Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Типовые задачи. Учебное пособие
.pdf
Показать, что пространства ⟨X, ∥ · ∥1⟩ и ⟨X, ∥ · ∥2⟩ не являются полными. Найти их пополнения.
4.13. В цепочках пространств из задач 2.20, 2.25 найти пополнение предыдущего по норме последующего. Например, для пары ℓ1⊂ ℓpнужно найти пополнение
пространства X = {x = {ξk} :
ме ∥x∥p= (
∞
k=1
|ξk|p)
1/p
.
∞
|ξk| < ∞} по нор-
k=1
4.14. Описать пополнение пространства вещественных алгебраических многочленов от переменной t, снабженного
нормой
а) ∥p∥ = max
б) ∥p∥ = max
в) O ∥p∥ = max
г) O ∥p∥ = max
д) ∥p∥ = max
е) O ∥p∥ = max
ж)O ∥p∥ =
|p(t)|;
t∈[a,b]
|p(t)| + max
t∈[a,b]
|p(t)| + |p′(a)|;
t∈[a,b]
|p(t)| + max
t∈[a,b]
|p(t)| + max
t∈[a,b]
k∈{0}∪N
(k)
∞
|p
k=0
k!
(k)
|p
(0)|
t∈[a,b]
t∈[c,d]
t∈[a,b]
(0)|
k!
+ max
t∈[−1,1]
|p′(t)|;
|p′(t)|;
|p′′(t)|;
;
|p(t)|.
4.15. Рассмотрим линейные пространства функций, определенных на вещественной прямой R:
а) C(R) – все ограниченные непрерывные функции;
б) C0(R) – все непрерывные функции, у которых
lim
x(t) = 0;
t→∞
в) C1(R) – все финитные непрерывные функции (т.е.
функции, равные нулю вне некоторого конечного
интервала).
51
В этих пространствах введем норму
∥x∥ = sup
|x(t)|.
t∈R
Будут ли эти пространства полными? Будут ли они сепарабельными?
4.16. На множестве натуральных чисел положим
1
n + m
, n = m,
0, n = m.
ρ(n, m) =
1 +
Доказать, что ⟨N, ρ⟩ – полное метрическое пространство. Построить последовательность замкнутых вложенных шаров, имеющих пустое пересечение.
4.17. Доказать, что в полном линейном нормированном пространстве любая последовательность замкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение.
4.18. Пусть f : M → P – инъективная функция, ρf(x, y) =
= |f (x)−f (y)|. Доказать, что пространство ⟨M, ρf⟩ пол-
но тогда и только тогда, когда множество f (M) замкнуто в пространстве ⟨P, ρ
⟩.
|·|
4.19. Проверить, что ⟨X, ρf⟩, где ρf(x, y) = |f (x) − f (y)|, –
метрическое пространство. Является ли оно полным?
Если нет, описать его пополнение:
а) X = R, f(x) = arctg x;
б) X = R, f(x) = x5;
в) X = [0, ∞), f(x) = ln(x + 1);
г) X = [0, ∞), f (x) = e−x;
д) X = [−1, 1), f (x) =
x, x ∈ [−1, 0],
x + 1, x ∈ (0, 1);
52
е) X = [−1, 1), f (x) =
ж) X = N, f(n) =
1
.
n
x, x ∈ [−1, 0),
x + 1, x ∈ [0, 1);
Будут ли эквивалентны метрики для пар: «а» и «б»;
«в» и «г»; «д» и «е»?
4.20. O Доказать, что метрическое пространство ⟨N, ρ⟩, где
ρ(m, n) = |ein− eim|, не является полным. Найти его
пополнение.
4.21. На множестве X заданы две эквивалентные метрики.
Сохраняются ли свойства полноты и сепарабельности
при переходе к эквивалентной метрике?
Тема 5. Непрерывные и равномерно
непрерывные отображения.
Сжимающие отображения
Определение 5.1. Пусть X и Y – метрические простран-
ства. Отображение F : X → Y называется
3 непрерывным в точке x0∈ X , если
∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 ∀x ∈ X
ρX(x, x0) < δ(ε) ⇒ ρY(F x, Fx0) < ε;
3 непрерывным на множестве M ⊂ X , если оно непрерывно
в каждой точке множества M;
3 равномерно непрерывным на множестве M ⊂ X, если
∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 ∀x1, x2∈ M
54
ρX(x1, x2) < δ(ε) ⇒ ρY(F x1, F x2) < ε.
Определение 5.2. Пусть ⟨X, ρ⟩ – метрическое простран-
ство. Отображение F : X → X называется сжимающим, если
∃α ∈ [0, 1) ∀ x, y ∈ X ρ(F x, F y) 6 αρ(x, y).
Определение 5.3. Пусть F : X → X. Точка x∗∈ X назы-
вается неподвижной точкой отображения F, если F x∗= x∗.
Теорема 5.1 (теорема Банаха). Пусть ⟨X, ρ⟩ – полное
метрическое пространство, F : X → X – сжимающее отображение. Тогда существует единственная неподвижная точка
отображения F .
Пример 5.1. Доказать, что отображение
F : C[−1, 1] → L1[−1, 1],
действующее по правилу
1
(F x)(t) = (2t − 5)x(t) − 3
−1
t−s
2
sin x(s) ds,
равномерно непрерывно на C[−1, 1].
Решение. Представим отображение F в виде F = G + H ,
где
1
(Gx)(t) = (2t − 5)x(t), (Hx)(t) = −3
−1
t−s
2
sin x(s) ds.
Докажем, что отображения G и H равномерно непрерывны на
C[−1, 1], тогда и отображение F будет равномерно непрерыв-
ным на C [−1, 1]. Пусть x1, x2∈ C[−1, 1]. Тогда
|(Gx1)(t) − (Gx2)(t)| = |(2t − 5)(x1(t) − x2(t))| 6
6 |2t − 5| · |x1(t) − x2(t)| 6 7∥x1− x2∥
C[−1,1]
55
и, следовательно,
1
∥Gx1− Gx2∥
L1[−1,1]
=
|(Gx1)(t) − (Gx2)(t)|dt 6
−1
6 14∥x1− x2∥
C[−1,1]
.
Из этой оценки следует равномерная непрерывность G на
C[−1, 1]. Для отображения H имеем
|(Hx1)(t) − (H x2)(t)| =
6 3
6 6 · 2
−1
1
2
t
t−s
1
· 2
x1(s) − x2(s)
sin
|x1(s) − x2(s)|ds 6 12∥x1− x2∥
−1
1
3
t−s
2
−1
2
(sin x1(s) − sin x2(s)) ds
x1(s) + x2(s)
·
cos
2
C[−1,1]
· 2t.
ds 6
6
Таким образом,
1
∥Hx1− H x2∥
6 12∥x1− x2∥
L1[−1,1]
C[−1,1]
=
|(Hx1)(t) − (H x2)(t)|dt 6
−1
1
2tdt 6 48 · ∥x1− x2∥
−1
C[−1,1]
и отображение H также равномерно непрерывно на C[−1, 1]. ,
Пример 5.2. Исследовать на равномерную непрерывность
и непрерывность отображения
а) (F x)(t) = e
−|x(t)|
; б) (Gx)(t) = x2(t) − x(t) + 1,
действующие из C [a, b] в C[a, b].
Решение. Так как функции
f(x) = e
−|x|
и g(x) = x2− x + 1
непрерывны на R, то порождаемые ими отображения F и
G непрерывны в C[a, b], а равномерная непрерывность этих
56
отображений на C[a, b] эквивалентна равномерной непрерывности функций f и g на R (см. задачу 5.5).
а) Функция f дифференцируема на (−∞, 0] и на [0, +∞).
На каждом из этих множеств |f′(x)| 6 1. Следовательно, функция f равномерно непрерывна на (−∞, 0] и на [0, +∞). В силу
непрерывности f на R, она равномерно непрерывна на R. Следовательно, отображение F равномерно непрерывно на C[a, b].
б) Функция g(x) = x2−x + 1 не является равномерно непре-
рывной на R, так как последовательности x
1
n
′′
n
| =
′
n
− x
2n +
1
−−−→
n
′′
| · |x
n
1
n
n→∞
− 1
′
n
0, но
+ x
−−−→
n→∞
обладают свойством |x
|g(x
′
) − g(x
n
′′
n
′
− x
n
)| = |x
=
′
= n и x
n
′′
− 1| =
n
2 = 0.
′′
= n +
n
1
n
Значит, и отображение G из C[a, b] в C[a, b], порождаемое функцией g, не является равномерно непрерывным.
Приведем прямое доказательство непрерывности отображения G на C[a, b] (без ссылки на задачу 5.5). Пусть ε > 0 и
x0∈ C[a, b], тогда для любой функции x ∈ C[a, b] со свойством
∥x − x0∥ 6 1 имеем
|(Gx)(t) − (Gx0)(t)| = |(x2(t) − x(t) + 1) − (x
2
(t) − x0(t) + 1)| =
0
= |x(t) − x0(t)| · |x(t) + x0(t) − 1| 6
6 |x(t) − x0(t)| · (|x(t) − x0(t)| + 2|x0(t)| + 1).
Следовательно,
∥Gx − Gx0∥ = max
|G(x)(t) − G(x0)(t)| 6
t∈[a,b]
6 ∥x − x0∥ · (∥x − x0∥ + 2∥x0∥ + 1) 6
6 (2 + 2∥x0∥)∥x − x0∥.
Из этой оценки следует, что отображение G непрерывно на
C[a, b]δ(ε) = min1,
2 + 2∥x0∥
ε
. ,
57
Пример 5.3. Доказать, что бесконечная система линей-
ных алгебраических уравнений
∞
23 ·
k=1
k+m
5
1
ξk−
2
= ξm, m = 1, 2, . . . ,
m
имеет единственное решение в пространстве ℓ2.
Решение. Введем оператор A : ℓ2→ ℓ2,
∞
ξ
k
.
m=1
Ax =23 ·
∞
k=1
5
1
k+m
Это оператор сжатия (см. задачу 5.16 «а»), так как
∞
k,m=1
Полагая y0=
k+m
5
23
2
m
2
= 23
∞
2
∞
k=1
25
∞
1
k
m=1
25
1
m
=
23
24
2
2
< 1.
, Bx = Ax − y0, запишем исходную
m=1
систему уравнений в операторном виде:
Bx = x. (5.1)
Так как
ρ(Bx, By) = ∥Bx − By∥ = ∥Ax − Ay∥ = ρ(Ax, Ay)
и A – оператор сжатия, то и B – оператор сжатия. Следовательно, по теореме Банаха (см. теорему 5.1) операторное уравнение
(5.1), а значит, и исходная система уравнений, имеет единственное решение в пространстве ℓ2. ,
5.1. Является ли непрерывным на своей области определения отображение F x = x(1), если
a) F : C[0, 1] → ⟨R, ρ
⟩; б) F :L1[0, 1] → ⟨R, ρ
|·|
⟩?
|·|
58
5.2. Исследовать на непрерывность и равномерную непрерывность отображение (F x)(t) = x2(t) на области определения:
a) F : C[0, 1] → C[0, 1]; б) F : C[0, 1] →L1[0, 1];
в) F :L1[0, 1] →L1[0, 1].
5.3. Показать, что отображение (F x)(t) = x′(t) − 3x(t)
непрерывно на своей области определения, если
F : C1[a, b] → C[a, b], и не является непрерывным, ес-
ли F : C1[a, b] ⊂ C[a, b] → C[a, b].
5.4. Пусть X , Y – метрические пространства, F : X → Y .
Докажите, что F не является равномерно непрерывным
на X тогда и только тогда, когда найдутся последовательности {x
ρY(F x
′
n
, F x
′
n
′′
) → 0 при n → ∞.
n
}, {x
′′
} ⊂ X такие, что ρX(x
n
′
, x
n
′′
) → 0, а
n
5.5. Пусть отображение F : C[a, b] → C[a, b] определено
формулой (F x)(t) = f(x(t)), где f : R → R. Доказать,
что отображение F непрерывно (равномерно непрерывно) на C[a, b] тогда и только тогда, когда функция f
непрерывна (равномерно непрерывна) на R.
5.6. Исследовать на равномерную непрерывность на C[0, 2]
отображение F : C[0, 2] → C[0, 2], если
a) (F x)(t) =
3
x(t);
б) (F x)(t) = x3(t);
в) (F x)(t) = arctg x(t);
г) (F x)(t) = cos x2(t);
д) (F x)(t) =
е) (F x)(t) =
x2(t)
1 + x4(t)
2
;
(t + s) ln(1 + 3x2(s)) ds.
0
59
5.7. Исследовать на равномерную непрерывность на C[0, 2]
отображения «а»–«е» из задачи 5.6, если F : C [0, 2] →
L1[0, 2].
5.8. Исследовать на непрерывность на области определения
отображения
а) F : C1[0, 3] ⊂ C[0, 3] → C[0, 3],
(F x)(t) = x(2) − 5
t
2sx′(s)ds;
0
б) F : C1[0, 1] → C1[0, 1],
t
(F x)(t) = 3x(t) +
ln(1 + s) x(s) ds;
0
в) F : C1[0, 1] ⊂ C[0, 1] → C1[0, 1],
t
(F x)(t) = 3x(t) +
г) F : C[0, 1] → C1[0, 1],
(F x)(t) = cos t ·
ln(1 + s) x(s) ds;
0
1
(s2+ 4) x(s) ds.
t
5.9. Будет ли отображение F : R → R сжимающим на мно-
жестве M ⊂ R, если F x = x3, метрика на R естественная,
a) M =−
1
1
,
; б) M = [0, 2]; в) M =−
2
2
√
1
1
√
,
3
3
5.10. Пусть вещественная функция f дифференцируема
на R. Доказать, что f – сжимающее отображение в пространстве ⟨R, ρ
⟩ тогда и только тогда, когда существу-
|·|
ет α ∈ [0, 1) такое, что |f′(x)| 6 α для всех x ∈ R.
?
5.11. Пусть вещественная функция f дифференцируема
на R. Доказать, что уравнение f (x) = x имеет единственное решение на R, если
sup
|f′(x)| < 1 или inf
x∈R
|f′(x)| > 1.
x∈R
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]