Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Построение и анализ модели линейной регрессии. Ч. 1. Учебно-методическое пособие в 2-х частях
.pdf
д) Перемножим матрицы
T
X
YX
T
334109
2792259,498
4391068,5
1
XX
T
YX
T
b
17067
1
a
481
2
a
363
exxy 17067363481
)2()1(
17067383481
)2()1(
xxy
функции МУМНОЖ
е) Найдем результат – элементы вектора A, пере-
и Y с помощью
множив матрицы
и
с помощью функции
МУМНОЖ
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
.
Для расчета модельных значений по уравнению
регрессии получим формулу:
.
Вывод. В муниципальных районах, где доля занятых по организациям, не относящимся к субъектам
малого предпринимательства, на 1% больше при неизменной доле доходов местного бюджета, среднемесячная заработная плата в среднем больше на 481 рубль.
В муниципальных районах, где доля доходов
местного бюджета на 1% больше при неизменной доле
занятых по организациям, не относящимся к субъектам
малого предпринимательства, среднемесячная заработ-
ная плата в среднем больше на 383 рубля.
можно использовать уравнение регрессии?
2.4. Контрольные вопросы:
1. Что такое уравнение регрессии? Для чего
41
2. Модель парной линейной регрессии. Матема-
тический и экономический смысл параметров модели
парной линейной регрессии.
3. Случайный член уравнения регрессии (оста-
точная компонента). Причины его существования.
4. Какой метод является основным при оценке
параметров уравнения регрессии? Достоинства и недо-
статки этого метода.
5. Метод наименьших квадратов (МНК). Форму-
лы МНК для парной линейной регрессии.
6. Какова связь между линейным коэффициентом
корреляции и коэффициентом парной линейной регрес-
сии?
7. Модель множественной линейной регрессии.
Экономический смысл коэффициентов множественной
линейной регрессии.
8. Метод наименьших квадратов (МНК). Система
уравнений МНК для множественной линейной регрес-
сии.
2.5. Задания для самостоятельного решения
1. Найдите параметры модели парной регрессии
в помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК.
2. Запишите уравнение регрессии.
3. Поясните экономический смысл коэффициента
регрессии.
4. Запишите формулы для расчета параметров
модели регрессии и выполните расчет по этим форму-
лам.
Данные по вариантам – в теме «Корреляционный ана-
лиз».
42
ТЕМА 3. ТОЧНОСТЬ И АДЕКВАТНОСТЬ
),( AXfy
y
),( AXf
X
A
X
),( Atf
МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
В общем виде эконометрическую модель можно
представить в виде:
где
менной,
– наблюдаемое значение зависимой пере-
– объясненная часть зависимой пере-
, (3.1)
менной, которая зависит от значений объясняющих переменных
(факторов или независимых переменных),
– случайная составляющая зависимой пере-
менной (ошибки, остатки, отклонения, возмущения),
– вектор параметров модели.
Для данных временного ряда в число факторов
может входить время t. Если t является единствен-
ным фактором, функция
называется модель
тренда.
Модель (3.1) читается адекватной, если она соот-
ветствует исследуемому объекту или процессу. При мо-
делировании имеется в виду адекватность по тем свойствам модели, которые считаются существенными для
исследования.
Для линейной регрессии проверка адекватности
включает ответы на вопросы: положительны или отрицательны коэффициенты регрессии; оправданы ли экономически полученные значения коэффициентов.
Если модель построена по данным временного
ряда и будет применяться для прогнозирования, то важ-
ным является вид функции f, и анализ адекватности
включает поведение этой функции на периоде прогно-
зирования.
Важным для проверки адекватности модели является проверка остаточной компоненты требованиям слу-
чайности, которые называются условия Гаусса-Маркова.
43
Кроме адекватности, анализируется также точ-
X
f
iii
yye
ni ...,,2,1
n
i
i
eQ
1
2
12mn
Q
S
e
m
1mn
2
ee
SS
ность модели. Точность модели характеризуется вели-
чиной отклонения значения, рассчитанного по модели,
от реального значения моделируемой переменной.
В идеале «хорошая» модель должна быть и адекватной, и точной. С чего начинать проверку решает исследователь. Если рассматривается несколько альтернативных моделей, то из числа адекватных выбирают
наиболее точную. С другой стороны, анализ точности
включает более простые процедуры, чем анализ адек-
ватности, и если точность модели неудовлетворитель-
ная, то дальнейший анализ не стоит и выполнять. Надо
включать в набор
гой вид функции
другие факторы или выбирать дру-
в общем, строить другую модель.
3.1. Показатели точности модели регрессии
Основу статистического анализа модели состав-
ляют показатели точности:
1) остатки (отклонения, или ошибки модели)
, (
), n – число наблюдений;
2) сумма квадратов отклонений (остаточная сум-
ма квадратов)
. (3.2)
3) остаточная дисперсия (дисперсия остатков)
; (3.3)
– число факторов в наборе X;
– число степеней свободы.
4) стандартная (средняя квадратическая) ошибка
регрессии
; (3.4)
44
5) средняя относительная ошибка модели
%100
y
S
V
e
%100
1
1
nt
t
tt
отн
y
yy
n
1;02R
n
i
i
n
i
i
yy
e
R
1
2
1
2
2
1
0
H
0
H
)1()1(
2
2
mnR
mR
F
; (3.5)
5а) для временного ряда средняя относительная
ошибка модели может рассчитываться по формуле
. (3.6)
Известны и другие формулы относительной
ошибки, применяющиеся при малых значениях y, что-
бы избежать деления на 0.
3.2. Проверка общего качества модели линейной
регрессии
Для анализа общего качества модели использует-
ся коэффициент детерминации R
2
. Его величина ха-
рактеризует долю вариации (изменчивости) y, которую
можно объяснить с помощью модели регрессии. Значе-
ние
.
. (3.7)
Анализ общего качества модели заключается
в проверке основной гипотезы
: КД = 0 при альтер-
нативной гипотезе H1: КД > 0. Здесь КД – коэффициент
детерминации в генеральной совокупности.
Если справедлива гипотеза
, то случайная ве-
личина
(3.8)
подчиняется F-распределению с числом степеней свободы m и n–m–1.
45
Гипотеза односторонняя, потому находят только
Область принятия гипотезы H
0
F
кр
Область принятия гипотезы Н
1
0
0
H
2
R
2
),( YXr
yy
m
одну критическую точку
Рисунок 9 – Плотность F-распределения
и критическая точка
При попадании значения F в область принятия
гипотезы
общее качество модели считается неудо-
влетворительным.
ту коэффициента парной корреляции, и результат расче-
та по формуле (3.7) совпадает со значением
Потому проверку гипотезы по формуле (3.8) обычно
выполняют только для множественной регрессии.
детерминации свидетельствует о неудовлетворительном
качестве уравнения регрессии: построенная модель дает
не лучший результат для объяснения поведения y, чем
модель
ного качества модели:
но, она не является линейной;
которые включены в модель;
в модель
Для парной регрессии значение
равно квадра-
Принятие нулевой гипотезы для коэффициента
. Возможные причины неудовлетворитель-
неверно выбрана форма зависимости: возмож-
изменение y определяется не теми факторами,
объем выборки недостаточен, чтобы включить
факторов.
46
.
3.3. Проверка статистической значимости
k
a
mk ..,,1
)(
2
k
as
2
e
S
kkek
ZSas 22)(
2
e
S
kk
Z
1
XX
T
)()(
2
kk
asas
X
e
n
i
i
e
Dn
S
xx
S
as
21
2
2
2
)(
)(
222
)()( xasbs
коэффициентов регрессии
Надежность полученных по выборке оценок ко-
эффициентов регрессии
,
, определяется
дисперсиями этих коэффициентов
, которые
зависят от дисперсии остатков (остаточной дисперсии)
:
где
см. формулу (3.3),
, (3.9)
– диагональный элемент матрицы
(см. формулу 2.21).
Средние квадратические ошибки коэффициен-
тов регрессии определяются как корень из дисперсии
коэффициентов:
. (3.10)
Для парной регрессии дисперсии параметров
можно рассчитать по формулам:
.
; (3.11)
Из формулы (3.11) можно сделать вывод, что
ошибка коэффициента регрессии меньше, а надежность
получаемых оценок параметров модели выше, если ши-
ре диапазон значений X в выборке и больше n – объем
выборки.
Статистическую значимость каждого коэффи-
циента регрессии оценивают исходя из того, во сколько
раз оценка коэффициента, полученная по выборке, пре-
47
восходит среднеквадратичную ошибку этого коэффици-
)(
)(
k
kk
k
as
a
at
mk ...1
1mn
0
H
k
1
H
k
0
H
k
t
)(
)(
k
k
k
as
a
at
mk ...1
t
)(at
ента. Значимость свободного члена обычно не проверя-
ют.
В основе проверки лежит утверждение:
случайная величина
,
(3.12)
подчиняется распределению Стьюдента с числом
степеней свободы
(см. рис. 5).
При этом для каждого коэффициента проверяется
основная гипотеза
о равенстве нулю в генеральной
совокупности и статистической незначимости коэффициента, найденного по выборке:
гипотеза
справедлива гипотеза
:
0 – гипотеза о значимости. Если
, то величина
= 0. Альтернативная
(так называ-
емая t-статистика) рассчитывается для каждого коэффициента по формуле:
,
. (3.13)
Факторы, которым соответствуют незначимые
коэффициенты, рекомендуется из модели исключать по
одному, каждый раз проверяя общее качество новой мо-
дели по F-статистике и значимость каждого коэффици-
ента по
-статистике. Если после исключения фактора
качество модели оказалось недостаточно высоким, надо
не исключать этот фактор, а заменить другим.
Для парной регрессии значение
совпадает со
значением t, полученным по формуле (1.4) для проверки
гипотезы о коэффициенте корреляции, потому обычно
выполняют только одну из двух проверок.
48
3.4. Доверительные интервалы для истинных
k
)();(
kkkk
aaaa
)(
kkk
aa
кр
)()( tasa
kk
)(kas
k
a
кр
t
p1
k
0
H
exy 43,3433,0
n
значений коэффициентов регрессии
Из формулы (3.12) следует, что с доверительной
вероятностью p истинные значения коэффициентов ре-
грессии для генеральной совокупности
находятся в
интервале:
где
, или:
;
– среднеквадратичная ошибка коэффициента
, (3.14)
,
– критическая точка распределения Стьюдента для
значения
и числа степеней свободы n–m–1.
Обычно задают p = 0,95, что соответствует вероятности
ошибки
= 0,05.
Результат расчета по формуле (3.14) можно использовать и для проверки значимости коэффициента
регрессии: если число 0 попало в полученный по фор-
муле (3.14) интервал, то для коэффициента
принять гипотезу
.
следует
Пример анализа модели парной линейной регрессии
Используем данные таблицы 2, для которых по-
лучено уравнение
. При увеличении
оборота оптовой торговли на 1 млн. рублей грузооборот
автомобильного транспорта увеличивается в среднем на
0,433 тыс. т-км
Число наблюдений
1.
= 11, число факторов m=
49
Расчет показателей точности модели
43,3433,0 xy
iii
yye
i
x
y
y
e
2
e
1
11,06
8,64
8,21
0,43
0,1818
2
13,83
8,12
9,41
-1,29
1,6691
3
18,26
10,97
11,33
-0,36
0,1285
4
16,3
11,22
10,48
0,74
0,5469
5
17,9
11,67
11,17
0,50
0,2473
6
22,48
12,78
13,15
-0,37
0,1399
7
23,28
14,52
13,50
1,02
1,0402
8
21,42
13,56
12,70
0,86
0,7474
9
21,25
11,65
12,62
-0,97
0,9446
10
20,42
13,52
12,26
1,26
1,5804
11
22,19
11,22
13,03
-1,81
3,2709
Сумма
0,00
10,4971
Среднее
18,94
11,62
11,62
n
i
i
eQ
1
2
1-1-11
10,4971
1
2
mn
Q
S
e
1,1663
2
eeSS
Подставим данные каждого наблюдения в урав-
нение
, найдем остатки
возведем каждое значение в квадрат.
Таблица 9 – Расчет модельных значений и остатков
Применяем формулы (3.2) – (3.5):
Сумма квадратов отклонений (остаточная сумма
квадратов)
и
регрессии
= 10,4971.
Остаточная дисперсия (дисперсия остатков)
= 1,1663.
Стандартная (средняя квадратическая) ошибка
= 1,080
Средняя относительная ошибка модели
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]