Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Колебания и волны. Учебное пособие-1
.pdf
5. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
g
N
Тело массой m подвешено на нити длиной l (рис. 4). Если размером
тела можно пренебречь по сравнению с длиной нити l, то тело можно
считать материальной точкой. Предположим, что нить невесома и нерастяжима. Такая идеализированная конструкция называется математическим маятником.
Отклоним маятник от положения равновесия на малый угол. Положение маятника
тикалью. Если маятник отпустить, то он начнет двигаться, причем траектория движения будет окружностью.
полностью определяется углом между нитью и вер-
Рис. 4
В соответствии с первым законом Ньютона причиной начала движения маятника является сила, действующая на него. Рассмотрим действующие силы подробнее.
Pm
На материальную точку действуют две силы: сила тяжести
направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити
,
направлен-
,
ная по нити. Их векторная сумма определяет тангенциальную составляющую силы тяжести
PNP
,
которая и приводит материальную точку в движение. Эту силу можно
назвать возвращающей, она стремится вернуть маятник в положение
11
равновесия. Заметим, что нормальная составляющая силы тяжести (на
x
g
рис. 4 не показана) уравновешивается силой натяжения нити и радиальное движение отсутствует.
Угол между силой натяжения нити и тангенциальной составляющей
силы тяжести прямой, поэтому
потому, что угол
а сила
направлена в противоположном направлении.
P
отсчитывается от вертикали против часовой стрелки,
Для малых углов, выраженных в радианах,
венство
sin
. Тогда возвращающая сила
. Знак «минус» берется
sinPmg
, справедливо ра-
1
Pmg
. (3)
Если расположить начало декартовой системы координат в точке
равновесия тела, то, как легко заметить,
sin
ll
.
Учитывая, что источником движения маятника служит возвращающая сила, запишем второй закон Ньютона для материальной точки
Pma
.
Подставляя в это уравнение возвращающую силу (3) и тангенциаль-
ное ускорение в виде
aVl
, получаем, что уравнение движения
математического маятника является дифференциальным уравнением
гармонических колебаний
2
при этом циклическая частота
0
0
,
0
.
l
Период колебаний математического маятника не зависит от массы
материальной точки и амплитуды колебаний, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения:
l
2
Tg
.
12
Этот же результат можно получить, если рассматривать математи-
J
P
ческий маятник как частный случай физического. Действительно, мо-
2
ml
2
,Jml
тогда
.
l
мент инерции материальной точки
mgl mgl g
2
0
Длина нити и период маятника могут быть измерены с высокой точностью, это позволяет использовать колебания маятника для измерения
ускорения свободного падения.
Колебания математического маятника оказались гармоническими
лишь при условии малости угла отклонения. В этом случае возвращающая сила
становится сходной с силой Гука. Она также линейна отно-
P
сительно перемещения и направлена в противоположную сторону. Такой вид возвращающей силы позволил свести уравнение движения
к дифференциальному уравнению гармонических колебаний.
Если условие малости углов отклонения математического маятника
не выполняется, то маятник совершает колебания, отличные от гармонических. В этом случае
период колебаний зависит от их амплитуды.
6. КВАЗИУПРУГАЯ СИЛА
Вне зависимости от физической природы силу называют квазиупругой, если она линейна относительно смещения и направлена противоположно ему. Возвращающую силу
считать квазиупругой.
Справедливо следующее утверждение: если в системе, подвергшейся кратковременному внешнему воздействию и вышедшей из состояния равновесия, возникает квазиупругая возвращающая сила, то система будет совершать гармонические колебания.
В качестве иллюстрации приведем фантастический пример такой
системы. Для этого попробуем найти ответ на следующий вопрос.
при малых отклонениях можно
13
Что будет с телом, которое уронили в скважину, пробуренную сквозь
R
центр Земли с одной стороны на другую?
В дальнейшем будем придерживаться следующих допущений. Тело –
материальная точка массой m, Земля – однородный шар, радиус которого R = 6378 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли
g =
9,81 м/c . Скважина пробурена с Северного полюса на Южный
2
(в этом случае можно не учитывать вращение Земли). Сила сопротивле-
ния воздуха не учитывается.
Поместим начало координат в центр Земли, а ось ординат направим
по скважине на Северный полюс (рис. 5).
Рис. 5
Движение тела определяет закон всемирного тяготения Ньютона,
гласящий, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами
масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
и
m
m
1
mm
FG
пропорциональна произведению
2
12
.
2
R
12
:
12
На материальную точку массой m, находящуюся на поверхности
mg
Земли, действует сила тяжести
. Сила тяжести является следствием
14
гравитационного притяжения массой Земли M. Гравитационное поле
R
g
M
R
y
M
M
g
F
R
F
g
R
материальной точки и поле шара той же массы совпадают вне шара.
mM
Тогда на поверхности Земли
2
R
массу Земли
MG
и ее плотность
mg G
4/3
3
3
4
. Отсюда можно найти
2
g
.
GR
На материальную точку, опустившуюся в скважину на глубину
r
, оказывает воздействие не вся масса Земли. Воздействие масс,
распределенных в шаровом слое от R до r, взаимно уравновешено.
Оставшаяся масса
, сосредоточенная в шаре радиусом r (на рис. 5 он
r
заштрихован), продолжает притягивать материальную точку.
Поскольку масса этого шара
4
rr
r
3
g
33
,
GR
то гравитационная сила, направленная к центру Земли,
mM
r
Gmr
2
r
.
Перейдя к координате y, запишем, учитывая направление, силу, действующую на падающую в скважине материальную точку:
2
my ,
0
0
.
Построенная сила оказалась квазиупругой. Следовательно, материальная точка будет совершать гармонические колебания между устьями
скважины, расположенными на Северном и Южном полюсе. Период
этих колебаний составляет 84,4 мин, а скорость материальной точки
в центре Земли
7,9 км/сVR
0
, что совпадает с первой космической
скоростью.
15
Если скважину или тоннель проложить не через центр Земли, а по хорде
(рис. 6), то характер движения тел в нем останется прежним.
Рис. 6
Наблюдатель, находящийся у входа, будет видеть наклонный тоннель, уходящий под землю. Колесное транспортное средство начнет
двигаться по такому тоннелю под уклон, постепенно набирая скорость.
Пройдя середину тоннеля, транспортное средство начнет замедляться
до тех пор, пока не остановится, достигнув противоположного входа
в тоннель.
Путешествие во встречном направлении будет выглядеть совершенно
аналогично: наклонный тоннель, первоначально ускоренное,
а затем замедленное движение, и остановка на поверхности.
Двигатель и горючее при таком способе передвижения оказываются
излишними. Время такого путешествия, вне зависимости от того, по какой хорде проложен тоннель, будет всегда одинаково – 42,2 мин.
Возможно, что когда-нибудь прокладка таких хордовых тоннелей
станет технологически возможной
и экономически оправданной.
16
7. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
x
ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
Пусть материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Ограничимся случаем, когда эти колебания совершаются вдоль одного направления и с одинаковой частотой. Одна из
возможных реализаций такого процесса показана на рис. 7. Пружинный
маятник 2 колеблется относительно маятника 1, также, в свою очередь,
совершающего гармонические колебания.
Рис. 7
Запишем эти колебания в виде
sin ( )xA t
11 1
,
sin ( )xA t
22 2
Результирующее движение представим как
.
xx
12
. Используя
тригонометрические соотношения, можно доказать, что результирующее колебание также гармоническое и осуществляется на той же частоте:
sin ( )xA t
.
Докажем это утверждение, а также найдем амплитуду и начальную
фазу результирующего колебания, используя метод векторных диаграмм.
Отложим из начала декартовой системы координат вектор, длина которого равняется амплитуде колебаний (рис. 8). Пусть угол между этим
вектором и осью абсцисс равен фазе гармонического колебания
. С течением времени фаза возрастает, и вектор равномерно вра-
t
00
щается вокруг начала координат против часовой стрелки. Проекция
17
этого вектора на ось ординат, как, впрочем, и на ось абсцисс, совершает
A
x
A
A
A
A
A
гармонические колебания. Действительно,
AA t
sin ( )
y
Рис. 8
00
.
Векторные диаграммы дают наглядное представление о гармонических колебаниях и связывают колебательные и вращательные движения. Действительно, равномерное движение по окружности, по сути,
есть два колебательных гармонических движения, совершаемых одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Колебанию x
ствует вектор
отложенный под углом
,
2
в начальный момент на векторной диаграмме соответ-
1
отложенный под углом
,
1
(рис. 9). Вращение векторов
2
а колебанию
,
1
– вектор
2
и
1
2
с одинаковой частотой не меняет их взаимного расположения.
и
Складывая векторы
1
по правилу параллелограмма, полу-
2
чаем вектор A, вращающийся совместно с ними. Следовательно, резуль-
тирующее колебание осуществляется на той же частоте.
Начальную фазу результирующего колебания найдем, определив катеты треугольника,
sin sin
AA
tg
112 2
cos cos
AA
112 2
18
.
Рис. 9
Амплитуду его можно найти по теореме косинусов
222
12
2cos( )AAA AA
12 1 2
.
Амплитуда зависит от начальных фаз складываемых колебаний.
Рассмотрим несколько простых случаев. Пусть
AA A
. Совершаясь в одинаковой фазе (синфазно), колебания вза-
12
12
2m
имно усиливаются, как это показано на рис. 10.
Рис. 10
Если же колебания совершаются в противофазе,
(2 1)m
ния при
, то они ослабляются,
AA
.
12
AA A
12
, вплоть до полного гаше-
, тогда
12
19
8. БИЕНИЯ
x
x
x
x
x
B
Пусть материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Рассмотрим случай, когда эти колебания совершаются вдоль одного направления с близкими частотами.
Полагая для простоты амплитуды одинаковыми, запишем уравнения
колебаний
,
sin
At
1
sin ( )
At
2
Условие близости частот заключается в том, что
.
. Резуль-
тирующее колебание
xx
,
12
вообще говоря, уже не являющееся гармоническим, путем тригонометрических преобразований сведем к виду
() 2 sin cos
tA t t
Отбросив малое слагаемое
22
в аргументе функции синус, оконча-
.
тельно получим, что результирующее колебание есть гармоническое колебание с периодически изменяющейся амплитудой
()sin
Bt t
() 2 cos
,
tA t
.
2
Явление периодического изменения амплитуды результирующего
колебания при сложении двух колебаний одного направления с близкими частотами называется биениями.
На рис. 11 и рис. 12 показаны первое исходное и результирующее
колебания. Второе исходное колебание графически неотличимо от первого.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]