Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Кодирование информации и системы счисления. Учебное пособие
.pdf
71
Примечание. Конечной десятичной дроби может соответ-
ствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной
системе счисления. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.
Ответ: 0,36
10
= 0,010112.
2. Для перевода десятичного числа в восьмеричную си-
стему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор,
пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число
в восьмеричной системе записывается как последовательность
последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример 1. Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления (рис. 4.5, табл. 4.5).
Рис. 4.5. Перевод десятичного числа в восьмеричную систему
Таблица 4.5
Перевод числа из десятичной системы счисления
в восьмеричную
Делимое
Делитель
Остаток
571 8 3
71 8 7
8 8 0
1 8 1
0
Ответ: 571
10
= 10738.
72
Пример 2. Перевести число 0,3610 в восьмеричную систему счисления (табл. 4.6).
Таблица 4.6
Перевод числа из десятичной системы счисления
в восьмеричную
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
36
8
2
88 8 7
04 8 0
32
Ответ: 0,36
10
= 0,2708.
3. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную
систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех
пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число
в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления
в обратном порядке.
Пример 1. Число 746710 перевести в шестнадцатеричную
систему счисления (рис. 4.6, табл. 4.7).
Рис. 4.6. Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему
73
Таблица 4.7
Перевод числа из десятичной системы счисления
в шестнадцатеричную
Делимое
Делитель
Остаток
4767
16
11 B
466
16
2
29
16
13 D 1 16
1
0
Ответ: 4767
10
= 1D2B16.
Пример 2. Перевести число 0,3610 в шестнадцатеричную
систему счисления (табл. 4.8).
Таблица 4.8
Перевод числа из десятичной системы счисления
в шестнадцатеричную
Целая часть
Дробная часть
Множитель
0
36
16 5 76
16
12 С
16
Ответ: 0,36
10
= 0,5С16.
4.3.2. Метод преобразования
с использованием весов разрядов
Метод преобразования с использованием весов разрядов
записи числа в исходной и в искомой системах предполагает
применение расширенной записи числа по формуле (4.1) в некоторой системе счисления.
Метод имеет две разновидности в зависимости от того,
какая система счисления (исходная или искомая) является более
привычной. Если более привычной является искомая система, то
74
на основании расширенной записи исходного числа подсчитываются значения ее отдельных разрядов в новой системе счисления. Далее полученные значения суммируются.
Например, при преобразовании целого двоичного числа
110011010 в десятичную систему счисления, исходное число
представляется в расширенной записи:
N = 28 + 27 + 24 + 23 + 21
и рассчитывается вес отдельных (ненулевых) двоичных разрядов в десятичной системе счисления: 256, 128, 16, 8, 2.
Затем искомая запись числа определяется как сумма весов
всех ненулевых разрядов записи числа в заданной системе счисления:
256 + 128 + 16 + 8 + 2 = 410.
При преобразовании правильных дробей в принципе используется тот же подход, но при расчете весов отдельных разрядов берутся отрицательные степени основания счисления.
Таким образом, для перевода числа из любой системы
счисления в десятичную его необходимо записать в виде многочлена (4.1) с соответствующим основанием и вычислить по правилам десятичной арифметики.
Рассмотрим примеры перевода чисел из различных позиционных систем счисления в десятичную систему.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходи-
мо записать его в виде многочлена (4.1), состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики.
Пример 1. Перевести число 10101112 в десятичную систему счисления:
Разряд 6 5 4 3 2 1 0.
Число 10101112 = 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 +
+ 1 · 21 + 1 · 20 = 64 + 16 + 4 + 2 + 1.
Ответ: 10101112 = 8710.
75
Пример 2. Перевести число 1011,12 в десятичную систему
счисления:
Разряды 3 2 1 0 –1.
Число 1011,12 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 + 1 · 2–1 =
= 8 + 2 + 1 + 0,5.
Ответ: 1011,12 = 11,510.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необ-
ходимо записать его в виде многочлена (4.1), состоящего из
произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8,
и вычислить по правилам десятичной арифметики.
Пример 1. Перевести число 750138 в десятичную систему
счисления:
Разряды 4 3 2 1 0.
Число 750138 = 7 · 84 + 5 · 83 + 0 · 82 + 1 · 81 + 3 · 80 =
= 28672 + 2560 + 8 + 3.
Ответ: 750138 = 3124310.
Пример 2. Перевести число 276,58 в десятичную систему
счисления:
Разряды 2 1 0 –1.
Число 276,58 = 2 · 82 + 7 · 81 + 6 · 80 + 5 · 8
–1
=
= 128 + 56 + 6 + 0,625.
Ответ: 276,58 = 190,62510.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное
его необходимо записать в виде многочлена (4.1), состоящего из
произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16,
и вычислить по правилам десятичной арифметики.
76
Пример 1. Перевести число FDA116 в десятичную систему
счисления:
Разряды 3 2 1 0.
Число FDA116 = 15 · 163 + 13 · 162 + 10 · 161 +
+ 1 · 160 = 61 440 + 3328 + 160 + 1.
Ответ: FDA1
16
= 64 92910.
Пример 2. Перевести число 0,А416 в десятичную систему
счисления:
Разряды 0 –1 –2.
Число 0,А4
16
= 0 · 161 + 10 · 16–1 + 4 · 16
–2
=
= 10 / 16 + 4 / 256 = 41 / 64.
Ответ: 0,А416 = 41 / 6410.
4. Для перевода числа из произвольной системы счисле-
ния в десятичную систему необходимо записать его в виде многочлена (4.1), состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени основания, и вычислить по правилам десятичной арифметики.
Пример. Перевести число 1023 в десятичную систему
счисления:
Разряды 2 1 0.
Число 1023 = 1 · 32 + 0 · 31 + 2 · 30 = 2 + 9.
Ответ: 1023 = 1110.
4.3.3. Метод с использованием особого соотношения
оснований заданной и искомой систем счисления
Данный метод применим в тех случаях, когда основания
систем счисления могут быть связаны через целую степень, т. е.
когда выполняются условия: q
1
m
= q2 (условие 1) или q
2
m
= q1
77
(условие 2), где q1 — исходное (заданное) основание системы
счисления, q2 — искомое (новое) основание.
Если имеет место условие 2, то для заданного в системе
с основанием q1 числа его запись в системе с новым основанием
q2 определяется следующим образом:
– каждому разряду ai исходной записи числа ставится
в соответствие его m-разрядный эквивалент в системе счисления
с основанием q2;
– искомая запись всего заданного числа формируется за
счет объединения всех полученных m-разрядных групп.
Если имеет место условие 1, то запись заданного числа
в системе с новым основанием q2 формируется следующим образом:
– исходная запись числа разбивается на группы по m раз-
рядов, двигаясь от точки вправо и влево (недостающие разряды
в крайних группах (слева и справа) дополняются нулями);
– каждой полученной группе ставится в соответствие
цифра новой системы счисления;
– искомая запись заданного числа в новой системе счис-
ления образуется из цифр, соответствующих группам, на которые была разбита исходная запись.
Рассмотрим несколько примеров с использованием особого
соотношения оснований заданной и искомой систем счисления.
1. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьме-
ричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр). Разбивка
выполняется вправо и влево от разделителя целой и дробной
части. Неполные крайние триады дописываются нулями. Каждую триаду заменяют соответствующей восьмеричной цифрой
из табл. 4.2.
Пример 1: 100000111012 = 010 000 011 101 = 20358.
Пример 2: 10101001,101112 = 10 101 001, 101 110 = 251,568.
2. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестна-
дцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр)
вправо и влево от разделителя целой и дробной части и каждую
тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой
из табл. 4.2.
Пример 1: 100000111012 = 0100 0001 1101 = 41D16.
Пример 2: 10101001,101112 = 1010 1001, 1011 1000 = А9,В816.
78
3. Для перевода восьмеричного числа в двоичное каждую
цифру восьмеричного числа необходимо заменить на эквивалентную ей триаду двоичных цифр из табл. 4.2.
Пример 1: 25418 = 010 101 100 0012 = 0101011000012.
Пример 2: 537,18 = 101 011 111, 0012 = 101011111,0012.
4. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное
каждую цифру шестнадцатеричного числа необходимо заменить
эквивалентной ей двоичной тетрадой из табл. 4.2.
Пример: 1А3
16
= 1 1010 00112 = 1101000112.
5. При переходе из восьмеричной системы счисления
в шестнадцатеричную и обратно необходим промежуточный
перевод чисел в двоичную систему.
Пример 1: FEA
16
=1111 1110 10102 = 111 111 101 0102 = 77528.
Пример 2: 66358 = 110 110 011 1012 = 1101 1001 11012 =
= D9D16.
Пример 3:
A2C,316 = 1010 0010 1100, 00112 = 101 000 101 100, 001 1002 =
= 5054,148.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
1. Перевести числа из десятичной системы счисления
в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверить результаты, выполнив обратные переводы:
а) 125
10
;
б) 229
10
;
в) 88
10
;
г) 57,3
10
;
д) 235,7
10
.
2. Перевести числа в десятичную систему, а затем прове-
рить результаты, выполнив обратные переводы:
а) 1011011
2
;
б) 10110111
2
;
в) 110100,11
2
;
г) 568;
д) 517
8
;
е) 123,418;
ж) 4В
16
;
з) 1010
16
;
и) 304
5
.
79
3. Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную и вось-
меричную систему счисления:
а) 2СЕ
16
;
б) 9F40
16
;
в) ABCDE16.
4. Расположить следующие числа в порядке возрастания:
а) 74
8
, 1100102, 7010, 3816;
б) 6Е
16
, 1428, 11010012, 10010;
в) 777
8
, 1011111112, 2FF16, 50010.
5. Поставьте соответствующий знак сравнения между дву-
мя числами: 33
8
и 1110012.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что называется системой счисления?
2. На какие виды можно разделить все системы счисления?
3. Какие системы счисления называются непозиционны-
ми? Приведите пример непозиционной системы счисления и правила записи чисел в ней.
4. Какие системы счисления называются позиционными?
Приведите пример позиционной системы счисления.
5. Как изображается число в позиционной системе счисления? Что называют основанием системы счисления?
6. Опишите правила записи чисел в десятичной системе
счисления. Как изменяется вес символа в записи числа в зависимости от занимаемой позиции?
7. Какие системы счисления применяются в компьютере
для представления информации?
8. Охарактеризуйте двоичную систему счисления: алфавит, основание системы счисления, запись чисел.
9. Почему двоичная система счисления используется в информатике?
10. Дайте характеристику восьмеричной системе счисления: алфавит, основание, запись чисел. Приведите примеры записи чисел.
80
11. Дайте характеристику шестнадцатеричной системе
счисления: алфавит, основание, запись чисел. Приведите примеры записи чисел.
12. Назовите три метода преобразования чисел из одной
позиционной системы счисления в другую.
13. Сформулируйте правила перевода чисел из системы
счисления с основанием р в десятичную систему счисления.
14. Сформулируйте правило перевода чисел из десятичной
системы счисления в систему счисления с основанием s. Приведите примеры.
15. Как выполнить перевод чисел из двоичной системы
счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно, используя особое соотношение между основаниями систем? Приведите примеры.
16. По каким правилам выполняется перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот?
Приведите примеры.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]