Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Построение и анализ модели линейной регрессии. Ч. 1. Учебно-методическое пособие в 2-х частях
.pdf
По таблице Дарбина-Уотсона для n=11, m = 1
н
d
в
d
иd4
в
d4
H0 отвер-
гается (по-
ложитель-
ная авто-
корреля-
ция)
Область не-
определен-
ности крите-
рия
H0 принимает-
ся (отсутствие
автокорреля-
ции)
Область
неопреде-
ленности
критерия
ся (отрица-
тельная авто-
корреляция)
0
H
0
H
u
e
i = ранг(е)
(2i-1)/(2n)
u
0,43 6 0,500
0,000
-1,29
2
0,136
-1,097
-0,36
5
0,409
-0,230
0,74 8 0,682
0,473
0,50 7 0,591
0,230
-0,37
4
0,318
-0,473
1,02
10
0,864
1,097
0,86 9 0,773
0,748
находим
= 0,93;
1,32. Рассчитываем
2,68;
0 ...... 0,93 1,32
= 3,07. Получим критические точки:
2,68 3,07 4
Значение 3,49 попало в интервал (1,32; 2,68), т. е. в
границы области
. Гипотезу
принимаем.
Вывод: остатки попарно независимы.
4) нормальный закон распределения
По рисунку 13 можно предположить, что распре-
деление остатков нормальным не является, поскольку 0
(среднее значение e) не является модальным (вблизи 0
мало значений e).
Отклонениям присваиваем ранги (порядковые но-
мера) с помощью функции РАНГ. Значения функции
от аргумента (2i-1)/(2n) находим с помощью функции
НОРМСТОБР.
Таблица 13 – Расчетные данные для проверки гипотезы
о нормальном законе распределения
71
Продолжение таблицы 12
-0,97
3
0,227
-0,748
1,26
11
0,955
1,691
-1,81
1
0,045
-1,691
);( ue
-1
0
1
2
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
e
u
Точки с координатами
представим графиче-
ски.
Рисунок 15 – Проверка гипотезы о нормальном законе
распределения графическим методом
Вывод: на рисунке 15 точки плохо ложатся на
прямую линию.
Гипотезу о нормальном законе распределения от-
вергаем. Это может затруднить получение интервальных
оценок.
3.7. Контрольные вопросы:
1. Показатели точности модели регрессии.
2. Формулы для оценки дисперсии параметров
парной регрессии. Как можно уменьшить дисперсии па-
раметров?
3. Проверка гипотезы о статистической значимо-
сти коэффициентов уравнения линейной регрессии.
4. Доверительный интервал для коэффициента
линейной регрессии: что это такое и как его найти?
5. Оценка значимости уравнения множественной
регрессии.
6. Что включает содержательный анализ модели
многофакторной линейной регрессии?
72
7. Сравнительный анализ факторов модели ре-
грессии по степени влияния на результативный признак.
8. Предпосылки к построению уравнения множе-
ственной линейной регрессии (условия ГауссаМаркова).
9. Что означают понятия несмещенность и эф-
фективность оценок параметров уравнения регрессии?
10. Для чего проверяют гипотезу о нормальном
законе распределения остатков модели регрессии?
11. Графический метод проверки гипотезы
о нормальном законе распределения.
12. Тестирование постоянства дисперсии остат-
ков с помощью ранговой корреляции Спирмена.
13. Тестирование попарной независимости
остатков по критерию Дарбина-Уотсона.
3.8. Задания для самостоятельного решения
1. Найдите показатели точности модели регрес-
сии.
2. Проверьте гипотезу о статистической значи-
мости коэффициента регрессии на уровне значимости
0,05.
3. Найдите доверительный интервал для коэффи-
циента регрессии с доверительной вероятностью 0,95.
4. Проверьте выполнение предпосылок регресси-
онного анализа
Данные по вариантам – в теме «Корреляционный ана-
лиз».
73
ТЕМА 4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
)(pXy
)()2()1(
....,,,
m
ppp
xxx
y
S
Ve
%10V
%20V
ПО УРАВНЕНИЮ РЕГРЕССИИ
Прогноз
уравнение регрессии ожидаемых значений факторов
Здесь p от слова predict – предсказывать.
Если ожидаемые значения факторов не выходят
за границы диапазона имеющихся значений X, прогноз
называют интерполяцией, если выходят – экстраполя-
цией.
Считается, что подставлять в модель регрессии
при экстраполяции можно значения, выступающие за
максимальное значение каждого фактора вправо или за
минимальное значение влево не более чем на 1/3 разма-
ха имеющихся значений этого фактора.
Вероятность точной реализации прогноза крайне
мала, поскольку в модели есть случайная составляющая.
Потому необходимо дополнить точечный прогноз значением стандартной (средней квадратической) ошибки
модели или доверительным интервалом прогноза.
Критерием точности прогноза по регрессион-
ной модели может служить так называемая относи-
, полученный подстановкой в
, называют точечным прогнозом.
тельная ошибка прогноза
альных экономических прогнозах обычно требуется
(иногда допускается
Если остатки гомоскедастичны и подчиняются
нормальному закону распределения, доверительный интервал для прогноза может быть получен по приведен-
ным ниже формулам.
(формула 3.5). В ре-
).
74
4.1. Прогноз по уравнению парной
p
xx
n
i
i
p
epy
xx
xx
n
Sxs
1
2
2
1
)(
xxp
p
xx
n
i
i
p
exy
xx
xx
n
Ss
p
1
2
2
)(
)(
1
1
p
xx
кр
t
p 1
1mn
p
xx
pp
xypxyp
xyxy
;
кр
ts
pp
xyxy
Средняя квадратическая ошибка положения ли-
нии регрессии при
линейной регрессии
:
. (4.1)
Из формулы (4.1) следует, что наименьшую
ошибку прогноза получим, подставляя в модель регрессии значение
. По мере удаления от среднего
значения ошибка увеличивается.
Для расчета средней квадратической ошибки
прогноза для индивидуальных значений при
применяют формулу:
. (4.2)
Для вычисления доверительных границ про-
гноза для линии регрессии и для индивидуальных зна-
чений y при
с заданной доверительной вероят-
ностью p нужно умножить найденную по формуле (4.1)
или (4.2) величину на
– критическую точку распре-
деления Стьюдента для уровня значимости
числа степеней свободы
Формула интервального прогноза для положения
линии тренда при
где
и
.
:
, (4.3)
.
75
Формула интервального прогноза для индивиду-
p
xx
pp
xypxyp
xyxy
;
кр
ts
pp
xyxy
p
x
43,3433,0 xy
Минимум x
11,06
Максимум x
23,28
Размах
12,22
Минимум - (Размах/3)
6,99
Максимум + (Размах/3)
27,35
альных значений y при
:
где
Вывод: ширина доверительного интервала в
первую очередь определяется стандартной (средней
квадратической) ошибкой модели. Ширина интервала
увеличивается с увеличением доверительной вероятности и с удалением ожидаемого значения
значения x. Ширина интервала уменьшается при уве-
личении числа наблюдений n.
Пример прогноза по уравнению
парной линейной регрессии
Для данных из таблицы 2 получено уравнение:
.
X – оборот оптовой торговли, млрд. рублей;
Y – грузооборот автомобильного транспорта, млн.
т-км.
а) определим рекомендуемый диапазон значений, которые можно подставлять в уравнение регрессии
.
, (4.4)
от среднего
Таблица 14 – Расчет рекомендуемого диапазона
значений x
76
Вывод: в уравнение регрессии можно подстав-
p
x
43,300,20433,0)00,20( y
p
x
x
e
S
n
i
i
xx
1
2
)(
326,152
)94,1800,20(
11
1
1080,1
2
00,20
y
s
26,213,1
00,20
y
лять значения x из диапазона (6,99; 27,35).
б) получим точечный прогноз
Пусть ожидаемое значение
= 20,00. Точечный
прогноз получаем по уравнению регрессии:
= 12,08.
Вывод: если оборот оптовой торговли будет равен 20,00 млрд. рублей, то ожидаемый грузооборот автомобильного транспорта составит 12,08 млн. т-км.
в) найдем границы прогноза для индивидуального значения
= 20,00
Промежуточные расчеты см. таблицу 9.
Значения
=18,94;
= 1,080. Величину
, стоящую в знаменателе формул (4.1) и
(4.2), можно получить с помощью функции КВАД-
РОТКЛ.
По формуле (4.2) находим:
= 1,13.
По формуле (4.4):
= 2,56.
Вывод: с доверительной вероятностью 0,95 если
оборот оптовой торговли будет равен 20,00 млрд. руб-
лей, то ожидаемый грузооборот автомобильного транспорта будет находиться в диапазоне (12,082,56), то
есть примет значения от 9,52 до 14,64 млн. т-км.
Представим результаты графически:
77
6
8
10
12
14
16
10 12 14 16 18 20 22 24
p
x
p
x
p
x
)(pxy
)(pyxs
кр
)( txs
py
Левая
граница
Правая
грани-
ца 7 6,46
1,09
2,48
3,98
8,93
9,25
7,43
0,91
2,06
5,38
9,49
11,5
8,40
0,73
1,65
6,76
10,05
13,75
9,38
0,56
1,26
8,11
10,64
16
10,35
0,42
0,94
9,41
11,29
18,25
11,32
0,33
0,75
10,57
12,07
20,5
12,30
0,35
0,80
11,50
13,10
22,75
13,27
0,47
1,05
12,22
14,32
25
14,24
0,62
1,41
12,84
15,65
27,35
15,26
0,80
1,82
13,44
17,08
Рисунок 16 – Исходные данные, линия регрессии,
точечный и интервальный прогноз
Пример применения формул (4.1) – (4.4) для любых
значений
из рекомендуемого диапазона
Для иллюстрации возможного положения линии
регрессии выполним расчет с применением формул (4.1)
и (4.3) для десяти произвольных значений
от 6,99 до
27,35.
Результаты представлены в таблице 15 и на рисун-
ке 17.
Таблица 15 – Расчет границ возможного положения
линии тренда
78
3
5
7
9
11
13
15
17
19
6 10 14 18 22 26 30
y
p
x
p
x
)(pxy
)(pyxs
кр
)( txs
py
Левая
граница
Правая
грани-
ца 7 6,46
1,54
3,48
2,98
9,94
9,25
7,43
1,41
3,19
4,24
10,62
11,5
8,40
1,30
2,95
5,46
11,35
13,75
9,38
1,22
2,75
6,63
12,13
16
10,35
1,16
2,62
7,73
12,97
18,25
11,32
1,13
2,56
8,77
13,88
20,5
12,30
1,14
2,57
9,73
14,87
22,75
13,27
1,18
2,66
10,61
15,93
25
14,24
1,25
2,82
11,42
17,06
27,35
15,26
1,35
3,05
12,21
18,31
Рисунок 17 – Фактические и модельные значения y,
линия регрессии и границы возможного положения
линии регрессии с доверительной вероятностью 0,95
Для иллюстрации возможных индивидуальных
значений
для различных ожидаемых значений
выполним аналогичные расчеты с применением формул
(4.2) и (4.4).
Результаты представлены в таблице 16 и на ри-
сунке 18.
Таблица 16 – Расчет границ возможных индивидуаль-
ных значений
79
3
5
7
9
11
13
15
17
19
6 10 14 18 22 26 30
Рисунок 18 – Фактические и модельные значения y,
p
X
T
p
T
peXy
XXXXSs
p
1
)(
p
X
)()2()1(
...1
m
pppp
xxxX
линия регрессии и границы прогнозируемых
индивидуальных значений с доверительной
вероятностью 0,95
Вывод: как видим на рисунке 18, все фактиче-
ские значения y попали в найденные границы прогноза,
что подтверждает адекватность построенной модели
и возможность ее применения для прогнозирования.
Можно предположить, что, если бы распределение
остатков лучше соответствовало нормальному закону,
границы интервального прогноза были бы более узкими.
Имеющихся 11 наблюдений, конечно, мало для
того, чтобы утверждать, что найденный доверительный
интервал «накрывает» именно 95% возможных значений
(из каждых 20 наблюдений одно не должно попадать в
найденные границы).
4.2. Прогноз по уравнению множественной
линейной регрессии
Средняя квадратическая ошибка модели регрес-
сии для ожидаемых значений факторов
Здесь
– вектор-строка
:
. (4.5)
,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]