Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численное моделирование динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>













(3) (1) (1) (2) (2)





















yt yt h f t yt f t yt 



nn nn nn

которые позволяют последовательно вычислять приближения к значе-



ниям формулы:



() , ,

( ) () ()

mjj

yt yt h f t yt

 

nn mjnn

2,3,...,im

kft hyhk 

() ()

kft hyh k

nnmnmjn

31 32

...,

() ,



. Обозначив

yyhk

1nnn



(2) (1)

nn n n



 

 







(1)

kfty

nnn

221

...,







kftyt

nnn

kck





nin



(, )









, получаем



Построенная схема называется явным m-этапным (m-стадийным)

, и



осу-

методом Рунге–Кутты. Выбор коэффициентов ществляется из различных соображений. Например, это может быть

желание сделать порядок аппроксимации го числа вспомогательных узлов. То есть на самом деле мы получили

не один метод, а целое параметризованное семейство методов.

Рассмотрим семейство явных двухэтапных методов Рунге–Кутты второго порядка точности. Соответствующие формулы имеют вид:

yyhckck

 



112nn n n

(1)

kfty

nnn

(, )

kfthyhk

nnnn

(1) ( 2)

(2) (1)

максимальным для данно-

Параметрами метода являются значения коэффициентов









,  .



Погрешность аппроксимации для данного метода равна

()()

yt h yh

     



(, ) ( , (, ))

cft y c f t h y hft y

. (3.4)

Используя формулу Тейлора для функции





  



yfff



()() 1

yt h yh

, можно получить:

()()

  

fffOh



()yt

и учитывая, что

. (3.5)

С другой стороны, также по формуле Тейлора

(, )(, ) ()

thyhf ftyfhfhfOh

        



. (3.6)

Таким образом, формула (3.4) с учетом формул (3.5) и (3.6) принимает вид

(1 ) (1 / 2 ) (1 / 2 ) ( )

         

ccf c f c ffhOh

12 2 2







. (3.7)

Чтобы метод имел второй порядок аппроксимации, нужно обнулить первые два слагаемых в правой части (3.7). То есть должно выполняться:

Отметим, что при

c 

1

c 





0,1

. (3.8)



мы получаем метод (3.7), а при



1/ 2

–

метод (3.8).

Среди 4-этапных методов наиболее известен классический 4-этапный метод четвертого порядка точности. Соответствующие формулы имеют вид:

yyhk



1nnn



kkkkk

nnnnn

(1) ( 2) ( 3) (4 )





(1)

kfty

(3) (2)

kft yk

 

nnnn

Данный метод получается из (3.1) с помощью квадратурной формулы Симпсона. Область абсолютной устойчивости данного метода схематично показана на рис. 6.

Увеличивая число методы Рунге–Кутты любого порядка точности

(, )

nnn

  

(2) (1)

kft yk

nnnn

вспомогательных точек, можно построить



 

 

kfthyhk 

nnnn

(4) (3)

. Однако уже при



5p  эти методы используются довольно редко, так как получающие-

ся формулы оказываются очень громоздкими и существенно проигрывают по эффективности методам Адамса того же порядка точности.

Рис. 6. Область абсолютной устойчивости

4-этапного классического метода Рунге–Кутты

Одним из важных достоинств методов Рунге–Кутты является то, что эти методы являются одношаговыми, а значит, самостартующими и позволяющими в любой момент менять шаг интегрирования, подстраиваясь под поведение интегрируемой функции и ее производной. Для этого используется так называемый автоматический выбор шага. Выбор шага обычно происходит следующим образом. На текущем шаге

оценивается локальная погрешность метода и в соответствии с результатом этой оценки принимается решение о том, чтобы увеличить или уменьшить текущий шаг интегрирования. Для оценки локальной погрешности может быть использовано правило Рунге (правило двойного

пересчета), заключающееся в вычислении решения для шага

/2h

или может быть использован метод Рунге–Кутты другого порядка точности, широко известна схема Рунге–Кутты–Мерсона, есть и другие возможности. Оценка погрешности требует дополнительных вычислений, но выигрыш от возможности интегрировать большие отрезки с увеличенным шагом оказывается существенно более весомым.

Кроме описанных выше классических явных методов Рунге–Кутты используются

и более сложные в реализации неявные m-этапные ме- тоды Рунге–Кутты. Так как для них на каждом шаге интегрирования приходится решать нелинейную систему уравнений, используются эти методы в основном для решения жестких задач, для которых соответствующие явные методы существенно проигрывают неявным по эффективности.





















4. МЕТОДЫ АДАМСА

Среди многошаговых методов большое распространение получили

методы Адамса, определяемые следующей формулой:



ft y



jnj nj



(, )



, (4.1)



, то мы по-

где







– некоторые числовые коэффициенты. Если

лучаем явный метод вида

yyh ft y

 

111

nn jnjnj



(, )



 

. (4.2)

Подобные методы также называются методами Адамса–Башфорта.

Они также могут быть получены из (4.1) с помощью некоторого многочлена (k – 1)-й степени, принимающего в узлах

соответствующие значения

1nk



,...,

2nk



Поскольку многочлен интегрируется на отрезке делами значений

, по которым он построен, соответствующие методы

, где

1nk



nnn

, т. е. за пре-

,...,

2nk



(, )

ft y

называются экстраполяционными методами Адамса.



В случае, если

yyh ft y

, то мы получаем неявный метод вида

 

111

nn jnjnj



(, )



 

. (4.3)

Подобные методы также называются методами Адамса–Моултона.

Соответствующий многочлен k-й степени включает в себя значение

в точке

1nf

и полностью покрывает отрезок интегрирования

















. Поэтому методы вида (4.3) также называют интерполяцион-



ными методами Адамса.

В качестве примера выведем формулы двухшагового метода Адамса–Башфорта и одношагового метода Адамса–Моултона. Для этого воспользуемся соответствующими многочленами:

() ( ( ) ( ))

tfttftt h

11 1

() ( ( ) ( ))

Qt f t t f t t h

111

 

nn n n



 

nn n n



Их интегрирование дает:



Ptdt f f

() (3 )







Qtdt f f

() ( )







Таким образом, двухшаговая формула Адамса–Башфорта имеет вид

 

yy ff

nn nn

(3 )



а одношаговая формула Адамса–Моултона – вид

 

yy f f

nn nn



()

Для методов Адамса справедливы следующие утверждения.

У1. Пусть решение задачи Коши

емо

раз на отрезке

, tT

()yt непрерывно дифференциру-

. Тогда k-шаговый метод Адамса–

Башфорта и (k – 1)-шаговый метод Адамса–Моултона имеют порядок аппроксимации, равный

У2. Если выполнено условие



, то явные методы Адамса

устойчивы на конечном отрезке. Кроме того, при выполнении условия



устойчивыми на конечном отрезке являются и неявные















методы Адамса. Если выполнено условие

Адамса устойчивы при любых

У3. Если



и k-шаговый метод Адамса имеет р-й порядок

аппроксимации, а начальные значения

, то неявные методы

,...,

заданы с

р-м порядком точности, то метод сходится также с р-м порядком точ- ности.

Приведем расчетные формулы методов Адамса–Башфорта порядка точности соответственно для

3, 4p 

-го

  

yy f f f

112

nn nn n

   

yy f f f f

1123

nn n n n n



(23 16 5 )



(55 59 37 9 )

Приведем расчетные формулы методов Адамса–Моултона р-го порядка точности соответственно для

  

yy f ff

111

nn n nn

   

yy f fff

1112

nn n nnn



(5 8 )

(9 19 5 )

3, 4p 



Легко построить методы и с более высоким порядком точности. Для многих практических задач (ввиду их жесткости) использование только явных схем даже с высоким порядком точности оказывается неэффективным. Тогда используют неявные схемы, для которых необ-

ходимо решать нелинейное относительно

уравнение. Для этого

можно воспользоваться, например, методом простой итерации:

(1) (1)









0s 

() ( , )

yhft yg

 



. (4.4)





() ( , )

Так как выполнено

yhft y



() 1y



и метод (4.4) сойдется.

, то при некотором малом h будет



Нередко, когда жесткость задачи весьма умеренная, можно отказаться от использования чисто неявных схем, расширив область устойчивости явных методов. Это можно сделать с помощью методов прогноза и коррекции, когда, как уже отмечалось ранее, начальное приближение для схемы (4.4) вычисляют с помощью явного метода и выполняют всего одну итерацию

(4.4). Методы прогноза и коррекции позволяют интегрировать с существенно большими шагами, чем при использовании чисто явных схем. Этим они и заслужили свою популярность. Отметим, что и для многошаговых методов Адамса можно существенно повысить эффективность, интегрируя с переменным шагом.



























5. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Обычно при численном моделировании реальных задач необходимо решать не одно дифференциальное уравнение, а систему дифференциальных уравнений. То есть одновременно находить значения не-

()

скольких функций изводные второго и более высоких порядков (по t). При этом порядок

таких уравнений (равный максимальному порядку производной), как правило, может быть понижен с помощью дополнительных уравнений



() ()yt zt



вида После чего систему можно представить в виде:

и соответствующих замен в исходных уравнениях.

. Причем в эти уравнения могут входить про-

( ) , ( ), ( ),..., ( )

yt f tyt y t y t

1112

( ) , ( ), ( ),..., ( )

yt f tyt yt y t

2212

, (5.1)

...,

( ) , ( ), ( ),..., ( )

yt f tytyt yt

mm m

Системы вида (5.1) называются системами обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Пусть решение (5.1) ищется на отрезке

, ttT



писи. Тогда система (5.1) и начальные условия (5.2) примут вид:

, и при

Чтобы упростить изложение материала, перейдем к векторной за-

заданы начальные условия:

()yt y

10 10

()yt y

20 20

() (, ())ttt

yfy

, ...,

; (5.3)

yt y



()

. (5.2)









































fy fy



yy y





( ) ( ( ), ( ),..., ( ))

где

01020 0

tytyt yty

( , ,..., )

yy yy

tfttftt ftt

fyy y

Если вектор-функция

, ttT



и произвольных комплекснозначных векторов

полняется условие Липшица

()t

, (5.4)

( ) ( ), ( ),..., ( )

, , , ,..., ,

 

tytyt yt



(, )tfy определена и непрерывна и для всех

вы-

(, ) (, )ttL

1212

тогда для каждого начального значения решение

()ty задачи (5.3), (5.4).

Можно показать, что если функции

, ,...,

(, )

yy y

ft f t f t



11 1

yy y



 

ft f t f t



22 2

yy y





ференцируемы по постоянной

L тогда и только тогда, когда матрица Якоби



 

 

ft f t f t

my my my



удовлетворяет неравенству

, условие Липшица (5.5) выполняется с

(, ) (, ) ... (, )



(, ) (, ) ... (, )

... ... ... ...

(, ) (, ) ... (, )



(, )



существует единственное

, ,...,

0L 

, (5.5)

непрерывно диф-

. Существует также односто-

роннее условие Липшица, определяемое неравенством

Re ( , ) ( , ), ttfy fy yy y y



121212

. (5.6)

Оно менее ограничительно, чем условие (5.5), но тоже обеспечивает единственность решения

0

влетворяет (5.6) при

, то соответствующая система (5.1) называ-

()ty

. Если вектор-функция

(, )t

ется диссипативной.

Рассмотрим возмущенную систему:



( )() (, ()) ()ttt t

yfy ; (5.7)

удо-

()tyy

. (5.8)

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]