Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Колебания и волны. Учебное пособие-1
.pdf
22. СОНАР
Сонар (гидролокатор) – устройство для обнаружения объектов
в воде посредством отраженных звуковых волн. SONAR – от англ.
SOund NAvigation and Ranging (звуковая навигация и дальность).
Раздел акустики, в которой изучается излучение, прием и распространение звуковых волн в водной среде, называется гидроакустикой.
Разработано множество устройств, функциональные возможности которых основаны на законах гидроакустики: эхолот, эхоледомер, шумопеленгаторная
телефон. Однако в этих разработках человек следует за природой.
Дельфины, киты, летучие мыши в процессе эволюции обрели возможность использовать звук для общения и обнаружения объектов.
Общий принцип работы сонара иллюстрирует рис. 48
станция, гидроакустический буй, гидроакустический
Рис. 48
Излучать гармонические волны при работе сонара – не самая разумная идея. Излучаемый сигнал будет мешать регистрации слабого эхосигнала. Поэтому сонар последовательно переходит из режима излучения в режим приема и излучает последовательность импульсов (пингов). Между пингами есть временной промежуток, во время которого
сонар слушает эхо. Пинг похож на ограниченную
синусоиду, но синусоидой не является. Это волновой пакет, который состоит из суммы гармонических сигналов.
71
Характерный пинг сонара подводной лодки показан на рис. 49, а про-
2
слушать его можно перейдя по ссылке
Рис. 49
.
Передающая антенна сонара излучает импульс с частотой от 14
до 22 кГц. Импульс, достигая некоторого объекта в толще воды, отражается и возвращается к сонару. Сонар же, ожидая возвращения импульса, переходит в пассивный режим. Длительность импульса должна
быть короче времени, которое, как предполагается, будет затрачено на
движение импульса от сонара к цели
и обратно, иначе на приемнике ре-
зультат будет суммироваться с исходящими волнами.
Поворачивая приемопередатчик, можно определить направление,
с которого приходит отраженный сигнал, а значит, направление на цель.
Временной интервал между пингом и эхом позволяет определить расстояние до обнаруженного объекта. Разумеется, для этого нужно знать
скорость звука. Средняя скорость звука
в воде – 1480 метров в секунду,
граничные скорости – от 1450 до 1540 м/с. Скорость звука зависит от
температуры, солености воды, давления.
Вызванное доплеровским сдвигом изменение частоты эхосигнала относительно исходного позволяет рассчитать скорость обнаруженного
объекта.
2
http://pitf.ftf.nstu.ru/ping-sonar.mp3
72
23. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
A
Математический маятник
Стальной шар массой 7,8 кг подвешен на стальной струне длиной
10 м. Шар отклонили на 1 м и отпустили. Определить параметры дви-
жения маятника.
Введем обозначения для параметров задачи. Пусть масса шара
1 м
7,8 кгm
, длина струны 10 мL , отклонение шара
изображен шар, отклоненный вправо. Не обозначенная на чертеже ось x
направлена вправо. Положение шара однозначно определяет расстояние A, на которое его отклонили от положения равновесия. Однозначно
положение шара определяет также высота, на которую поднялся центр
масс шара, и угол между струной и вертикалью. На чертеже они обозначены как h и .
. На рис. 50
Рис. 50
Проанализируем геометрию задачи. Из чертежа следует, что
sin / 1 м/10 м 0,1AL
. Тогда угол
arcsin0,1 0,100167
ния угла и синуса отличаются меньше чем на 0,2 %, т. е.
раженный в градусах угол
. Малым принято считать угол менее
5, 7
. Значе-
sin
. Вы-
чем 10 градусов. Таким образом, можно считать, что струна отклонена
на малый угол.
73
Из прямоугольного треугольника следует, что
R
22
11hL L A L b ,
bAL
2
.
Разлагая полученную функцию в ряд Тейлора по малому параметру
2
b, а он мал, поскольку
(/) 1AL
сота, на которую подняли центр масс шара,
Плотность стали
7,8 г/см
, получаем, что 11/2bb , а вы-
2
/2 /2hLb A L .
3
. Так как объем шара
4
VR
3
, а его
3
масса
mV
Таким образом, выполняется условие
, то радиус шара
337,810г 3
m
3
R
44
3
47,8г/см
3
3
10 см 6,2 см
3
2
, т. е. размером шара
L
.
в данной задаче можно пренебречь и считать его материальной точкой.
Пусть шар подвешен на третьей гитарной струне. Ее диаметр равен
0,4 мм, а радиус
0,2 ммr
. Массу струны узнаем, умножив ее плот-
ность на объем:
2322
mrL
s
Поскольку
mm
7,8 г/см 0, 02 см 1000 см 9,8 г
, струну можно считать невесомой, а под дей-
s
.
ствием указанной нагрузки и нерастяжимой.
Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на
невесомой и нерастяжимой нити, совершающая малые колебания в однородном поле силы тяжести. Как показал проведенный анализ, описанная в условии задачи конструкция является математическим маятником.
На шар действуют сила тяжести
и сила натяжения нити. Их сумма
отлична от нуля, поэтому отклоненный от положения равновесия шар
начинает двигаться.
Это движение, являясь по сути гармоническим колебанием, описы-
вается выражением
() sin( )xt A t
00
74
.
Начальную фазу
ние маятника в начальный момент определяется условием
гда
0
.
/2
можно найти из начальных условий. Положе-
0
(0)xA
Собственная частота и период математического маятника определяются выражениями
, то-
10 м
2
0,98 с
1
2
,
6, 41 cT
0
.
9,81 м/с
g
0
L
Скорость маятника, а она есть производная по времени от смещения,
также изменяется по гармоническому закону
() cos( )xt A t
000
С максимальной скоростью маятник движется в момент
.
/4tT
В этот момент маятник проходит положение равновесия. Максимальная
скорость составляет
T
xA A
422
00
cos 0,98 с 10 м 9,8 м/с
1
.
PPN
Возвращающая сила
равняется произведению массы и ускорения
, согласно второму закону Ньютона
Pmx
. Ускорение – вто-
рая производная по времени от смещения:
() sin( )xt A t
2
000
.
Тогда максимальное значение возвращающей силы
max 2 2 2
7,8 кг 0, 98 с 0,1 м 0, 75 НPmA
0
.
.
Разберемся с энергией маятника. Максимальное значение потенциальной энергии маятника достигается в крайне правом и левом положении маятника. Тогда
222
Umgh
max
mgA
2210м
7,8 кг 9,81 м/с 1м
L
75
3,8 Дж
.
Поскольку максимальная скорость маятника
max
(/4),VxТ
Заметим, что
T
max
TU
max max
222
mV m A
max 0
222
. Этот результат закономерен. В консерва-
mgA
2
.
L
тивной системе полная механическая энергия сохраняется и в начальный момент, когда кинетическая энергия равна нулю, потенциальная
максимальна и равна полной. Через четверть периода потенциальная
энергия обнулится, а кинетическая достигнет максимального значения
и станет равной полной.
Физический маятник
Найти период колебаний диска, имеющего отверстие. Ось колебаний перпендикулярна плоскости диска и проходит через точку O
(рис. 51). Радиус диска 50 см, радиус отверстия 25 см.
Рис. 51
Физический маятник – это твердое тело, совершающее колебания
относительно горизонтальной неподвижной оси, не проходящей через
центр масс. Приведенная на рис. 51 конструкция фактически является
физическим маятником.
Радиус отверстия в два раза меньше, чем радиус диска, который обозначим как R. Горизонтальная ось ортогональна плоскости рисунка
76
и проходит через точку O. Если отклонить такую конструкцию на малый
J
угол (меньше 10°) и отпустить, то маятник будет совершать гармонические колебания. Период гармонических колебаний не зависит от амплитуды.
Собственная частота колебаний физического маятника определяется его массой m, ускорением свободного падения g, расстоянием
между центром масс и точкой подвеса
L и моментом инерции J. Период
и собственная частота связаны следующим образом:
2T
,
0
2
0
mgL
.
Ни один из этих параметров, кроме ускорения свободного падения,
нам неизвестен и требует расчета.
Дополним диск с отверстием малым диском, радиус которого R/2,
поместив его в отверстие. В результате получится сплошной диск. Схематично эта операция показана на рис. 52.
Рис. 52
Пусть масса большого сплошного диска
диска с отверстием m. Тогда, поскольку масса аддитивна,
масса малого
,m
0
а масса
,m
1
mmm
01
.
Полагаем, что диски однородны и сделаны из одного и того же материала. Если – поверхностная плотность материала (масса единицы
поверхности), то
mR
0
2
1
mR
,
1
4
77
2
, а
/4mm
01
.
Момент инерции также аддитивен. Поэтому момент инерции боль-
J
J
J
J
J
R
шого диска складывается из момента инерции маятника и момента
инерции малого диска
01
, но аддитивность момента инерции
JJ
сложнее, чем аддитивность массы. Если масса – это свойство, присущее
телу, то момент инерции определяется не только свойствами тела (массой, формой и размерами), но и положением оси.
Поэтому моменты инерции тел, составляющих систему, должны
быть пересчитаны относительно одной (общей) оси. Это позволяет сделать теорема Штейнера,
которая гласит, что момент инерции твердого
тела относительно произвольной оси есть сумма момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс,
и произведения массы и квадрата расстояния между осями.
2
Jma
c
.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр
масс, равен
2
/2JmR . Центр масс большого диска смещен относи-
тельно точки O на R, а малого – на R/2. Тогда момент инерции большого
диска относительно оси маятника равен
13
22 2
mR mR mR
00 0 0
22
,
а малого –
22
13
RR
mm mR
11 1 1
24 48
2
.
Рассчитаем отношение массы и момента инерции физического ма-
ятника. Так как момент инерции физического маятника
а его масса
mm m
m
33
J
28
, то
01
mm mm
01 01
22
mR mR
01
8( / 1)
22
3(4 / 1)15
78
8
mm R
01
.
JJ
,
01
Остается определить последний неизвестный параметр – расстояние
R
от центра масс маятника до точки подвеса, обозначенной как О.
Радиус-вектор центра масс твердого тела определяет интеграл по
объему тела
rrrdV
c
m
1
()
.
Однако прямое вычисление интеграла в нашем случае – не самая
простая задача.
Весьма полезными при расчете центра масс являются следующие
утверждения: если тело имеет центр симметрии, то центр масс расположен в центре симметрии; если тело имеет ось симметрии, то центр масс
расположен на этой оси; если имеется система тел, то
нужно найти
центр масс каждого тела, поместить в найденные центры масс материальные точки с массами, равными массам соответствующих тел, а потом
найти центр масс системы материальных точек.
Воспользуемся последним утверждением. Заменим большой и малый диски материальными точками, расположенными в их центрах.
Центр масс системы материальных точек – это воображаемая точка
, по-
ложение которой определяется выражением
N
mr
i
r
c
i
1
i
.
m
Масса маятника
mm m
, что можно трактовать следующим об-
01
разом: система состоит из двух материальных точек, при этом масса одной из них отрицательная. Разумеется, это всего лишь математический
прием.
Центр масс всей конструкции расположен на оси симметрии, поэтому для расчета достаточно одной координатной оси. Начало координат разместим в центре большого диска,
а ось x направим к точке O.
Тогда
0/2
mmR
01
x
c
mm mm
01 01
11
/124126
79
RR
.
Знак «минус» говорит о том, что центр масс конструкции смещен
R
вниз по отношению к центру масс большого диска.
Рассмотрим еще один способ нахождения центра масс. Обратимся
к понятию центра тяжести. Центром тяжести называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. В однородном поле силы
тяжести центр масс и центр
тяжести совпадают.
Развернем конструкцию на 90°
и
массой
m
0
на невесомом стержне. Расстояние между материаль-
m
1
ными точками R/2. Слева от материальной точки с массой m
и закрепим две материальные точки
на рассто-
0
янии x поместим опору. Если суммарный момент сил, действующих на
стержень, равен нулю, то стержень находится в равновесии.
Сила тяжести, приложенная к материальной точке с массой
,m
0
направлена вертикально вниз, как показано на рис. 53, а приложенная
к материальной точке с массой
– вверх. Ведь ее масса отрицательна.
m
1
Рис. 53
Рассчитаем моменты, умножая силу тяжести на соответствующее
плечо. Тогда условие равновесия будет иметь вид
01
(/2)0mgx mg x R
.
Решая уравнение, получаем, что
mR
x
1
2( ) 2( / 1) 2(4 1) 6
mm mm
01 01
RR
.
Разумеется, результат совпал с полученным ранее.
Расстояние от центра масс физического маятника до оси слагается из
найденного расстояния x и радиуса большого диска
80
7/6LxR R .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]