
струну так, чтобы ось
сывающее форму струны, будет иметь вид
Если, приложив силу, незначительно изменить форму струны,
а затем отпустить ее, то струна начнет колебаться. Будем полагать,
что колебания осуществляются только в одной плоскости
). Струну будем полагать тонкой и однородной. Ее линей-
. В состоянии покоя струна прямая. Расположим
const
совпадала со струной. Тогда уравнение, опи-
Ox
.
0y
x
. Каждая
53
точка струны перемещается перпендикулярно оси Ox. Тогда в некото-
x
x
x
рый момент отклонение струны от прямой представимо в виде уравнения
. Колебания будем считать малыми, форма струны искажа-
()yUx
ется незначительно.
до
Выделим малый участок струны с координатами от
1
(рис. 38)
2
и построим силы, действующие на него.
Рис. 38
Если струна натянута туго, силой тяжести можно пренебречь. Сила
натяжения струны направлена по касательной в каждой точке струны.
Запишем силу, действующую на выделенный малый участок,
FT T
sin sin
2211
y
,
FT T
cos cos
2211
x
.
Силу натяжения можно считать постоянной вдоль струны
TTT
012
скольку
, а углы отклонения малыми,
lim 0
F
12
x
xx
направлена вдоль оси
, сила, действующая в каждой точке струны,
.
Oy
,
1
1
1
2
. Тогда, по-
Производная функции в точке есть тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в этой точке. С учетом малости угла
1
получаем для левой границы участка
()
54
dU x
dx
.
1
sin tg
11
Аналогичные построения справедливы и для правой границы участка:
x
x
x
x
()
sin tg
22
dU x
dx
.
2
Тогда силу, приложенную к выделенному участку, можно записать как
() ()
dU x dU x
FT
0
y
dx dx
21
,
x
а его массу без учета кривизны струны – как
()mxx
21
.
Составив отношение силы к массе, осуществим предельный переход, устремляя точку
к точке
1
и используя определение производ-
2
ной, получим
() ()
dU x dU х
где
T
0
F
y
lim
xx
mxx
12
/с T
.
0
dx dx
xx
21
()
21
c
2
2
dU
, (7)
2
dx
Поскольку положение струны изменяется с течением времени,
функция, описывающая ее форму, зависит от двух переменных
. Обобщая понятие производной на случай функции несколь-
(,)UUxt
ких переменных, далее будем использовать частные производные. То-
2
U
гда ускорение любой точки струны можно записать как
гласно второму закону Ньютона
. Учитывая выражение (7), по-
/aFm
a
2
t
, а со-
лучаем, что изменение формы струны описывается дифференциальным
уравнением второго порядка:
22
UU
2
c
22
tx
, (8)
которое называется уравнением колебаний струны.
55
Гармоническая функция вида
x
x
(,) sin( )Uxt U t kx
0
, kс , (9)
при подстановке в уравнение (8) превращает его в тождество, т. е. является его решением. Рассмотрим полученное решение подробнее.
Пусть точка струны с координатой
силы совершает гармонические колебания
под действием внешней
0x
(0, ) sinUtU t
0
. Говорят,
что в начале координат расположен источник колебаний. Тогда точка
с координатой
с той же самой частотой
исходят с запаздыванием по времени
также будет совершать гармонические колебания
1
(,) sinUx t U t
10
. Однако эти колебания про-
. Колебания точки
/ttxс
1
1
отстают от колебаний в начале координат на время распространения
возмущения от источника до нее. Тогда константа
в уравнении (8)
с
есть не что иное, как скорость распространения колебаний по струне.
Такой процесс распространения колебаний в струне называется волновым процессом или просто волной. Поэтому уравнение (8) также
называется волновым уравнением или дифференциальным уравнением
плоских волн, а константа
из уравнения (9) – волновым числом.
k
Источник колебаний порождает две волны. Одна распространяется
в области
в области
что диссипация энергии отсутствует, амплитуда волны
, ей соответствует знак «минус» в решении (9), другая
0x
, ей соответствует знак «плюс». Поскольку полагалось,
0x
остается по-
U
0
стоянной.
Гармоническая функция – периодическая, поэтому точки струны,
удовлетворяющие условию
2, 0,1,2,kx n n
ной фазе с источником. Минимальное расстояние
, колеблются в од-
между двумя точ-
ками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны.
Очевидно, что
2/ 2/kc cT
. Поэтому длина волны – это рас-
стояние, которое проходит волна за период, а волновое число показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке 2π метров.
Рассмотренные бегущие волны на струне являются частным случаем широкого класса волновых явлений, и многие понятия и сделанные
выводы распространяются на эти явления. В частности:
для любого волнового процесса справедливо соотношение
;c
56
колебания участков струны осуществляются перпендикулярно
направлению распространения волны;
бегущая волна не переносит массу, но переносит энергию, полу-
ченную от источника.
18. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
Рассмотрим наложение двух бегущих навстречу друг другу волн
одинаковой частоты и амплитуды:
(,) sin( )yxt A t kx
1
(,) sin( )yxt A t kx
2
,
.
Наложение волн подчиняется принципу суперпозиции: при распространении нескольких волн каждая из них распространяется так, как
будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частиц
равно геометрической сумме смещений. Тогда, используя тригонометрическое выражение для суммы синусов, получаем
12
2cos( )sin( )yy y A kx t
.
Выражение содержит два сомножителя. Один из них – синус, являющийся функцией только времени и задающий гармонические колебания на частоте бегущих волн. Второй – косинус, зависящий только от
координаты. Каждая точка струны колеблется, но амплитуда этих колебаний изменяется вдоль направления распространения волн.
Волны называются когерентными, если разность их фаз не
зависит
от времени. Когерентными могут быть только монохроматические
волны, т. е. волны одной частоты. Именно такие волны мы и рассматриваем. В нашем случае разность фаз – это аргумент косинуса, и волны
являются когерентными.
Интерференция волн – явление наложения когерентных волн, при
котором происходит устойчивое во времени переопределение энергии
в пространстве. Таким образом
, на струне в результате интерференции
57
двух бегущих волн образовалась стоячая волна, показанная на рис. 39
в моменты
/ 4; / 4; / 12; / 12tT T T T
,
где T – период колебаний.
Рис. 39
Амплитуда стоячей волны максимальна в точках струны, в которых аргумент косинуса кратен
волновое число и длина волны связаны соотношением
. Эти точки называются пучностями. Поскольку
из урав-
2/,k
нения стоячей волны получаем условие для пучности
2
xmm
m
, 0, 1, 2, ...
Некоторые точки струны покоятся. Эти точки называются узлами.
Амплитуда колебаний в узлах равняется нулю. Условие для нахождения
узлов очевидно:
cos ( ) 0kx
, но тогда
21
xm m
m
2
, 0, 1, 2, ...
Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями
называется длиной стоячей волны. Так как
,
xx
sm m
1
/2
то длина стоячей волны равняется половине длины бегущей волны.
58
Все точки струны, заключенные между двумя соседними узлами,
колеблются синфазно, а лежащие по разные стороны от узла – противофазно.
Бегущие навстречу друг другу волны переносят энергию, но в разных направлениях. Поэтому усредненный в любом сечении поток энергии равен нулю. Стоячая волна не переносит энергию. В ней два раза за
период происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую энергию.
Рассмотрим натянутую струну длиной L, закрепленную на концах.
Источник колебаний, расположенный на струне, возбуждает две бегущие волны. Достигнув концов струны, каждая из них отразится, и, двигаясь навстречу друг другу, они сформируют стоячую волну.
Амплитуда колебаний закрепленных концов струны равняется
нулю, следовательно, там располагаются узлы. Пусть других узлов на
струне нет, тогда на длине струны укладывается половина длины бегущей волны. В любом случае колебание струны в режиме стоячей волны
возможно, если на длине струны укладывается целое число длин полуволн бегущей волны или целое число длин стоячей волны.
Lnn
, 1, 2,...
sn
Рис. 40 демонстрирует колебания струны в тех случаях, когда на ее
длине укладывается одна, две, три и четыре длины стоячей волны.
Сплошная и пунктирная линии соответствуют положению струны в моменты, различающиеся на половину периода.
Набору стоячих волн, допустимых на данной струне, соответствует
набор частот
//(2)
ccnL
nn
.
Стоячие волны других частот на такой струне существовать не
могут.
Эти частоты называются гармониками. Номер гармоники соответствует количеству длин волн стоячей волны, укладывающихся на
струне. Первая гармоника называется основным тоном. Вторая, третья, четвертая и все последующие гармоники носят общее название –
обертон.
59
Любое кратковременное воздействие на струну, а именно так взаимодействует музыкант со струнным инструментом, приводит к возникновению на струне большого числа стоячих волн. Основная доля энергии приходится на основной тон, с увеличением номера гармоники
энергия колебаний уменьшается.
Рис. 40
Однако наличие большого числа обертонов делает звук окрашенным, придавая ему индивидуальное звучание – тембр. Именно тембром
различается звучание различных музыкальных инструментов.
19. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
Любое изменение состояния среды (возмущение), которое распространяется в пространстве, называется волной. Волны, распространяющиеся по струне, являются частным случаем целого класса
явлений. Упругие волны, волны на поверхности, звуковые и электромагнитные волны, имея различную физическую природу, тем не менее подчиняются общим закономерностям. Их распространение описывается волновым уравнением, однако
странстве оно несколько усложняется, в правой части появляется
60
для волн в однородном про-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]