Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Колебания и волны. Учебное пособие-1
.pdf
Первоначально рассмотрим движение одного маятника. Для этого
M
M
J
M
удалим пружину и отклоним маятник на малый угол
. Под действием
момента силы тяжести он начнет двигаться. Это движение будет вращательным.
Запишем момент силы тяжести
mgl mgl
уравнение динамики вращательного движения
sin
J
и основное
. Объединив эти
выражения, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний
2
где
2
0
mgl
.
Рис. 28
0
0
,
Вернем пружину на место и отклоним левый мятник на угол
а правый – на угол
. Пусть для определенности
2
, что отвечает
21
1
растянутой пружине.
Предыдущий анализ остается в силе, но теперь на маятники дей-
ствует еще и момент упругой силы пружины. Величина этого момента
,
а растяжение пружины
kxr
sin sin ( ).xr r r
2121
Угол в этой постановке отсчитывается от вертикали против часовой
стрелки, возвращающая сила направлена противоположно. Упругие
41
,
силы обозначены стрелками вдоль пружины. Добавим в основное урав-
J
J
нение динамики вращательного движения момент упругих сил с учетом
их направления.
Тогда для левого и правого маятника будем иметь
mgl k r
1121
mgl k r
2221
(),
().
2
2
Если предположить, что
, то пружина сжата, но вид уравне-
12
ния получится прежним (проделайте этот вывод самостоятельно).
Обозначим
22
/kr J , тогда дифференциальные уравнения, опи-
сывающие совместное движение маятников, сведутся к виду
22
101 21
22
202 21
()0,
()0.
Очевидным образом построенные уравнения отличаются от дифференциальных уравнений гармонических колебаний, а следовательно,
они описывают более сложные режимы движения.
Сложим первое уравнение со вторым, а затем из второго вычтем
первое. Определив новые переменные
112
и
221
, по-
лучим
2
111
0
,
,
10
2
222
0
,
20
22
2
.
Введенные переменные называются нормальными координатами,
в этих координатах колебательная система совершает гармонические
(нормальные) колебания. Нормальные координаты играют роль ортонормированного базиса. Любые колебания в системе являются линейными суперпозициями нормальных колебаний:
cosAt
11 1
,
cosAt
22 2
.
В общем случае колебания являются негармоническими. Однако
в нескольких частных случаях, которые определяются начальными
условиями, в системе возникнут простейшие колебательные движения –
гармонические колебания.
42
Синфазные колебания
Пусть
(0) (0)
120
угол в одну сторону. Тогда
. Оба маятника отведены на одинаковый
(0) 0A
22
щаясь к исходным координатам, поскольку
, а
02A
110
. Возвра-
2
112
,
2
212
,
получаем, что
() () costt t
1200
.
Маятники колеблются по гармоническому закону на собственной
частоте. Углы, на которые отклонены маятники, остаются одинаковыми в любой момент. Поэтому такие колебания называются синфазными. Пружина не работает, не оказывает никакого влияния на движение.
Противофазные колебания
Пусть
(0) (0)
120
угол в разные стороны. Тогда
. Маятники разведены на одинаковый
(0) 0A
11
, а
(0) 2A
220
. Воз-
вращаясь к исходным координатам, получаем
() costt
102
,
() costt
202
Маятники совершают гармонические колебания на частоте
большей, чем собственная частота. Фазы колебаний сдвинуты на
.
2
, та-
кие колебания называются противофазными.
Биения
Оставив левый маятник в положении равновесия, правый отклоним
против часовой стрелки. Начальные условия запишутся следующим образом:
,
Тогда
1
(0) A
220
, а
110
(0) 0
,
(0)
20
(0) A
43
.
.
Возвращаясь к исходным координатам, получаем, что колебания
каждого маятника будут линейной суперпозицией двух гармонических
колебаний:
() (cos cos )
112
212
0
ttt
,
2
() (cos cos )
0
ttt
.
2
Воспользовавшись тригонометрическими соотношениями, преобразуем этот результат к виду
() sin sin
ttt
10
() cos cos
ttt
20
12 21
22
12 21
22
,
.
В случае слабой связи между маятниками, когда
0
, будем
иметь
22 22
20 0 0
21 0
2
,
2
21 0
b
,
22
.
Колебания маятников примут вид гармонических (на собственной
частоте) с медленно меняющейся амплитудой:
() ()sin( )
tAt t
10
20
l
() ()cos( )
tAt t
r
,
() sin( /2)
At t
lb
,
At t
rb
0
() cos( /2)
0
.
.
Графики колебаний правого и левого маятников приведены на рис. 29.
Можно сказать, что колебания на основной частоте модулированы медленно меняющейся гармонической функцией. Такие колебания не что
иное, как известные нам биения.
44
Рис. 29
В начальный момент вся энергия системы была сосредоточена в правом маятнике. С течением времени посредством связи через пружину
энергия постепенно перейдет к левому маятнику, а правый остановится.
Затем процесс передачи энергии повторится в обратном направлении.
15. НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Рассмотрим уже известный нам математический маятник, отбросив
предположение о том, что угол, на который отклоняется маятник, мал.
В конструкцию маятника внесем изменения, вместо нити используем
невесомый стержень. Такое изменение позволит отклонять маятник на
углы, превышающие 90 градусов.
На отклоненную от положения равновесия на угол
точку (рис. 30), действует возвращающая сила
ствием которой она приобретает угловую скорость
Vl
, а тангенциальное ускорение
aVl
.
материальную
, под дей-
sinPmg
. Скорость точки
45
Тогда, записав второй закон Ньютона
g
sinml mg
и определив собственную частоту малых колебаний
2
/gl
0
,
получим дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника:
2
sin 0
0
Рис. 30
.
Отличие полученного уравнения от уравнения линейных гармонических колебаний в том, что оно нелинейно.
Решение нелинейного уравнения можно построить, используя специальные функции, но это выходит за рамки данного курса. Приведем
лишь выражение для периода колебаний маятника. Если
()Kk
– пол-
ный эллиптический интеграл Лежандра первого рода, то период колебаний маятника определяется следующим образом:
2
где
T
T
0
– период собственных малых колебаний, а
T
0
()
Kk
,
k
sin
0
,
2
T
0
l
2
,
– угол, на который
0
отклонили маятник.
46
Полный эллиптический интеграл первого рода можно представить
в виде степенного ряда:
2!
n
n
n
2
2
n
,
()
Kk k
2
22
2!
0
n
Первые четыре члена этого ряда позволяют рассчитать период в диапазоне углов
T
T
0
0/2
0
222
11315
1 sin sin sin ...
22242282
с точностью до 1 %:
246
000
Период колебаний нелинейного маятника всегда превышает период
малых колебаний.
Рассчитанная зависимость периода колебаний от амплитуды маятника показана на рис. 31.
Рис. 31
Линейный гармонический осциллятор обладает важным свойством
изохронности, независимости периода собственных колебаний от амплитуды этих колебаний. Обнаружив эту важную особенность, Галилей
предложил использовать маятник для измерения времени. Рис. 31 свидетельствует, что нелинейный осциллятор утрачивает изохронность.
47
Зависимость
сильно нелинейная. В области малых амплитуд
()T
0
построенная кривая становится пологой и выходит на значение, соответствующее малым колебаниям.
Зависимость положения маятника от времени показана на рис. 32
и 33. Маятник, собственная частота колебаний которого
0
1
1 c
последовательно отклоняется на 10°, 60° и 80°. В целом движение
предоставленного самому себе маятника представляет собой колебания.
Неизохронность колебаний явно отражается на рисунке, а вот их ангармоничность не так наглядно выражена, хотя периодические функции,
показанные на рисунке, не являются гармоническими.
Рис. 32
,
Рис. 33
Визуально это становится заметно при увеличении амплитуды колебаний (рис. 33).
48
16. ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ
x
Построение решения дифференциального уравнения колебаний не
является завершающим этапом исследования. Анализ решения часто
оказывается не самым простым делом. Важнейшим инструментом такого анализа служат фазовые диаграммы (портреты), содержащие информацию о поведении системы в целом. Нередко фазовую диаграмму
можно построить, не решая дифференциальное уравнение.
Пусть две переменные, назовем их фазовыми координатами
значно определяют состояние системы. Тогда фазовая плоскость – координатная плоскость, в которой по осям отложены фазовые координаты. Каждая точка фазовой плоскости отражает одно-единственное состояние системы. Если система претерпевает изменения, то точка на фазовой плоскости движется, оставляя след, который называется фазовой
траекторией. Совокупность фазовых траекторий – фазовая
дает представление обо всех возможных состояниях системы и типах
движений в ней.
В случае механических колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается координата, а на оси ординат – первая производная
от координаты по времени, по сути – скорость или импульс.
Фазовые траектории линейного осциллятора
Пусть линейный осциллятор совершает колебания по уравнению
() sin( )
tA t
, тогда его скорость
0
() cos( )Vt A t
00
. Запишем для
осциллятора закон сохранения полной механической энергии
, одно-
диаграмма –
2
mV
22
mx mA
00
.
22 2
Разделив это уравнение на правую часть, получаем, что фазовая траектория представляет собой уравнение эллипса (рис. 34):
2
Vx
AA
0
2
1
.
Маятник движется, не покидая ограниченную часть пространства,
такое движение называется финитным. При этом площадь, ограниченная
49
фазовой траекторией, пропорциональна полной механической энергии
x
x
осциллятора.
Рис. 34
Фазовые траектории диссипирующего осциллятора
Рассмотрим затухающие колебания. Зависимость смещения маятника от времени определяется выражением
t
() sin( )
tAe t
222
,
0
.
Тогда для скорости получим
t
() cos( ) sin( )
Vt Ae t t
.
Фазовая траектория, показанная на рис. 35, превратилась из эллипса
в скручивающуюся спираль. Траектория иллюстрирует следующее:
энергия маятника диссипирует, и он, постепенно замедляясь, останавливается.
В критическом режиме, при
, маятник возвращается к равно-
0
весному положению асимптотически, не совершая колебаний. Фазовые
координаты в этом случае можно записать в виде
t
() (1 )
tA te
()
Vt A te
, а
2
t
.
Фазовая траектория показана на рис. 36.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]