Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Диагностика электромеханических систем транспортного комплекса. Контактная сеть. Учебное пособие
.pdf
работу объекта на интервале времени
1
[ , ].tt
1
[0, ]t
t
0
1
t
A
AB
B
1
[0, ].t
1
{}
( , ) { / }
{}
P AB
P t t P B A
PA
1
{ } ( )P AB P t
{ } ( )P A P t
1
1
()
( , )
()
Pt
P t tPt
1
[ , ],tt
1
11
( ) ( )
( , ) 1 ( , ) .
()
P t P t
Q t t P t t
Pt
1
t t t
0,t
( ) ( ) ( )
( , )
( ) ( )
P t P t t P t
Q t t t t
P t P t
()
()
Pt
Pt
()
()
()
Pt
t
Pt
объекта на интервале времени
может быть представлена графи-
Тогда безотказная работа
ческой зависимостью (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Время работы системы
АВ – событие, обозначающее безотказную работу объекта на ин-
тервале времени
ность
Искомая вероятность есть условная вероят-
,
Так как
, а
то
Вероятность отказа на интервале времени
Положив
и устремив
В последнем выражении отношение
тенсивность отказов
111
,
.
равна
получим
. (4.3)
есть не что иное, как ин-
. (4.4)
При малом Δt вероятность отказа запишется как
( , ) ( )Q t t t t t
0
()
( ) .
t
t dt
P t e
12
[ , ]tt
2
1
()
12
( , ) .
t
t
t dt
P t t e
0
N
0
N
( ) ( ) ( )
()
( ) ( )
P t P t P t t
t
P t tP t
*
0
0
( ) ( )
()
()
()
()
N t N t t
N
nt
t
Nt
tN t
t
N
.
Из этой формулы видно, что величина λ(t) является локальной характеристикой надежности, определяющей надежность объекта в каждый
данный момент времени. В терминах теории вероятности λ(t) – условная плотность вероятности отказов в момент t, определяемая при условии, что до этого момента отказ не возникал.
Разрешая уравнение (4.4) относительно Р(t), получаем
Из (4.5) вероятность безотказной работы на интервале
(4.5)
выража-
ется как
Статистическая оценка значения λ(t) может быть определена по
результатам испытаний. Пусть, как и ранее:
– количество объектов в начале испытаний;
N(t) и N(t + Δt) – соответственно количество объектов, не отка-
завших (работоспособных) к моменту t и к моменту t + Δt;
п = N(t) – N(t + Δt) – количество объектов, отказавших на интер-
вале времени [t, t + Δt], тогда при достаточно малом Δt и достаточно
большом
с учетом выражения (4.3) получим
,
или
.
112
Таким образом, статистически интенсивность отказов равна коли-
1
t
2 3
()
t
P t e
()
()Qttt
честву отказов, произошедших за единицу времени, отнесенному к
числу не отказавших к данному моменту объектов.
Типичное изменение интенсивности отказов во времени показано
на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Типичное изменение интенсив-
ности отказов
На кривой зависимости можно выделить три характерных участка:
участок 1 – интенсивность резко уменьшается. Высокая интен-
сивность в начале кривой объясняется наличием элементов, имеющих
внутренние дефекты, ошибки производства и т. д. Участок 1 называется периодом приработки. Этот участок может и отсутствовать, что
имеет место в случае, когда на заводе-изготовителе производится приработка оборудования в процессе её испытания;
участок 2 – интенсивность отказов практически постоянна. Этот
участок характеризует нормальную работу и несоизмеримо длинней,
чем участок приработки;
участок 3 – характеризуется резким ростом интенсивности отка-
зов, что объясняется износом элементов. Обычно оборудование не
эксплуатируют до состояния износа, его либо ремонтируют, либо прекращают эксплуатацию.
Очень часто пользуются приближенными, но более простыми выражениями для определения интенсивности отказа.
При постоянном значении λ вероятность безотказной работы будет
и
113
.
Средняя наработка до отказа – математическое ожидание нара-
0
()T tf t dt
()ft
0
()
0
t
t dt
T e dt
0
N
0
1
0
N
i
i
t
T
N
i
t
0
N
ботки объекта до первого отказа.
Математическое ожидание неотрицательной случайной величины t
определяется как
,
где
– плотность распределения.
Вычислять Т через интенсивность отказов следует так:
.
Статистическая оценка средней наработки до отказа зависит от так
называемого плана испытаний и закона распределения наработки до
отказа. В простейшем случае, когда на испытание поставлено
объ-
ектов и испытание прекратилось, когда отказали все объекты, оценка
средней наработки до отказа определяется по формуле
,
где
– наработка до отказа i-го объекта, i = 1, 2...,
.
Рассмотренные количественные показатели безотказной работы
объекта позволяют рассчитывать другие.
Теоретические исследования по отказам различного оборудования выявили закономерности, с которыми они возникают. Одна из
таких закономерностей подчиняется закону нормального распределения.
Закон нормального распределения является основным в математической статистике. Он формируется тогда, когда на протяжении исследуемого процесса на его результат влияет сравнительно большое
число независимых факторов, каждый из которых в отдельности оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным
114
влияниям всех остальных. Плотность распределения этого закона вы-
2
2
1 ( )
( ) exp
2
2
tt
ft
()
n
i
i
t
t M t
n
()Mt
P t( )
f t( )
t t
t
min
t
max
t
–
t
i
3 3
t
min
0
0,5
R t( )
t
0,5
0
t
i
R t( )
i
2
2
1
()
()
1
n
i
tt
i
Dt
n
, ( )t D t
ражается соотношениями
и
где
– математическое ожидание.
Графики нормального распределения показаны на рис. 4.5.
а б
в
Рис. 4.5. Кривые нормального распределения:
а – плотность распределения; б – функция распределения (вероятность
отказа); в – функция надёжности (вероятность безотказной работы)
,
Среднеквадратичное отклонение для данного закона выражается
так:
где
,
– соответственно среднее значение и дисперсия исследуе-
мой величины.
115
Функция распределения (вероятность отказа) данного закона имеет
2
2
1 ( )
( ) exp
2
2
t
tt
P t dt
( ) 1 ( )R t P t
t
t
f t( )
R t( )
0,5
1,0
1,0
2,0
= 0,5
1,0
2,0
= 0,5
t
( )t
= 0,5
3,0
2,0
1,0
вид
.
Функция надёжности (вероятность безотказной работы) противоположна функции распределения:
.
Основные характеристики нормального распределения при разных
значениях среднеквадратичного отклонения приведены на рис. 4.6.
а б
Рис. 4.6. Основные характеристики нормального распределения
при разных значениях среднеквадратического отклонения:
а – плотность вероятности f(t); б – вероятность безотказной работы R(t);
Нормальному распределению подчиняется наработка до отказа
многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий.
в
в – интенсивность отказов λ(t)
116
Следующая закономерность подчиняется закону экспоненци-
f t( )
R t( )
tt
0,1
( )t
t
= const
ального распределения, также нашедшему широкое применение,
особенно в технике. Основной отличительной чертой этого закона
является то, что вероятность безотказной работы не зависит от
того, сколько времени проработало изделие с начала эксплуатации.
Закон не учитывает постепенного изменения параметров технического состояния, а рассматривает так называемые «нестареющие» элементы и их отказы. Как правило, этот закон описывает надёжность
работы изделия в период его нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы ещё не проявляются и надёжность характеризуется
только внезапными отказами.
Эти отказы вызываются неблагоприятным сочетанием различных
факторов и поэтому имеют постоянную интенсивность λ. Экспоненциальное распределение часто называют основным законом надёжности (рис. 4.7).
а б
в
Рис. 4.7. Кривые экспоненциального распределения:
а – плотность распределения; б – вероятность безотказной работы;
в – интенсивность отказов
117
Вероятность безотказной работы этого закона определяется выра-
0
()
t
dt
t
R t e e
0,1
( ) 1P t t
()
()
t
dR t
f t e
dt
( ) 1 ( ) 1
t
P t R t e
( , )t
жением
.
Если
, то формула вероятности безотказной работы упрощается
и принимает вид
.
Плотность распределения описывается соотношением
.
Функция распределения вероятности отказа выражается зависимостью
.
Экспоненциальный закон распределения наиболее часто применяется:
при описании внезапных отказов;
описании времени безотказной работы разнообразных изделий, в
том числе сложных технических систем, эксплуатируемых в период
после приработки и до проявления постепенных отказов.
В технике используется и логарифмически нормальный закон
распределения (рис. 4.8) в тех случаях, когда на протекание исследу-
емого процесса и его результат влияет сравнительно большое число
случайных и взаимно независимых факторов, интенсивность действия
которых, в свою очередь, зависит от достигнутого случайной величиной состояния.
Логарифмически нормальное распределение является двухпараметрическим
распределением случайной величины, логарифм
которой распределен по нормальному закону. Оно несколько точнее,
чем нормальное.
118
R t( )
f t( )
t
t
2
4
6
2 4 6
2
4
6
8
= 0,1; = 0 a
= 0,5; = 1 a
= 0,1; = 0 a
= 0,5; = 0 a
= 1; = 0 a
= 0,5; = 0 a
= 0,5; = 0 a
= 0,1; = 0 a
а б
2
2
1 (ln )
exp
при 0;
2
2
()
при 0.
0
ta
t
t
ft
t
1
ln
N
i
i
t
at
N
i
t
2
1
1
(ln )
1
N
i
i
tt
N
2
2
0
1 (ln )
( ) exp
2
2
t
ta
P t dt
Рис. 4.8. Кривые логарифмически нормального распределения
при различных параметрах а и σ:
а – плотность вероятности f(t); б – вероятность безотказной работы R(t)
Плотность распределения описывается зависимостью
Параметры а и σ оценивают по результатам испытаний с помощью
формул:
,
где
– наработка до отказа i-го изделия;
N – количество изделий, поставленных на испытания;
Функция распределения вероятности отказа имеет вид
119
.
.
Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение
2
2
()
a
M t e
22
( ) exp(2 )exp( 1)ta
1
( ) exp[ ]
aa
f t a t t
( ) 1 exp[ ]
a
P t t
наработки до отказа соответственно равны:
;
.
В теории надежности такое распределение используют для описания:
наработки до отказа деталей в период наступления усталости
материала;
процессов восстановления;
наработки между отказами сложных технических систем.
При эксплуатации машин этот закон используется при описании
процессов усталостных разрушений, коррозии, наработки до ослабления предварительной затяжки крепёжных соединений и в ряде других
случаев.
Распределение Вейбулла проявляется в модели так называемого «слабого звена». Если система состоит из группы независимых
элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы, то вероятность его безотказной работы определяется законом
Вейбулла.
Распределение Вейбулла универсально, так как при изменении параметров оно в пределе может описывать практически любые процессы: нормального распределения, логарифмически нормального, экспоненциального и др.
Плотность распределения выражается зависимостью вида
,
где а – параметр формы кривой распределения;
λ – параметр масштаба.
Экспоненциальное распределение есть частный случай распределения Вейбулла при а = 1. Функция распределения описывается соотношением
.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]