Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Типовые задачи. Учебное пособие
.pdf
Тема 18. Исследование некоторых
операторов
Дополнительно к изложенному в предыдущих темах теоретическому материалу при решении задач могут оказаться полезными следующие факты.
Пусть H, H1– гильбертовы пространства, A ∈ L(H, H1).
Тогда ∥A∥2= ∥A⊗A∥.
Если A ∈ L(H ), A = A⊗и A – компактный оператор, то
∥A∥ = max{|λ|: λ ∈ σd(A)}.
18.1. Пусть P = R, A : L
Найти оператор A−1. Будут ли операторы A и A
непрерывными, ограниченными, равномерно непрерывными, компактными, вполне непрерывными?
18.2. Пусть {ek}
∞
– ортонормированная система в гиль-
k=1
бертовом пространстве H, ξk= (x, ek) для x ∈ H,
Aj: H → ℓ2, j = 1, 2, A1x = {ξk}
[0, 1] → L1[0, 1], k ∈ N,
2k+1
(Ax)(t) = x
2k+1
(t).
∞
k=1
, A2x = {ηk}
−1
∞
k=1
181
,
где ηk=
0, k = 2ℓ − 1, ℓ ∈ N;
Доказать, что опе-
ξℓ/ℓ, k = 2ℓ.
раторы A1и A2непрерывны. Будут ли они вполне
непрерывными? Найти ∥Aj∥, A
⊗
, j = 1, 2, и A
j
−1
j
, ес-
ли они существуют.
18.3. Пусть H – гильбертово пространство, H1– его подпро-
странство; H2= H
⊥
, Aj∈ L(Hj), j = 1, 2, A = A1+A2.
1
Доказать, что ∥A∥ = max{∥A1∥, ∥A2∥}.
+ В задачах 18.4–18.10 провести исследование операторов:
1. Являются ли они непрерывными, замкнутыми, ограни-
ченными, компактными, вполне непрерывными?
2. Существует ли A−1? Если да, то найти его.
3. Найти норму для ограниченных операторов.
4. Найти спектр оператора A (кроме 18.5, 18.9).
5. В задачах 18.4, 18.7, 18.8, 18.10 найти сопряженный опе-
ратор.
t
18.4. A: L2[0, 1] → L2[0, 1], (Ax)(t) =
18.5. A: L[0, 1] → C[0, 1], (Ax)(t) =
x(s) ds.
0
t
x(s) ds − 3x(t).
0
18.6. A: D(A) ⊂ C[0, 1] → C[0, 1],
D(A) = {x ∈ C1[0, 1], x(0) = 0},
(Ax)(t) = x′(t) + φ(t) x(t), φ ∈ C[0, 1].
18.7. A: L2[0, 1] → L2[0, 1],
1
(Ax)(t) =
(s ln t − t ln s) x(s) ds.
0
18.8. A: ℓ2→ ℓ2,
ξ
ξ
1
Ax =0,
2
,
, . . . ,
2
3
182
ξ
k
k + 1
, . . .;
B : D(B) ⊂ ℓ2→ ℓ2, D(B) = {x ∈ ℓ2: Bx ∈ ℓ2},
Bx = (2ξ2, 3ξ3, . . . , kξk, . . .).
18.9. A: C[−1, 1] → C[−1, 1] ,
(Ax)(t) =
t
−1
x(s) ds −
1
0
sx(s) ds.
18.10. A: ℓ2→ ℓ2, Ax = (ξ1− ξ2, ξ2− ξ3, ξ3− ξ4, . . .).
Тема 19. Обобщенные функции
Определение 19.1. Носителем функции φ : R → P назы-
вается множество supp φ = {x ∈ R : φ(x) = 0}.
Множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем обозначают D. Функции, принадлежащие D, образуют линейное пространство. В пространстве D
определим сходимость. Последовательность {φn} ⊂ D сходится к функции φ ∈ D, если существует компакт K такой, что
носители всех функций φnи функции φ содержатся в K и для
любого m = 0, 1, 2, . . . последовательность φ
n → ∞. Пространство с такой сходимостью называется про-
странством основных функций и обозначается также D.
Обобщенной функцией или распределением на R называется
всякий линейный секвенциально непрерывный функционал на
пространстве основных функций D. Множество обобщенных
функций обозначают D′.
На множестве D′рассматривают *слабую сходимость, т.е.
последовательность обобщенных функций {fn} ⊂ D′сходится
к f ∈ D′, если
(m)
n
K
⇒ φ
(m)
при
184
∀φ ∈ D ⟨φ, fn⟩ −−−→
n→∞
⟨φ, f⟩.
Пространство D′с такой сходимостью называется пространством обобщенных функций произвольного роста.
Всякая интегрируемая на любом отрезке (компакте) функция f : R → P порождает обобщенную функцию {f} по формуле
∀φ ∈ D ⟨φ, {f }⟩ =
φ(x)f(x) dx.
R
Такие обобщенные функции называются регулярными. Все
остальные обобщенные функции называются сингулярными.
Определение 19.2. Произведение функции α ∈ C∞(R) на
обобщенную функцию f определяется формулой
∀φ ∈ D ⟨φ, α · f ⟩ = ⟨α · φ, f⟩.
Определение 19.3. Производной Dmf порядка m обобщенной функции f называется функционал, определяемый
формулой
∀φ ∈ D′⟨φ, Dmf⟩ = (−1)m⟨Dmφ, f⟩.
Нетрудно проверить, что Dmf – снова обобщенная функция.
Теорема 19.1 (свойства операции дифференцирования).
1. Dm– линейный секвенциально непрерывный оператор,
действующий в D′.
2. Всякая обобщенная функция имеет производные всех по-
рядков.
3. Если функция f непрерывно (кусочно непрерывно) диф-
ференцируема, то D{f } = {Df }.
4. Если функция α бесконечно дифференцируема на R, то
D(α · f ) = Dα · f + α · Df.
185
Теорема 19.2 (о существовании первообразной
обобщенной функции). Пусть f ∈ D′. Тогда существует
g ∈ D′такая, что Dg = f. При этом если Dg = Dg1, то
g − g1= const.
Примеры обобщенных функций:
1) δ-функция:
⟨φ, δ⟩ = φ(0);
δ(x − c) – сдвинутая δ-функция:
⟨φ, δ(x − c)⟩ = φ(c);
2) χ – функция Хевисайда:
∞
⟨φ, χ⟩ =
φ(x) dx;
0
−ε
φ
1
x
−∞
φ(x)
:
∞
dx
x
φ(x)
+
1
x
ε
dx =
R
φ
φ(x)
dx
x
=
R
φ
−R
φ
φ(x) − φ(0)
x
dx,
3) функция P
= lim
φ, P
ε→+0
1
x
= V.p.
−R
где Rφтакое, что supp φ ⊂ [−Rφ, Rφ].
Пример 19.1. Найти производную от распределения
f(x) =
ln x, x > 1;
x, x 6 1.
Распределение f является регулярным, поэтому по определению производной мы получаем равенства
⟨φ, Df ⟩ = −⟨Dφ, f ⟩ = −⟨φ′, f⟩ = −
φ′(x)f(x) dx.
R
186
Возьмем этот интеграл по частям и учтем, что lim
−
φ′(x)f(x) dx = −
R
1
= − φ(x)x
−∞
= − φ(1) +
−∞
Положим g(x) =
+
−∞
1
φ(x) dx +
1
x
1, x 6 1,
1
φ′(x)x dx −
1
−∞
φ(x) dx − φ(x) ln x
∞
φ(x)
x
1
, x > 1;
тогда производная f запишет-
dx.
x→±∞
∞
φ′(x) ln x dx =
1
∞
+
1
∞
1
φ(x) = 0:
φ(x)
dx =
x
ся в виде Df(x) = −δ(x − 1) + g(x).
19.1. Найти производные первого порядка от распределений
a) χ(t); б) sign t; в) δ(t − t0); г) |t|; д) ln |t|;
e) χ(t) cos t; ж) f (t) =
et, t > 0;
1, t 6 0;
з) f (t) =
ln(t + 1), t > 0;
et, t < 0.
19.2. Найти производные третьего порядка от распределений
a) f (t) =
2et, t 6 0;
1 + 2t, t > 0;
б) f (t) = |t3− 1|; в) f(t) = |t| · sin t; г) |t2− 4|.
19.3. Найти производные порядка m от распределений
а) δ(t); б) |t|; в) χ(t) cos t; г) χ(t)t
m+k
.
19.4. Найти пределы следующих функций в пространстве D
при ε → +0:
1
, |t| 6 ε;
a) fε(t) =
2ε
0, |t| > ε;
187
′
б) fε(t) =
ε
π(t2+ ε2)
; в) fε(t) =
1
t
sin
t
.
ε
19.5. Решить уравнения в пространстве D′:
а) t · f(t) = 0; б) (t − 1) · f (t) = 0;
в) t · f(t) = 1; г) (t − 1) · t · f (t) = 0.
19.6. Решить дифференциальные уравнения в пространстве D′:
а) t · f′(t) = 1; б) t2· f′(t) = 1; в) t2· f′(t) = δ(t);
г) f′(t) − t · f (t) = δ′′(t); д) f′(t) + t · f (t) = δ′(t).
Ответы
Тема 1
1.8. a) Да; б) нет. 1.9. Да. 1.10. Да.
1.14. f строго монотонна. 1.15. f инъективно.
1.16. a) f знакопостоянна и ни на каком интервале не равна
тождественно 0;
б) f эквивалентна знакопостоянной функции и ни на
каком интервале не эквивалентна 0.
1.18. a), б) Нет; в), г) да.
1.19. а), в) α, β > 0; б) α, β = 0.
1.23. a), в) Нет; б), г), д) да.
1.24. a), б), г), д) Да; в) нет.
1.30. Нет. 1.32. Да. 1.38. Нет. 1.39. Да.
1.40. В пространстве ⟨X, ρT⟩ все множества открыты и замк-
нуты одновременно.
1.45. Утверждения 1.41, 1.42 – да; 1.43, 1.44 – не всегда.
1.46. ∅, X.
1.47. а) Неограниченное, неоткрытое, незамкнутое;
б), д) ограниченное, неоткрытое, незамкнутое;
в) неограниченное, неоткрытое, замкнутое;
г) неограниченное, открытое, незамкнутое.
1.48. а) Ограниченное, открытое, незамкнутое;
б) ограниченное, неоткрытое, незамкнутое;
в), д) неограниченное, неоткрытое, замкнутое;
г) неограниченное, неоткрытое, незамкнутое;
е) неограниченное, открытое, незамкнутое.
189
1.49. а) Неоткрытое, замкнутое;
б), в) неоткрытое, незамкнутое.
1.50. M может быть как открытым, так и замкнутым;
N замкнуто (в том числе пустое множество).
1.51. а), б) Да.
Тема 2
2.11. Эквивалентна равномерной сходимости на отрезке [a, b]
самой последовательности и последовательностей производных с 1-й по k-ю.
2.12. Да.
2.14. a) Ни в каких; б) во всех, кроме ℓ1;
в) ни в каких, если α 6 0; в c0, c, m, если α > 0;
в ℓp, если αp > 1;
г) в c0, c, m; д) в c, m; е) в m;
ж) ни в каких, если α 6 0; в c0, c, m, если α > 0; в ℓp,
если αp > 1.
2.15. а) Да; б) нет.
2.16. a) Да, во всех; б) да, во всех, кроме C1[0, 1];
в) нет, во всех, кроме L1[0, 1];
г) нет.
2.29. ∥ · ∥∞сильнее ∥ · ∥p.
2.30. а) Сходится в c0, c, ℓp, 3 < p 6 ∞;
б), в) сходится в Lp[0, 1], 1 6 p < 2.
2.32. а), б) xn– при αp < 1, yn– при α < 0.
2.33. ∥ · ∥0и ∥ · ∥1эквивалентны, ∥ · ∥2слабее их.
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]