Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Построение и анализ модели линейной регрессии. Ч. 1. Учебно-методическое пособие в 2-х частях
.pdf
Таблица 2 – Данные для иллюстрации прямой связи
Месяц X Y
январь
11,06
8,64
февраль
13,83
8,12
март
18,26
10,97
апрель
16,30
11,22
май
17,90
11,67
июнь
22,48
12,78
июль
23,28
14,52
август
21,42
13,56
сентябрь
21,25
11,65
октябрь
20,42
13,52
ноябрь
22,19
11,22
6
8
10
12
14
16
10 12 14 16 18 20 22 24
Рисунок 2 – Пример прямой связи
Выводы:
1) по характеру связь прямая: в тех месяцах, ко-
гда оборот оптовой торговли больше среднего, грузо-
оборот автомобильного транспорта тоже в среднем
больше среднего, и наоборот;
2) форма связи линейная;
3) наблюдения считаем однородными (точки, со-
ответствующие данным за январь и февраль, несколько
11
отклоняются от основной массы наблюдений, однако
Муниципальные
районы
X
Y
Бахчисарайский
28758
15,24
Белогорский
28192
13,92
Джанкойский
21501
14,83
Кировский
25096
14,15
Красногвардейский
28775
13,84
Красноперекопский
21951
16,7
Ленинский
25039
14,09
Нижнегорский
24428
16,49
Первомайский
23803
14,72
Раздольненский
25480
15,98
Сакский
25671
12,79
Советский
25921
13,37
Симферопольский
29494
10,84
Черноморский
39678
15,24
лежат вблизи воображаемой линии).
Для большей наглядности к диаграмме на рисун-
ке 2 добавлена линия тренда (тренд – устойчивое изме-
нение среднего уровня).
Пример 2. Обратная связь. Данные представлены
в таблице 3 и на рисунке 3.
X – среднемесячная номинальная начисленная
заработная плата по средним и крупным предприятиям
и некоммерческим организациям, рублей;
Y – коэффициент смертности на 1000 человек
населения.
Таблица 3.– Данные для иллюстрации обратной связи
Из таблицы 3 видим, что данные Черноморского
района значительно выделяются по величине x, потому
из дальнейшего исследования исключены и на диаграмме не представлены.
12
10
12
14
16
20000 22000 24000 26000 28000 30000
Рисунок 3 – Пример обратной связи
Выводы:
1) по характеру связь обратная: в тех районах, где
заработная плата выше среднего, показатель смертности
в среднем ниже среднего, и наоборот;
2) форма связи линейная;
3) есть одно резко выделяющееся наблюдение,
соответствующее Симферопольскому району (на рисун-
ке 3 выделено кружком). Наклон линии после исключения этого наблюдения будет меньше (пунктирная линия
на рис. 3).
Пример 3. Отсутствие связи. Данные представле-
ны в таблице 4 и на рисунке 4.
X – средняя численность работников по органи-
зациям, не относящимся к субъектам малого предпри-
нимательства, человек;
Y – объем отгруженных товаров (обрабатываю-
щие производства), млн. рублей.
13
Таблица 4 – Данные для иллюстрации отсутствия связи
Месяц
X
Y
февраль
317090
5854,8
март
316791
6905,7
апрель
318941
7570,8
май
320104
7629,7
июнь
321902
7865,4
июль
323468
8699
август
322132
7978,6
сентябрь
321723
7291,1
октябрь
319755
6226,2
ноябрь
318629
7869,1
декабрь
316719
8790,7
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
316000 318000 320000 322000 324000
Рисунок 4 – Пример отсутствия связи
Вывод: связь отсутствует.
1.3. Коэффициент парной корреляции для выборки
личин служит коэффициент корреляции (используется
при линейной связи) либо корреляционное отношение
(при нелинейной связи).
Математической мерой связи двух случайных ве-
14
В основе измерения тесноты линейной связи двух
n
x
n
y
),cov( YX
yx;
n
i
ii
yyxx
n
YX
1
1
),cov(
x
yxyxYX ),cov(
показателей лежит ковариация – совместное отклонение от средних значений.
По выборке, содержащей n пар значений (x1, y1),
(x2, y2),.., (
,
), ковариация
вычисляется
по формуле (1.1) как среднее рассеивание вокруг точки с
координатами (
):
. (1.1)
Здесь n – размерность выборки (число наблюде-
ний),
и y – средние арифметические значения.
Из формулы (1.1) следует, что ковариация положительна, если отклонения X и Y от своих средних значений имеют в основном одинаковые знаки, и отрицательна, если значениям X, большим среднего, в основном соответствуют значения Y, меньшие среднего, и
наоборот.
Формулу (1.1) можно преобразовать для упроще-
ния вычислений и записать в виде:
. (1.1)
Ковариация имеет размерность, и в этом ее недо-
статок, т. к. при переходе к другим единицам измерения
X и Y (например, от рублей к тыс. рублей) численное
значение изменяется. Для перехода к безразмерной величине ковариацию делят на стандартные (средние
квадратические) отклонения массивов X и Y. Результат
деления – коэффициент парной линейной корреляции
Пирсона, или просто коэффициент корреляции.
Определение. Коэффициент линейной корреляции двух переменных X и Y характеризует тесноту ли-
нейной статистической связи. Это безразмерная величи-
15
на, принимающая значения от –1 (обратная связь) до +1
YX
ss
YX
YXr
),cov(
),(
XX
Ds
YY
Ds
X
D
Y
D
n
i
iX
xx
n
D
1
2
)(
1
n
i
iY
yy
n
D
1
2
)(
1
2
2
xxD
X
2
2
yyD
Y
),( YXr
),( XYr
(прямая связь). Чем ближе к +1 или к –1 значение коэффициента корреляции, тем теснее связь.
Формула коэффициента корреляции, определённого по имеющейся выборке n пар значений показателей X и Y:
где
выборок,
и
,
– дисперсии.
– стандартные отклонения
;
, (1.2)
.(1.3)
Формулы (1.3) можно также упростить и записать
в виде:
Из формул (1.1) и (1.2) следует, что
;
. (1.3’)
=
.
Проводя корреляционный анализ, следует учесть:
1. Большое по абсолютной величине (близкое к 1
или к –1) значение коэффициента корреляции может
иметь место и при ложной корреляции, потому числен-
ное значение r должно сопровождаться содержательным
анализом связи.
2. Точные значения –1 и +1 соответствуют не
корреляционной, а функциональной линейной связи.
3. Близкая к 0 величина коэффициента корреля-
ции свидетельствует об отсутствии линейной связи переменных, но не об отсутствии связи между ними вооб-
ще. Если величины X и Y не связаны между собой, то
коэффициент корреляции равен нулю, но не обязательно
наоборот. Например, на рисунке 1в и рисунке 4 связь
16
отсутствует, а на рисунке 1г – связь нелинейная. Потому
),( YXr
Абсолютное значение
),( YXr
Интерпретация силы связи
от 0 до 0,3
очень слабая
от 0,3 до 0,5
слабая
от 0, 5 до 0,7
средняя
от 0,7 до 0,9
высокая
от 0,9 до 1
очень высокая
рекомендуется расчет коэффициента корреляции сопро-
вождать графическим представлением связи.
В практике статистических исследований можно
встретить различную трактовку численного значения
коэффициента парной корреляции
. Например,
известна шкала Чеддока (табл. 5).
Таблица 5 – Шкала Чеддока
Существуют и другие трактовки, например: при
значении r от 0 до 0,3 (по абсолютной величине) говорят
об отсутствии линейной связи; от 0,3 до 0,5 – связь слабая; от 0,5 до 0,7 – связь средняя; от 0,7 до 1 – связь тесная.
Пример расчета коэффициента парной корреляции
Коэффициент парной корреляции можно полу-
чить с помощью функции КОРРЕЛ.
Для понимания расчетных формул выполним
расчет коэффициента корреляции по формуле (1.2).
В таблице 6 для расчета ковариации и дисперсии использованы основные формулы, в таблице 7 – упрощенные. Исходные данные – см. таблицу 2.
17
Таблица 6 – Расчет по формуле (1.2) с использованием
i
X
Y
2
)( xxi
2
)(y yi
)()( yyxx
ii
1
11,06
8,64
62,1661
8,9075
23,5318
2
13,83
8,12
26,1586
12,2818
17,9242
3
18,26
10,97
0,4686
0,4284
0,4481
4
16,30
11,22
6,9936
0,1637
1,0698
5
17,90
11,67
1,0911
0,0021
-0,0475
6
22,48
12,78
12,4994
1,3351
4,0851
7
23,28
14,52
18,7962
8,3837
12,5531
8
21,42
13,56
6,1279
3,7460
4,7911
9
21,25
11,65
5,3151
0,0006
0,0587
10
20,42
13,52
2,1770
3,5927
2,7967
11
22,19
11,22
10,5330
0,1637
-1,3129
Среднее
18,94
11,62
13,8479
3,5459
5,9907
Обозна-
чение
x
y
X
D
Y
D
),cov( YX
13,8479
X
s
3,5459
Y
s
1,88313,7213
5,9907
),(
YXr
i
X
Y
2
i
x
2
i
y
ii
yx
1
8,64
122,3236
74,6496
95,5584
2
8,12
191,2689
65,9344
112,2996
3
10,97
333,4276
120,3409
200,3122
4
16,30
11,22
265,6900
125,8884
182,886
5
17,90
11,67
320,4100
136,1889
208,893
формул (1.1) и (1.3)
=3,7213;
=0,85.
Вывод: между оборотом оптовой торговли и гру-
зооборотом автомобильного транспорта наблюдается
тесная прямая связь.
Таблица 7 – Расчет по формуле (1.2) с использованием
формул (1.1’) и (1.3’)
18
=1,8831
Продолжение таблицы 7
6
22,48
12,78
505,3504
163,3284
287,2944
7
23,28
14,52
541,9584
210,8304
338,0256
8
21,42
13,56
458,8164
183,8736
290,4552
9
21,25
11,65
451,5625
135,7225
247,5625
10
20,42
13,52
416,9764
182,7904
276,0784
11
22,19
11,22
492,3961
125,8884
248,9718
Среднее
18,94
372,7437
138,6760
226,2125
Обозна-
чение
x
y
2
x
2
y
yx
2
94,18372,7437
X
D
= 13,8479;
2
62,11138,6760
Y
D
62,1118,94226,2125),cov( YX
13,8479
X
s
3,5459
Y
s
1,88313,7213
5,9907
),(
YXr
),( YXr
),( YXr
= 3,5459;
= 5,9907;
=3,7213;
= 1,8831
= 0,85.
Для данных таблицы 3 (без Черноморского рай-
она) получим
= -0,57. Вывод: между заработ-
ной платой и коэффициентом смертности в муниципальных районах Крыма наблюдается обратная связь
средней силы.
Если из таблицы 3 исключить еще и Симферо-
польский район (см. рис. 3), получим
= -0,41,
что соответствует слабой обратной связи. Как видим,
наблюдения, выделяющиеся из основной группы, суще-
ственно влияют на результат.
19
1.4. Проверка гипотезы о корреляции
),( YX
),( YXr
),( YXr
),( YX
),( YX
),( YX
2
),(1
2
),(
YXr
n
YXrt
2n
t
),( YXr
),( YXr
двух случайных переменных
Если два фактора линейно не связаны между собой, то коэффициент корреляции в генеральной совокупности (обозначим его
этом полученное по формуле (1.2) значение
) равен нулю. При
для
выборки может отличаться от нуля по причине случай-
ности попавших в выборку данных.
Если значение
далеко от +1 и от –1, про-
веряется гипотеза о равенстве нулю значения
(об отсутствии линейной связи). Альтернативная гипо-
теза – гипотеза о наличии линейной связи.
Основную гипотезу называют нулевой и обозначают H0, альтернативную гипотезу обозначают H
В данном случае H
:
0
= 0; H1:
1
.
0.
Для проверки гипотезы об отсутствии связи применяется критерий Стьюдента: если справедлива гипо-
теза H
, то случайная величина
0
(1.4)
подчиняется распределению Стьюдента с числом
степеней свободы
По формуле (1.4) значение
к 0 не только при близком к 0 значении
.
может быть близко
, но
и при малом объеме выборки n. Потому гипотеза H0 об
отсутствии линейной связи может рассматриваться и как
гипотеза о статистической незначимости выборочного
коэффициента корреляции
, а гипотеза H
–
1
о его значимости.
Статистическая значимость означает возмож-
ность обобщения результатов, полученных по выборке,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]