Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Типовые задачи. Учебное пособие
.pdf
Уравнение (1∗) разрешимо для тех и только для тех y∗,
которые ортогональны каждому решению z уравнения (1◦),
т. е. ⟨z, y∗⟩ = 0.
Важными частными случаями уравнения (1) являются интегральные уравнения Фредгольма
b
x(t) =
K(t, s) x(s) ds + y(t) (17.1)
a
и Вольтерра
t
x(t) =
Ясно, что для уравнения Фредгольма оператор A задает-
ся равенством (Ax)(t) =
Вольтерра – равенством (Ax)(t) =
K(t, s)x(s) ds + y(t).
a
b
K(t, s) x(s) ds, а для уравнения
a
t
K(t, s) x(s) ds. Функция
a
K(t, s) называется ядром интегрального оператора A.
Если ядро K ∈ L2([a, b]2), то A – компактный оператор
в L2[a, b]. Если ядро K непрерывно по совокупности переменных, то A – компактный оператор в C[a, b].
Некоторые методы решения интегральных уравнений
1. Уравнения с вырожденным ядром
Ядро K(t, s) называется вырожденным, если оно представимо в виде
K(t, s) =
Можно считать, что {Pℓ}
n
Pℓ(t)Qℓ(s).
ℓ=1
n
– линейно независимая система
ℓ=1
функций.
Уравнение (17.1) в этом случае можно записать следующим
образом:
x(t) =
n
ℓ=1
Pℓ(t)
b
Qℓ(s)x(s) ds + y(t). (17.2)
a
171
b
Обозначим
Qℓ(s)x(s) ds = qℓ. Тогда, если решение уравне-
a
ния (17.1) существует, оно имеет вид
n
x(t) =
qℓPℓ(t) + y(t). (17.3)
ℓ=1
Подставив это выражение для x в уравнение (17.1), получим
для неизвестных коэффициентов {qℓ}
n
систему линейных
ℓ=1
уравнений. Решение уравнения (17.1) сводится к решению системы n линейных уравнений. Этот метод решения называют
«методом неопределенных коэффициентов».
2. Уравнения Вольтерра
Пусть P ∈ C1[a, b] и P (t) = 0, t ∈ [a, b]; Q ∈ C[a, b], тогда
для уравнений Вольтерра вида
t
x(t) = P (t)
Q(s) x(s) ds + y(t)
a
в пространстве C[a, b] нахождение решения эквивалентно решению следующей задачи Коши, если y ∈ C1[a, b]:
x(t) − y(t)
P (t)
′
= Q(t) x(t), x(a) = y(a).
3. Нахождение решений в виде ряда
Уравнение
x = λAx + y (17.4)
в случае непрерывной обратимости оператора E − λA равносильно соотношению x = (E −λA)−1y. Поэтому если ∥λA∥ < 1,
то
x =
∞
λnAny. (17.5)
n=0
Известно, что если A – оператор Вольтерра и ядро
K(t, s) ∈ C([a, b]2) или K ∈ L2([a, b]2), то в C [a, b] и в L2[a, b]
172
соответственно оператор E − λA непрерывно обратим и существуют такие число α > 0 и номер N , что для всех n > N
справедлива оценка ∥λnAn∥ 6 αn/n!. Следовательно, ряд (17.5)
сходится и его сумма является решением уравнения (17.4).
Пример 17.1. Решить интегральное уравнение
x(t) − λ
1
(ts − t2s2) x(s) ds = t2+ t
−1
4
и найти спектр соответствующего интегрального оператора в
пространстве C[−1, 1].
Решение. Ядро интегрального оператора
1
(Ax)(t) =
(ts − t2s2) x(s) ds
−1
вырожденное, поэтому уравнение можно решать методом
неопределенных коэффициентов. Вынесем функции, зависящие от t, за знак интеграла и запишем исходное уравнение в
виде
x(t) = λt
1
sx(s) ds − t
−1
1
2
s2x(s) ds+ t2+ t4. (17.6)
−1
Отсюда следует, что если решение уравнения (17.6) существует,
то оно имеет вид
x(t) = λ(t · c1− t2· c2) + t2+ t4. (17.7)
Подставив (17.7) в (17.6), получим тождество (на [−1, 1])
λ(c1t − c2t2) + t2+ t4≡
1
≡ λt
2
− t
sλ(c1s − c2s2) + s(s2+ s4)ds−
−1
1
s2λ(c1s − c2s2) + s2(s2+ s4)ds+ t2+ t4.
−1
173
Приравняв коэффициенты при t и t2, получим два уравнения:
1
c1−
−c2+
λs(c1s − c2s2) + s(s2+ s4)ds = 0,
−1
1
λs2(c1s − c2s2) + s2(s2+ s4)ds = 0.
−1
Вычислив интегралы, получим систему линейных уравнений
для нахождения c1и c2:
1 −
1 +
2
λc1= 0,
3
2
λc2=
5
24
35
.
Определитель системы ∆(λ) =1 −
24
35
3
и λ2= −
2
1 +
2
5
ся в 0 при λ1=
Если λ = λ1, λ2, то система имеет единственное решение
c1= 0, c2=
5
.
2
−1
λ
, а решением исходного уравнения
2
λ1 +
3
2
λобращает-
5
является функция
x(t) = −
Если λ =
имеет неединственное решение:
3
, то система, а значит и интегральное уравнение,
2
c1= c, c2=
Если λ = −
ние, неразрешимы.
5
, то система, а значит и интегральное уравне-
2
24λ
35 + 14λ
3
; x(t) = ct +
7
t2+ t2+ t4.
5
t2+ t4.
14
Осталось найти спектр оператора A. Оператор A явля-
ется вполне непрерывным, так как его ядро непрерывно на
174
[0, 1] × [0, 1]. Из теоремы 16.3 следует, что σ(A) = σd(A) ∪ {0}.
Итак, надо найти собственные значения оператора A, т. е. решить уравнение Ax − λx = 0. Решив его методом неопреде-
2
ленных коэффициентов, мы получим значения µ1= λ
µ2= λ
−1
2
2
= −
. Таким образом,
5
−1
1
=
3
2
σ(A) =0,
2
, −
3
. ,
5
Пример 17.2. В пространстве C[0, a] решить интеграль-
ное уравнение
t
x(t) = e
t2+2t
+ 2
0
2
t2−s
e
x(s) ds (17.8)
методом нахождения решения в виде ряда (см. (17.5)).
Решение. Уравнение (17.8) содержит интегральный оператор, который задается формулой
(Ax)(t) =
t
t2−s
e
0
2
x(s) ds =
K1(t, s) = e
t
K1(t, s) x(s) ds,
0
2
t2−s
.
,
Тогда функция
t
2
K2(t, s) =
t2−τ
e
s
τ2−s
e
2
dτ = e
является ядром оператора A2, функция
t
2
K3(t, s) =
t2−τ
e
s
τ2−s
e
2
(τ − s) dτ = e
есть ядро оператора A3, функция
(t − s)
2
Kn(t, s) = e
t2−s
(n − 1)!
t2−s
n−1
2
(t − s)
t2−s
(t − s)
2
2
2!
175
есть ядро оператора An. Отсюда
∞
λnAnx(t) =
n=0
= x(t) + λ
= x(t) + λ
∞
n=1
0
t
t2−s
e
0
t
2
t2−s
e
e
λ
2
λ(t−s)
n−1
(t − s)
(n − 1)!
x(s) ds.
n−1
x(s) ds =
Уравнение (17.8) есть уравнение вида x = λAx+y, где λ = 2,
∞
y = e
t2+2t
. Ряд
λnAnсходится, значит, решением уравнения
n=0
(17.8) является функция
t
x(t) = e
t2+2t
+ 2
0
t2−s
e
2
2(t−s)es2+2s
e
ds = e
t2+2t
(1 + 2t). ,
Пример 17.3. В пространстве C[−1, 1] решить интеграль-
ное уравнение
1
x(t) = et+
1
(ts + t2s2)x(s) ds
2
−1
методом нахождения решения в виде ряда (см. (17.5)).
Решение. Здесь
1
(Ax)(t) =
K1(t, s) x(s) ds, K1(t, s) = ts + t2s2.
−1
Ядро оператора A2имеет вид
1
K2(t, s) =
(tτ + t2τ2)(τs + τ2s2) dτ =
−1
1
=
(tτ2s + t2τ4s2) dτ =
−1
2
3
ts +
2
5
t2s2,
176
ядро A3имеет вид
K3(t, s) =
=
ядро Anимеет вид
Kn(t, s) =
Отсюда для n > 1
(λnAnx) (t) = λ
1
−1
2
3
1
−1
(tτ + t2τ2)
2
ts +
n−1
2
3
n−1
2
λ
3
2
5
ts +
ts +
2
3
2
τs +
t2s2,
2
5
2
5
2
5
n−1
λ
τ2s
n−1
2
t2s2.
t2s
dτ =
2
x(s) ds
и
∥λnAn∥ 6 2|λ|
Следовательно, если |λ| <
(E − λA)−1x(t) =
∞
= x(t) + λ
−1
n=1
= x(t) + λ
∞
2
|λ|
3
3
, то ряд
2
n−1
+
∞
n−1
2
|λ|
5
λnAnсходится и
n=0
λnAnx(t) =
n=0
1
n−1
2
λ
3
ts +
n−1
2
λ
5
t2s
−1
1
1 −
ts
+
2
λ
3
t2s
1 −
2
2
5
Решением исходного уравнения является функция
−1
x(t) =E −
1
A
2
(et) = et+
2e
3
t +
5(e2− 5)
8e
.
2
x(s) ds =
λ
x(s) ds.
t2. ,
177
+ В задачах 17.1–17.8 найти решение интегрального уравне-
ния Фредгольма с вырожденным ядром
b
x(t) − λ
K(t, s) x(s) ds = y(t)
a
и спектр соответствующего интегрального оператора в пространстве C[a, b].
17.1. K(t, s) = t2− ts, y(t) = t2+ t, [a, b] = [−1, 1].
17.2. K(t, s) = t − s, y(t) = t, [a, b] = [0, 1].
17.3. K(t, s) = sin(2t + s), y(t) = π − 2t, [a, b] = [0, π].
17.4. K(t, s) = sin s + s cos t, y(t) = 1 −
2t
, [a, b] = [0, π].
π
17.5. K(t, s) = sin(t − 2s), y(t) = cos 2t, [a, b] = [0, π].
17.6. K(t, s) = sin(t − s), y(t) = cos t, [a, b] = [0, π].
17.7. K(t, s) = sin t cos s − sin 2t cos 2s + sin 3t cos 3s,
y(t) = cos t, [a, b] = [0, 2π].
17.8. K(t, s) = e
2t+s
, y(t) = t, [a, b] = [−1, 1], λ =
3
2
17.9. Пусть Ki(t, s) ∈ C([a, b] × [a, b]), i = 1, 2,
t
(Aix)(t) =
(Bix)(t) =
Ki(t, s) x(s) ds,
a
b
Ki(t, s) x(s) ds.
a
Доказать, что
t
(A1A2x)(t) =
K(t, s) x(s) ds
a
178
.
c ядром
K(t, s) =
(B1B2x)(t) =
c ядром
K(t, s) =
t
K1(t, τ)K2(τ, s) dτ;
s
b
K(t, s) x(s) ds
a
b
K1(t, τ)K2(τ, s) dτ.
a
+ Решить интегральное уравнение Вольтерра
t
x(t) = y(t) + λ
K(t, s) x(s) ds
0
в пространстве C[0, b], решив соответствующее ему дифференциальное уравнение (задачи 17.10–17.14) при λ = 1 и методом нахождения решения в виде ряда (см. (17.5)) (задачи
17.15–17.18).
2
17.10. а) K(t, s) = 1, y(t) =
б) K(t, s) = −1, y(t) =
t
+ t;
2
2
t
.
2
17.11. K(t, s) = s2, y(t) = t3+ 2.
17.12. K(t, s) = s − t, а) y(t) = t; б) y(t) = cos t.
17.13. K(t, s) = 4(t − s), y(t) = et.
17.14. K(t, s) = 2e
17.15. K(t, s) =
t−s
, y(t) = sin t.
2
1 + t
, y(t) = 1 + t2.
2
1 + s
17.16. K(t, s) = t − s, y(t) = 1, λ > 0.
17.17. K(t, s) =
2 + cos t
2 + cos s
, y(t) = eλtsin t.
179
17.18. K(t, s) = 2
sin t−sin s
, y(t) = 2
sin t
.
+ В задачах 17.19–17.21 решить интегральное уравнение
Фредгольма
b
x(t) − λ
K(t, s) x(s) ds = y(t)
a
методом нахождения решения в виде ряда (см. (17.5)).
17.19. K(t, s) = tes, y(t) = e
−2t
, [a, b] = [1, 2].
17.20. K(t, s) = 1 + (2t − 1)(2s − 1), y(t) = t2, [a, b] = [0, 1].
17.21. K(t, s) = sin t sin s + cos t cos s, y(t) = sin
π
[a, b] =−
π
,
.
2
2
t
,
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]