Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электричество и магнетизм. Учебное пособие
.pdf
Если поле однородно, т. е. во всем пространстве
x
x
x
x
(2.6) получаем формулу для расчета напряженности:
constE
, то из
где φ
U – электрическое напряжение – другое название разности
потенциалов φ .
Дифференциальная связь напряженности с потенциалом
При бесконечно малом перемещении из формулы (2.6) получаем
изменение потенциала
φ ().
Запишем выражение (2.8) как дифференциал функции
Выражения (2.8) и (2.9) должны совпадать при любом направлении
и величине
нентах вектора
циальную связь напряженности с потенциалом
d Edl E dl E dl E dl
φφφ
φddxdydz
xyz
φφφ
. Это возможно, только если коэффициенты при компо-
dl
в (2.8) и (2.9) равны. Отсюда получаем дифферен-
dl
dl dl dl
xyz
φ ,UEl
xyyzz
(2.7)
(2.8)
,,
φ ():
.
yz
:
(2.9)
yz
Как известно, градиентом функции
Таким образом, вектор напряженности электрического поля равен
EEE
grad φ ,, .i
φφφ
xyz
;;.
φφφ φ φ φ
xyz x
yz
называется вектор
φ
gradφ.E
31
(2.11)
(2.10)
jk
yz
Геометрическая связь силовых линий и эквипотенциалей
E
Точки пространства с одинаковым значением потенциала образуют
поверхности, называемые
две эквипотенциальные поверхности
эквипотенциальными. На рис. 2.2 показаны
и
φ
φ .φ
1
21
Определим направ-
ление вектора градиента относительно
этих эквипотенциалей. Рассмотрим
бесконечно малое перемещение
dl
вдоль эквипотенциальной поверхности
φ
, при таком движении φ 0.
участок поверхности можно считать
плоским, вектор
dl
d Малый
лежит в этой плос-
кости.
Равенство нулю скалярного произ-
Рис. 2.2
ведения (2.8), (2.9) означает, что векто-
ры-сомножители ортогональны. Следовательно, вектор градиента ортогонален эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке
и направлен в сторону большего потенциала (gradient означает
«уклон»). Отсюда получаем
геометрическую связь: силовые линии
электростатического поля ортогональны эквипотенциальным поверхностям в каждой точке и направлены в сторону уменьшения потенциала.
Проводники в электростатическом поле
В проводнике имеются свободные носители заряда, которые могут
двигаться под действием электрического поля. Опытным путем Георг
Ом обнаружил, что электрический ток
пропорционален разности потенциалов
I через длинный проводник
на концах проводника.
U
Ток (поток заряда) пропорционален средней скорости дрейфа элементарных носителей заряда, поэтому закон Ома может быть переформулирован как локальный: скорость дрейфа зарядов
в данной
V
др
точке проводника пропорциональна локальной напряженности электрического поля
. Отсюда следует, что электростатике, т. е. неподвижным зарядам, соответствует нулевое поле в проводнике: нет движения зарядов
нет поля. В свою очередь, из формулы (2.6) следует,
что при этом потенциал проводника постоянен:
0 0 φ 0 φ const.VE
др
32
(2.12)
С выражением (2.12) связана и нулевая объемная плотность заряда
E
в объеме проводника. Если внутренней области проводника сообщить
заряд
Q (в штриховом кружке 1 на рис. 2.3), то составляющие этот
заряд одноименные элементарные подвижные заряды, взаимно отталкиваясь, так распределятся по поверхности проводника, что поле в его
объеме будет равно нулю, – это самосогласованное стационарное распределение зарядов и поля.
2
E
E
0E
φ = const
1
Q
+
Рис. 2.3
Если проводник поместить во внешнее электрическое поле, то подвижные носители заряда в проводнике перераспределятся по его поверхности так, чтобы по-прежнему внутри проводника поле было равно нулю.
Появление поверхностных зарядов (индуцированных, т. е. наведенных внешним полем) приводит к тому, что силовые линии электростатического поля вне проводника
в каждой ее точке. Предположим, что вблизи проводника вектор
напряженности
не ортогонален поверхности (в штриховом кружке 2
на рис. 2.3). Тогда под действием касательной (тангенциальной) компоненты поля
подвижные заряды будут перераспределяться по по-
E
τ
верхности до тех пор, пока не скомпенсируют своим полем эту тангенциальную компоненту.
ортогональны его поверхности
Экспериментальная установка и метод измерений
Вид установки сверху показан на рис. 2.4. В ванну 1 с электролитом
(водопроводной водой) помещают проводники
33
2 различной формы –
пластины, диски, стержни. Электрическое напряжение источника
x
подается либо на эти проводники, либо на боковые электроды ванны
В электролит погружают измерительные электроды (зонды)
4
V
4
1
4.
U
0
3.
y
3
U
0
Рис. 2.4
Обратите внимание, что на рис. 2.4 эти зонды для лучшей видимости изображены параллельными дну ванны, тогда как в действительности их необходимо погружать в воду строго вертикально, т. е.
перпендикулярно дну ванны
Напряжение (разность потенциалов)
с помощью вольтметра
зонтальной плоскости ванна снабжена координатной сеткой.
В докомпьютерную эпоху метод электролитической ванны широко
использовался для моделирования не только электрических полей, но
и потоков воздуха, обтекающих крыло самолета, а также процессов
фильтрации жидкости в грунте (нефтедобыча, гидротехнические сооружения). Столь широкая область применения основана на
гидродинамической аналогии
и течение идеальной жидкости описываются одним дифференциальным уравнением Лапласа.
Единичное измерение представляет собой
ки, соответствующей определенному значению напряжения
три числа. Однако записывать координаты и значение
.
между зондами измеряется
U
. Для измерения координат зондов в гори-
V
: силовые линии электрического поля
2
3
электро-
,xy
– координаты точ-
,U
– всего
в традицион-
U
34
ную для лабораторных работ таблицу в данном случае нецелесообраз-
R
но, к тому же велика вероятность ошибочной записи в большом массиве чисел. Рациональнее сразу наносить точки на миллиметровую бумагу, помечая рядом значение
.U
Определение эквипотенциалей
В эксперименте требуется определить положение нескольких эквипотенциалей, обычно не менее пяти. Эквипотенциальные линии принято проводить так, чтобы между соседними линиями была одна и та
же разность потенциалов φ
Опишем способ выбора φ
дается на электроды
3 ванны. Измерительный зонд 4 присоединяем
к одному из электродов
.
, когда напряжение источника
по-
U
0
3. В этом случае второй измерительный зонд 4
является подвижным, его перемещают по всей ванне. Ставим этот подвижный зонд вблизи электрода ванны в пределах сетки, измеряем
напряжение
. Это будет напряжение, соответствующее начальной
U
1
эквипотенциали. Затем ставим подвижный зонд вблизи противоположного электрода ванны в пределах сетки, измеряем напряжение
U
2
конечной эквипотенциали. Между пятью эквипотенциалями имеется
четыре промежутка. Следовательно,
φ ()4.UU
21
(2.13)
Электрический ток в проводниках
В эксперименте проводники включаются в электрическую цепь, по
ним протекает ток, поэтому выводы, полученные выше в электростатическом приближении, строго говоря, не выполняются.
Сравним электрические напряжения, возникающие в воде и на металлическом проводнике. По закону Ома разность потенциалов
пропорциональна току
I и электрическому сопротивлению
U
прово-
дящего участка:
UIR
. (2.14)
В свою очередь, общее электрическое сопротивление проводящей
среды пропорционально ее удельному сопротивлению. Разность потенциалов
UU
в воде между краями ванны того же порядка, что
21
35
и напряжение источника
R
x
x
x
x
, примерно 10…15 В, т. е. вполне поддает-
U
0
ся измерению.
Удельное сопротивление стали на 5–6 порядков меньше, чем у воды. Поэтому разность потенциалов на металлическом проводнике будет 10–5…10–4 В. Такое напряжение невозможно обнаружить с помощью вольтметра с ценой деления 0,01 В. Поэтому металлические проводники в условиях эксперимента можно считать практически эквипотенциальными.
Напряжение измеряется с помощью вольтметра. На рис. 2.5 показана
эквивалентная схема электрической
цепи по описанному выше варианту,
когда один из измерительных щупов 4
(рис. 2.4) вольтметра подсоединен к
электроду ванны 3. Участки воды
R
подсоединяются к металличе-
Рис. 2.5
вательно, так и параллельно. Сопротивление вольтметра
вод
скому проводнику
как последо-
пр
подключа-
r
V
ется параллельно.
Идеальный вольтметр должен иметь бесконечно большое сопротивление, только в этом случае присоединение вольтметра не изменяет
разности потенциалов на участке цепи. Конечное сопротивление реального вольтметра вносит погрешность в измерение напряжения. Чем
больше
по сравнению с сопротивлением измеряемого участка, тем
r
V
меньше погрешность.
Сопротивление электронных цифровых вольтметров превышает
1 МОм, поэтому вносимая ими погрешность мала. Именно такие
вольтметры и используются в лабораторной работе.
Погрешность определения координат эквипотенциальных точек
Погрешность отсчета координаты по координатной сетке
жет быть оценена как
или 15 цены деления координатной сетки
110
мо-
σ
1
ванны.
Погрешность
ной установки, оценивается как 0, 3
, определяемая чувствительностью измеритель-
σ
2
, где
36
– максимальное рассто-
яние вдоль оси x, при смещении зонда на которое показание вольт-
x
x
X
метра не изменяется. Величина
может быть названа зоной нечув-
ствительности.
Общая погрешность этих двух независимых составляющих равна
σσσ.
22
(2.15)
12
xx
Практическая часть
Цель работы: изучить экспериментально семейство эквипотенци-
альных поверхностей электрического поля, возникающего вблизи поверхности проводников. На основе теоретических представлений о
свойствах электростатического поля построить силовые линии, оценить напряженность электрического поля.
Задание к работе
1. Рассчитать цену деления координатной сетки.
Собрать электрическую цепь. Налить воду в ванну. Получить
2.
разрешение преподавателя на включение приборов.
Измерить напряжения
3.
ванны.
Выбрать приращение разности потенциалов φ
4.
5.
Измерить и нанести на первый лист миллиметровой бумаги се-
мейство точек для пяти значений потенциала
, для каждого значения не менее десяти точек. Точки распо-
4 φU
1
лагать по всему диапазону оси
Отключить источник питания.
6.
Поместить проводник в ванну по указанию преподавателя.
7.
На втором листе миллиметровой бумаги изобразить в масштабе положение и форму проводника.
Включить источник питания.
8.
Повторить измерения по п. 5.
9.
Измерить напряжения в двух крайних точках проводника вдоль
10.
оси
ками вдоль оси
, записать эти значения. Измерить расстояние между этими точ-
.X
U
1
Y.
и
на краях координатной сетки
U
2
по формуле (2.13).
,
U
1
1
, …
φU
37
11. Измерить погрешность
x
x
x
x
, определяемую чувствительностью
σ
2
измерительной установки.
12.
Рассчитать погрешность отсчета координаты по координатной
сетке
.
σ
1
13.
Рассчитать погрешность измерения координаты
по форму-
σ
ле (2.15).
14.
На каждом листе миллиметровки изобразить диапазон
во-
σ
круг нескольких (по указанию преподавателя) точек каждой эквипотенциали.
15.
В пределах этих диапазонов провести плавные эквипотенци-
альные кривые.
16.
Построить силовые линии электрического поля от одного элек-
трода ванны до другого, проходящие через заданные точки координатной сетки. Количество и положение точек задает преподаватель.
17.
Считая поле в окрестности этих точек однородным, по формуле
(2.7) оценить напряженность поля.
18.
Оценить напряженность поля в металлическом проводнике.
Контрольные вопросы
1. Что такое напряженность и потенциал электрического поля?
2.
Что такое циркуляция? Чему она равна для электростатического
поля? Почему?
3.
Опишите связь между потенциалом и напряженностью электри-
ческого поля:
а) интегральную;
б) дифференциальную.
4.
Дайте определение силовой линии и эквипотенциальной поверх-
ности электростатического поля.
5.
Каково взаимное расположение силовых линий и эквипотенци-
альных поверхностей?
6.
Опишите свойства электростатического поля внутри проводника.
7.
Как проходят силовые линии и эквипотенциали электростатиче-
ского поля вблизи поверхности проводника?
8.
При каком условии вольтметр вносит малую погрешность в ре-
зультаты измерений?
38
9. Как вы в эксперименте будете определять точки в ванне с водой,
R
R
R
равностоящие по потенциалу?
10.
Как проводить силовые линии напряженности электрического
поля?
11.
Как вычислять напряженность электрического поля по экспе-
риментальным данным?
12.
Соответствует ли измеренное напряжение между крайними
точками металлического проводника теории электростатики проводников?
2.2. Изучение работы источника
постоянного тока
Экспериментальная установка и метод измерений
Схема экспериментальной установки показана на рис. 2.6, а. Реальный источник ЭДС (обведен штриховым контуром) имеет конечное
внутреннее сопротивление
единена внешняя нагрузка – переменное сопротивление
переменное сопротивление – реостат). Ток в этой цепи измеряется амперметром A, реальный амперметр (обведен штриховым контуром)
имеет конечное сопротивление
ют электрическое напряжение, реальный вольтметр (обведен штриховым контуром) также имеет конечное сопротивление
ε
r
r
. К выходным полюсам источника присо-
(резистор,
С помощью вольтметра V измеря-
.r
A
.
r
V
1
ε
r
4
5
V
r
V
A
r
A
2
3
V
A
6
а б
Рис. 2.6
39
Запишем закон Ома для однородного участка цепи:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
где
– электрическое напряжение (разность потенциалов) на концах
U
проводника;
UIR
I – ток через проводник;
, (2.16)
П
– сопротивление провод-
П
ника.
Преобразуем цепь на рис. 2.6,
a в эквивалентную схему (рис. 2.6, б),
более простую для понимания. Все измерительные приборы должны
как можно меньше искажать состояние измеряемого объекта. Сопротивление амперметра, включаемого в цепь последовательно, увеличивает ее общее сопротивление, поэтому ток в цепи при наличии амперметра будет меньше, чем в его отсутствие. Это означает, что сопротивление идеального амперметра должно быть
равно нулю. Сопротивле-
ние реального амперметра должно быть много меньше сопротивления измеряемой цепи.
Вольтметр присоединяется к цепи параллельно. Эквивалентное
сопротивление
участка цепи с присоединенным параллельно
экв
вольтметром находят по формуле
111
Это
экв
экв П V
всегда меньше
+
;
RR
П
R
экв
. Только при
RR
П V
R
П V
V
. (2.17)
R
R
экв П
Следовательно, сопротивление идеального вольтметра должно быть
бесконечным. На практике
сопротивление вольтметра должно быть
намного больше сопротивления участка цепи, к которому он присоединяется параллельно.
На эквивалентной схеме рис. 2.6, б показаны идеальные амперметр
и вольтметр.
Рассмотрим влияние конечного сопротивления соединительных
проводов. Обычно эти провода делают из металлов с малым удельным сопротивлением (медь, алюминий), поэтому их общее сопротивление
Оценка: ток
= 0,01…0,1 Ом. Тогда по закону Ома
намного меньше сопротивлений r и R.
Пр
I
= 20 мА, сопротивление проводов
UIR
Пр Пр
. Напряжение
Пр
=
Пр
т. е. разность потенциалов между крайними точками провода, равна
40
.
,U
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]