Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Типовые задачи. Учебное пособие
.pdf
1.52. Доказать, что
а) параллелепипед M =x ∈ ℓ2: |ξk| 6 α
k
ограни-
чен в пространстве ℓ2тогда и только тогда, когда
{αk} ∈ ℓ2;
б) если все αk= 0, то эллипсоид
2
ξ
k
α
k
6 1
M =x ∈ ℓ2:
∞
k=1
ограничен в пространстве ℓ2тогда и только тогда,
когда {αk} ∈ ℓ∞.
1.53. Доказать, что множество c0замкнуто в пространстве c,
множество c замкнуто в пространстве ℓ∞.
Тема 2. Сходимость в метрическом
пространстве.
Сравнение метрик и норм
Определение 2.1. Пусть ρ1, ρ2– метрики, заданные на
одном множестве X . Говорят, что
3 ρ1не слабее ρ2(ρ2не сильнее ρ1), если из сходимости по-
следовательности {xn} к точке x0в пространстве ⟨X, ρ1⟩
следует ее сходимость к x0в пространстве ⟨X, ρ2⟩, т.е.
ρ1(xn, x0) −−−→
0 =⇒ ρ2(xn, x0) −−−→
n→∞
n→∞
0;
3 ρ1сильнее ρ2(ρ2слабее ρ1), если ρ1не слабее ρ2и
∃ {xn} : ρ2(xn, x0) −−−→
0, но ρ1(xn, x0) −−−→
n→∞
n→∞
0;
3 ρ1и ρ2эквивалентны, если ρ1не слабее ρ2и ρ2не слабее ρ1,
т. е.
ρ1(xn, x0) −−−→
0 ⇐⇒ ρ2(xn, x0) −−−→
n→∞
n→∞
0.
22
Эти понятия переносятся и на нормы через метрики, ими
порождаемые.
Определение 2.2. Пусть ∥·∥1, ∥·∥2– две нормы, заданные
на одном линейном пространстве X. Говорят, что
3 ∥ · ∥1не слабее ∥ · ∥2(∥ · ∥2не сильнее ∥ · ∥1), и пишут
∥ · ∥1≽ ∥ · ∥2, (∥· ∥2≼ ∥ · ∥1), если
∥xn− x0∥1−−−→
0 =⇒ ∥xn− x0∥2−−−→
n→∞
n→∞
0;
3 ∥·∥1сильнее ∥·∥2(∥·∥2слабее ∥·∥1), и пишут ∥ · ∥1≻ ∥ · ∥2,
(∥ · ∥2≺ ∥ · ∥1), если ∥ · ∥1≽ ∥ · ∥2и
∃ {xn} : ∥xn− x0∥2−−−→
0, но ∥xn− x0∥1−−−→
n→∞
n→∞
0;
3 ∥ · ∥1и ∥ · ∥2эквивалентны, если
∥xn− x0∥2−−−→
0 ⇐⇒ ∥xn− x0∥1−−−→
n→∞
n→∞
0.
Определение 2.3. Метрические пространства X и Y
называются гомеоморфными, если существует отображение τ : X → Y такое, что τ есть биекция X на Y и
x
−−−→
n
n→∞
ρ
X
x0⇐⇒ τ(xn)
ρ
Y
−−−→
n→∞
τ(x0).
Отображение τ называется гомеоморфизмом X на Y .
Определение 2.4. Линейные нормированные пространства X и Y называются линейно гомеоморфными, если суще-
ствует линейное отображение τ : X → Y , которое является гомеоморфизмом X на Y . Отображение τ называется линейным
гомеоморфизмом X на Y .
Теорема 2.1. Пусть {ek}
m
– линейно независимая си-
k=1
стема в нормированном пространстве X. Тогда
xn=
m
k=1
ξ
n,kek
−−−→
n→∞
x0=
⇐⇒ ξ
m
k=1
ξke
n,k
k
−−−→
n→∞
ξk, k = 1, . . . , m.
23
Следствие 2.1. В конечномерном нормированном про-
странстве сходимость по норме эквивалентна покоординатной сходимости.
Пример 2.1. Сходится ли последовательность
xn(t) = te
−nt
в пространствах а) C[0, 1]; б) C1[0, 1]?
Решение. а) Сходимость последовательности {xn} к x
в пространстве C[0, 1] эквивалентна равномерной сходимости последовательности функций {xn(t)} к функции x(t) на
отрезке [0, 1] (см. задачу 2.9). Значит, если x
xn(t) −−−→
дел:
x(t) поточечно на [0, 1]. Найдем поточечный пре-
n→∞
lim
xn(t) = lim
n→∞
n→∞
te
−nt
= 0 = x(t).
−−−→
n
∥·∥
n→∞
x, то
Функция x(t) ≡ 0 принадлежит пространству C[0, 1]. Проверим, сходится ли xnк 0 в этом пространстве:
∥xn− 0∥
C[0,1]
= max
t∈[0,1]
|te
−nt
| =
1
n
· e
−n·
1
n
−−−→
n→∞
0.
Таким образом, xnсходится к 0 в пространстве C[0, 1].
б) Сходимость последовательности {xn} к x в пространстве C1[0, 1] эквивалентна равномерной сходимости на отрезке [0, 1] последовательности функций {xn(t)} к функции x(t)
∥·∥
−−−→
n→∞
′
(t)} к функции x′(t) (см.
n
x, то xn(t) −−−→
n→∞
x(t) пото-
и последовательности функций {x
задачу 2.11). Значит, если x
n
чечно на [0, 1]. Так как поточечно xnсходится к 0 (см. п. «а»)
и 0 ∈ C1[0, 1], осталось проверить, сходится ли xnк 0 в этом
пространстве:
24
∥xn− 0∥
C1[0,1]
= max
t∈[0,1]
|te
−nt
| + max
t∈[0,1]
|(1 − nt)e
−nt
| =
=
· e
−n·
1
n
+
1 − n ·
1
n
2
n
2
−n·
n
e
−−−→
n→∞
e−2= 0.
Таким образом, в пространстве C1[0, 1] последовательность
{xn} не имеет предела. ,
Пример 2.2. Исследовать на сходимость последователь-
ность
xn(t) =
−1, −1 6 t < −
nt, |t| 6
1,
1
< t 6 1,
n
1
n
1
,
n
,
в пространствах а) C[−1, 1]; б) Lp[−1, 1], 1 6 p < ∞;
в)L1[−1, 1].
Решение. а) Найдем поточечный предел
−1, −1 6 t < 0,
lim
xn(t) = x(t) =
n→∞
0, t = 0,
1, 0 < t 6 1,
= sign t.
Поскольку x ∈ C[−1, 1], последовательность не сходится в этом
пространстве.
б) Если последовательность {xn} сходится к некоторому
элементу y в пространстве Lp[−1, 1], то существует подпоследо-
вательность {x
}, которая сходится к y почти всюду на [−1, 1]
n
k
(см. задачу 2.12). Но последовательность {xn} сама поточечно
сходится к x(t) = sign t ∈ Lp[−1, 1], а значит, и любая ее подпоследовательность поточечно сходится к x. Отсюда следует, что
если {xn} сходится по норме в Lp[−1, 1] к элементу y, то y = x
в Lp[−1, 1] (см. задачу 2.13). Остается проверить, сходится ли
25
{xn} к x по норме. Имеем
√
4
p
n
1
p
=
1
p
6
−−−→
n→∞
0.
∥xn− x∥p=
=
6 2
1
|xn(t) − x(t)|pdt
−1
1
n
|nt − sign t|pdt
1
−
n
1
n
2pdt
0
1
p
=
Таким образом, в пространстве Lp[−1, 1] последовательность
{xn} сходится.
в) Покажем, что в пространствеL1[−1, 1] последователь-
ность {xn} не сходится. Допустим, что xn−−−→
x0вL1[−1, 1].
n→∞
Тогда для x(t) = sign t имеем
0 6 ∥x − x0∥16 ∥x − xn∥1+ ∥xn− x0∥1−−−→
n→∞
0.
Отсюда следует, что ∥x −x0∥1= 0. Из непрерывности функций
x и x0на множестве [−1, 0) ∪ (0, 1] и неравенств
1
0 6
0 6
−
n
|x(t) − x0(t)|dt 6
−1
1
|x(t) − x0(t)|dt 6
1
n
1
|x(t) − x0(t)|dt = 0,
−1
1
|x(t) − x0(t)|dt = 0,
−1
справедливых для всех n ∈ N, следует, что
x0(t) =
−1, −1 6 t < 0,
1, 0 < t 6 1.
Но тогда функция x0не является непрерывной на отрезке
[−1, 1], т.е. x0∈L1[−1, 1]. Итак, последовательность {xn} не
сходится в пространствеL1[−1, 1]. ,
26
Пример 2.3. Исследовать на сходимость последователь-
∞
k=1
sin
,
1
√
, k 6 n,
3
k
√
1
− sin
3
k
√
3
1
k + 1
, k > n,
ность {xn} = {ξnk}
ξnk=
в пространствах c0, c, ℓp(1 6 p 6 ∞).
Решение. Проверим, каким из этих пространств принад-
лежит {xn}. Для всякого n ∈ N имеем
lim
ξnk= lim
k→∞
k > n
k → ∞
ξnk= lim
k→∞
sin
√
1
3
k
− sin
√
3
1
k + 1
= 0.
Значит, {xn} ⊂ c0⊂ c ⊂ l∞.
Далее, для k > n имеем
1
|ξnk| =
= 2
∼ 2 sin
∼
sin
3k
sin
1
4/3
√
3
k
√
3
2
3
2
.
k + 1 −
− sin
√
3
k + 1
k(k + 1)
√
3
√
Так как xn∈ ℓp⇐⇒ сходится ряд
∞
|ξnk|p⇐⇒ сходится ряд
k=n+1
1
k + 1
√
3
k
3
k
3
=
1
·
cos
2
1
(k + 1)2+
∞
k=1
∞
1
k
k=1
1
√
+
3
k
3
k(k + 1) +
√
3
k + 1
1
∼
k→∞
√
∼
3
2
k
|ξnk|p⇐⇒ сходится ряд
4p
3
, а сумма
∞
k=1
1
k
4p
при p > 1 конечна, то xn∈ ℓp.
Итак, последовательность {xn} принадлежит пространствам c0, c, ℓp, 1 6 p 6 ∞. Из сходимости по норме в этих пространствах следует покоординатная сходимость. Найдем покоординатный предел, если он существует.
3
27
Для всякого фиксированного k имеем
lim
ξnk= lim
n→∞
n > k
n → ∞
ξnk= lim
n→∞
√
1
3
1
√
=
k
3
= ξk.
k
Значит, покоординатно
∞
xn−−−→
n→∞
x = {ξk}
∞
k=1
=
√
1
3
k
,
k=1
и если xnсходится по норме, то сходится к этому x.
Проверим, каким пространствам принадлежит x. Так как
1
lim
k→∞
то x ∈ c0⊂ c ⊂ ℓ∞. Ряд
ξk= lim
∞
k=1
√
= 0,
3
k→∞
k
|ξk|pсходится ⇐⇒ p > 3, значит,
x ∈ ℓp, 3 < p < ∞ и x ∈ ℓp, 1 6 p 6 3. Следовательно, при
1 6 p 6 3 последовательность {xn} не сходится в ℓp.
В пространствах c0, c, ℓ∞последовательность {xn} сходится
к x, поскольку справедливы следующие соотношения:
∥xn− x∥ = sup
k∈N
6 sup
k>n
2
√
6
3
|ξnk− ξk| = sup
sin
+
n
√
√
3
1
3
k
1
n + 1
+ sup
k>n
k>n
−−−→
n→∞
sin
sin
0.
√
√
3
1
3
k
1
k + 1
− sin
√
3
k + 1
+ sup
k>n
1
−
1
√
3
k
В пространствах ℓp, 3 < p < ∞, сходимость тоже есть,
28
6
√
1
6
3
k
поскольку справедливы соотношения
k
k
p
− sin
− sin
1
p
=
1
p
p
√
√
3
3
1
k + 1
1
k + 1
−
1
√
3
k
1
p
p
+
k=n+1
6
∞
p
1
√
3
k
∥xn− x∥ =
=
6
k=n+1
k=n+1
k=n+1
∞
∞
∞
|ξnk− ξk|
1
√
sin
3
1
√
sin
3
Обе последние суммы стремятся к нулю при n → ∞ как остатки сходящихся рядов, так как
а ряды
∞
k=1
k
1
4p/3
sin
и
1
√
3
∞
k=1
k
√
− sin
k
3
1
при p > 3 сходятся. ,
p/3
1
k + 1
k→∞
∼
3k
1
4/3
,
Пример 2.4. Исследовать на сходимость последовательность
xn(t) =
1, 0 6 t <
−1/π
t
,
1
6 t 6 1,
n
1
,
n
1
p
.
в пространствах Lp[0, 1], 1 6 p < ∞.
Решение. Поточечно последовательность функций {xn(t)}
сходится к функции
−1/π
t
x(t) =
Так как x ∈ Lp[0, 1] при
, 0 < t 6 1,
1, t = 0.
p
> 1, то последовательность {xn}
π
не сходится в пространствах Lp[0, 1] при p > π.
29
Пусть 1 6 p < π. Тогда x ∈ Lp[0, 1]. Покажем, что {xn}
сходится к x в этих пространствах. Действительно, xnи x удовлетворяют следующим условиям:
1) |x(t)|p, |xn(t) − x(t)|p∈ L1[0, 1];
2) |xn(t) − x(t)|p6 |x(t)|p, t ∈ [0, 1];
3) |xn(t) − x(t)|p−−−→
n→∞
0, t ∈ [0, 1].
Применяя теорему Лебега о предельном переходе под знаком
интеграла, получаем
∥xn− x∥p=
1
|xn(t) − x(t)|pdt −−−→
0
n→∞
1
0 dt = 0. ,
0
+ Доказать справедливость утверждений 2.1–2.10.
2.1. Пусть X – метрическое пространство, {xn}, {yn} ⊂ X,
x, y, x′, x′′∈ X. Тогда
n
} x
k
′′
x
=⇒ x′= x′′;
−−−→
n
k
k→∞
x;
а)xn−−−→
б) xn−−−→
n→∞
n→∞
x′и xn−−−→
n→∞
x =⇒ ∀{x
в) {xn} сходится =⇒ {xn} ограничена;
г)xn−−−→
ρ(xn, yn) −−−→
x и yn−−−→
n→∞
n→∞
ρ(x, y).
n→∞
y
=⇒
2.2. Пусть X – нормированное пространство, x, y ∈ X,
{xn}, {yn} ⊂ X, {λn} ⊂ P, λ ∈ P. Тогда
а)xn−−−→
xn+ yn−−−→
б)λn−−−→
λnxn−−−→
x и yn−−−→
n→∞
n→∞
λ и xn−−−→
n→∞
λx;
n→∞
x + y;
n→∞
n→∞
y
=⇒
x
=⇒
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]