Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численное моделирование динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Учебное пособие
.pdf
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение
j
этой задачи устойчиво по Ляпунову, если комплексный параметр
удовлетворяет условию
Re 0
.
Re 0
, и асимптотически устойчиво, если
Дискретный метод (1.5), примененный к задаче (1.22), приобретает
вид
kk
zh
где
nnn
. Уравнение (1.23) линейно и поэтому будет верным и для
*
yy
1
h
yzy
jj
nj j nj
00
. Введя функцию
k
0
j
()
1
11
() ()
zzz
jjj
() 0
z
. (1.24)
jnj
, (1.23)
, получим
Уравнение (1.24) – это линейное однородное разностное уравнение.
Поэтому для того чтобы при фиксированном
валась ограниченной при
n
, необходимо и достаточно выполне-
погрешность
оста-
n
z
ние корневого условия для отвечающего уравнению (1.24) полинома.
Метод (1.5) называется
zh
, если все корни полинома устойчивости
Pq z zq
абсолютно устойчивым для данного
k
(, ) () 0
0
j
kj
j
(1.25)
лежат в комплексной плоскости внутри единичного круга и на границе
этого круга нет кратных корней. Множество точек комплексной плоскости, состоящее из тех
для которых метод абсолютно устойчив,
,z
называют областью абсолютной устойчивости метода.
Методы, для которых уменьшением шага
дания
устойчивыми
z
в область абсолютной устойчивости, называются условно
.
h
можно добиться попа-
Чтобы при решении устойчивой по Ляпунову модельной зада-
,h
чи (1.22) метод был устойчивым для любых
необходимо потребо-
вать, чтобы область абсолютной устойчивости метода включала в себя
полуплоскость
ваются
A-устойчивыми.
Re 0z
. Методы, обладающие таким свойством, назы-
11
СХОДИМОСТЬ
Еще одним важным для любого численного метода свойством яв-
()
yt y
ляется
Эту функцию называют глобальной погрешностью (или просто по-
грешностью) численного метода. В качестве меры абсолютной по-
грешности метода примем величину
сходимость. Рассмотрим сеточную функцию
nnn
.
Численный метод решения задачи Коши называют сходящимся, ес-
() 0Eh
ли
говорят, что метод сходится с
p-й порядок точности).
Доказано, что для устойчивого численного метода решения задачи
Коши из наличия аппроксимации с порядком p следует сходимость с
тем же порядком в предположении, что начальные значения заданы
достаточно точно.
Обычно для задачи Коши известно лишь одно начальное условие (1.2). И для многошаговых методов остальные стартовые
приходится вычислять с помощью одношаговых методов. Поэтому,
если шаг интегрирования постоянен, чтобы многошаговый метод
сходился с соответствующим порядком,
зуемые «для разгона» одношаговые методы имели порядок аппроксимации не ниже порядка аппроксимации основного многошагового
метода
значения является использование для их вычисления более мелкого
шага интегрирования.
Важное замечание. Все сказанное в этой главе касаемо поведения
погрешности
числениях с вещественными числами на ЭВМ
грешности показано в следующей главе на примере простого явного
метода Эйлера.
при
. Другим способом получить достаточно точные стартовые
не учитывает погрешность, возникающую при вы-
Eh
max
n
0h
. Если при этом
p-м порядком точности (или имеет
0 nN
,
Eh Сh
необходимо, чтобы исполь-
. (1.26)
()
p
. Влияние этой по-
0p
,
0h
,
значения
, то
12
2. МЕТОД ЭЙЛЕРА
Если положить в (1.5)
1k
, то получим одношаговый метод:
Получается, что для вычисления
чение
y
известно, поскольку является начальным условием. Следова-
0
1
( ) ( , , , )
yytyyh
01 1 1
nnnnn
h
нужно знать лишь
1ny
. (2.1)
y
. Зна-
n
тельно, для начала вычислений с помощью одношаговых методов не
требуется никакой дополнительной информации. Поэтому одношаговые методы также называют самостартующими.
1
Выберем
в левой части
,
0
, получаем явный метод Эйлера:
1ny
Если в правой части (2.2)
1
1
yyhfty
nn nn
( , , , ) ( , ( ))
tyy h ftyt
,
nnn n n
1
t
y
и
n
n
1
(, )
заменить на
. Уединяя
. (2.2)
t
y
и
1n
соответ-
1n
ственно, то получится неявный метод Эйлера:
yyhfty
111
nn nn
(, )
. (2.3)
Методы Эйлера имеют наглядную геометрическую интерпретацию
(рис. 1).
Из рис. 1 видно, что в методе Эйлера новое значение
ется из предыдущего
тельной к
()yt
в точке
ной касательной в точке
y
движением вдоль прямой, являющейся каса-
n
(, )
ty
для явного метода и прямой параллель-
nn
(, )
ty
11
nn
– для неявного. Можно также за-
y
получа-
1n
метить, что вычисленные по явному и неявному методам значения
13
()
оказываются по разную сторону от истинного значения
1ny
yt
1
n
что справедливо для любой гладкой функции при условии достаточной
малости шага
tt
ченные явной и неявной схемой, мы получим значение
. Очевидно, что усреднив направления, полу-
1nn
y
с более
1n
высокой точностью. Эта схема называется правилом трапеций, она
имеет следующий вид:
,
yy ftyfty
111
nn nn nn
h
(, ) ( , )
2
. (2.4)
а б
Рис. 1. Явный (а) и неявный (б) методы Эйлера
Формулы (2.2)–(2.4) могут быть получены следующим образом.
Интегрируя обе части исходного уравнения (1.1) на отрезке
получаем
tt
11
nn
() (, ())
y t dt f t y t dt
tt
nn
С помощью формулы Ньютона–Лейбница из (2.5) получаем
tt
. (2.5)
,
nn
,
1
t
1
n
()() (, ())
yt yt f t yt dt
nn
1
t
n
. (2.6)
Аппроксимируя правую часть (2.6) с помощью различных квадратурных формул, можно получить соответствующие методы (2.2)–(2.4).
14
Использование формулы левых прямоугольников дает явную схему
Эйлера. Формула правых прямоугольников дает неявную схему Эйлера, а формула трапеций дает схему (2.4), откуда та и получила свое
название.
Схема (2.4) является более точной по сравнению с (2.2) и (2.3), но
как и (2.3) является неявной. Однако уточнить решение, получаемое
явным методом Эйлера, можно и не прибегая
y
этого в правой части (2.4) вместо
к нему значение
y
, полученное с помощью явного метода Эйлера.
1n
можно использовать «близкое»
1n
к неявной схеме. Для
Сделав такую замену, мы получим модифицированный метод Эйлера
(он же метод Эйлера–Коши, он же метод Хьюна):
yy ftyftyhfty
11
n n nn n n nn
h
(, ) ( , (, ))
2
. (2.7)
Другим способом уточнить направление можно, вычислив его в
точке
ty
1/ 2 1/ 2
nn
, 1/ 2
tth
nn
/2
. Значение
вычисляется с
1/ 2ny
(, )
помощью явного метода Эйлера. Соответствующая схема называется
усовершенствованным методом Эйлера (рис. 2) и имеет вид
yyhft y fty
11/2
nn n n nn
h
, ( , )
2
. (2.8)
Она также может быть получена из (2.6) с помощью формулы центрального прямоугольника.
Рис. 2. Усовершенствованный метод Эйлера
15
Вернемся еще раз к схеме (2.7). Эта схема является простейшим
M
M
представителем семейства методов, называемых методами прогноза и
коррекции (методами типа предиктор-корректор). Понять смысл та-
кого названия методов можно, разбив вычисления в правой части (2.7)
на два этапа. На первом этапе (прогноза) с помощью явной схемы вы-
числяется значение
y
, которое мы обозначим как
1n
y
:
1n
yyhfty
1
nn nn
(, )
. (2.9)
На втором этапе (коррекции) используется неявная схема, в которую в правой части вместо
y
подставляется значение
1n
y
, полу-
1n
ченное на этапе прогноза:
yy ftyfty
111
nn nn nn
h
(, ) ( , )
2
. (2.10)
Отметим, что использование формул неявных схем в методах прогноза-коррекции не делает их неявными. Если мы продолжим исполь-
зовать формулу (2.10), подставляя в ее правую часть значение
y
1n
вычисленное по ней же, то получится, что мы просто решаем нелинейное уравнение (2.4) методом простой итерации. И если он сойдется, то
мы получим соответствующий неявный метод.
Покажем, что метод (2.2) имеет первый порядок аппроксимации.
Из разложения в ряд Тейлора функции
()yt в окрестности точки
t
n
следует, что
()()
где
nnn
(, )
tt
yt h yt
tth
,
1
ность аппроксимации
nn
yt y
22
1nn
n
. Учитывая (2.2), получаем что погреш-
равна:
h
() ( )
nn
, (2.11)
,
Отсюда
()()
yt h yt
nnnn
max
nN
0
nn
ft yt y
(, ()) ( )
h
. (2.12)
22
n
,
16
h
2
max ( )
,
tT
0
yt
. (2.13)
То есть метод (2.2) имеет первый порядок аппроксимации.
f
Если вспомнить, что локальная погрешность явного метода связана
lh
с погрешностью аппроксимации формулой
nn
, то для мето-
да (2.2) получается, что
2
h
ly
nn
2
. (2.14)
()
Следовательно, локальная погрешность метода (2.2) имеет второй
h
порядок малости относительно
.
Несложно также показать, что метод (2.3), как и метод (2.2), имеет
первый порядок аппроксимации, а методы (2.4), (2.7) и (2.8) – второй.
Метод (2.2) устойчив (согласно (1.15)) на конечном отрезке
при условии, что
(условие Липшица). Так как метод (2.2)
L
y
, tT
0
устойчив и имеет первый порядок аппроксимации, то он сходится с
первым порядком точности и для него справедлива оценка глобальной
погрешности:
()
LT t
0
max ( ) ( )
yt y CT h
nN
0
nn
,
CT y t
e
. (2.15)
() max ()
2
,
tT
0
Применительно к модельному уравнению (1.22) расчетная формула
простого явного метода Эйлера принимает вид
yyhy
1nn n
. (2.16)
Соответствующее ей разностное уравнение для погрешности:
(1 ) 0
h
Таким образом, полином устойчивости
один простой корень
чивости простого явного метода Эйлера состоит из тех
которых
11z
, т. е. представляет собой круг единичного радиуса
в комплексной плоскости с центром в точке
1
nn
1qz
. Поэтому область абсолютной устой-
. (2.17)
(, ) (1 )Pq z q z
zh
1z
(рис. 3, а, за-
0
имеет
, для
штрихованная область). Аналогичным образом можно показать, что
полином устойчивости для простого неявного метода Эйлера
17
(, ) (1 ) 1Pq z z q
имеет единственный корень
(1 )qz
1
, что
определяет область абсолютной устойчивости метода, показанную на
рис. 3, б.
а б
Рис. 3. Области абсолютной устойчивости явного (а) и неявного (б)
простых методов Эйлера
Область абсолютной устойчивости метода (2.4) показана на рис. 4, а.
Области абсолютной устойчивости методов (2.7) и (2.8) совпадают и
имеют вид, показанный на рис. 4, б.
а б
Рис. 4. Области абсолютной устойчивости для правила трапеций (а)
и для модифицированного и усовершенствованного методов Эйлера (б)
18
ВЛИЯНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ
M
E
При реализации численных методов на ЭВМ важно оценивать влияние на вычисление ошибки округления вещественных чисел. Так при
y
реализации простого явного метода Эйлера вместо значений
тически будут вычисляться значения
фак-
1n
Величины
** *
yyhfty
nn nnn
1
учитывают вклад погрешности округления. Соотно-
n
,
. (2.18)
шение (2.18) можно рассматривать как возмущенное уравнение (1.13)
/
h
с
nn
. Тогда справедлива следующая оценка влияния погреш-
ности округления:
где
()/NTt h
величины
yt y E h e T t h
max ( ) ( ) ( )
nN
0
0
. График
n
*
nnT
,
max ( )
tT
T
yt
,
0
()
h
схематически приведен на рис. 5.
()
LT t
0
, а – некоторое среднее значение
M
0
, (2.19)
h
2
Рис. 5. Поведение погрешности, свя-
занной с округлением чисел на ЭВМ
Из рис. 5 видно, что полная погрешность убывает с уменьшением
h
шага
только лишь до некоторого
некоторым значением
E
. Дальнейшее уменьшение шага приведет
min
h
, и поэтому ограничена снизу
опт
лишь к резкому росту полной погрешности.
19
3. МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ
Согласно формуле (2.6)
Возьмем на отрезке
(1)
tt h
1
m
,
1nn
. Заменяя интеграл в правой части (3.1) соответствующей
квадратурной формулой, получаем
()() (, ())
yt yt f t yt dt
(2)
tt h
nn
1
,
tt
nn
, ...,
2nn
t
1
n
t
n
m
1
()m
tt h
nnm
вспомогательных узлов:
, где
. (3.1)
0 ...
12
m
c
– это коэффициенты квадратурной формулы, а значения
где
i
()() ,
yt yt h c f t y t
nninn
1
i
1
ii
() ()
, (3.2)
yt
()i
n
могут быть определены как
()
i
t
i
()
y t yt f t yt dt
nn
() (, ())
Заменяя для каждого
ющими квадратурными формулами с узлами
n
,
t
n
интеграл в правой части (3.3) соответству-
i
2,3,..., .im
(1) ( 2) ( 1)
, ,...,
tt t
nn n
(3.3)
i
, полу-
чим приближенные равенства:
(2) (1) (1)
yt yt h f t yt
nn nn
() ,
20
21
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]