Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ. Типовые задачи. Учебное пособие
.pdf
где функция K(t, s) и ее производная K
′
(t, s) непре-
s
рывны на [0, 1] × [0, 1], D(A) = C1[0, 1], X = Y =
C[0, 1]. Продолжите оператор A по непрерывности
на C[0, 1].
Тема 11. Сходимость последовательности
линейных операторов
Определение 11.1. Пусть X, Y – линейные нормирован-
ные пространства. Говорят, что последовательность операторов {An} ⊂ L(X, Y ) сходится к оператору A: X → Y
3 поточечно (или сильно), если для любого x ∈ X
∥Anx − Ax∥Y−−−→
3 равномерно, если она сходится к A по норме, т.е.
∥An− A∥ −−−→
Если последовательность операторов {An} сходится к оператору A равномерно, то она сходится к A и поточечно.
Определение 11.2. Говорят, что последовательность операторов {An} ⊂ L(X, Y ) сходится (поточечно или равномер-
но), если существует оператор A: X → Y , удовлетворяющий
соответствующему условию из определения 11.1.
122
n→∞
n→∞
0;
0.
Теорема 11.1 (критерий поточечной сходимости).
Пусть X – банахово пространство, Y – нормированное пространство. Последовательность операторов {An} ⊂ L(X, Y )
сходится поточечно к оператору A ∈ L(X, Y ) тогда и только
тогда, когда
1) (числовая) последовательность {∥An∥} ограничена;
2) найдется множество M ⊂ X такое, что ⟨M ⟩ = X
и Anx −−−→
n→∞
Ax для любого x ∈ M (здесь ⟨M ⟩ – линейная
оболочка M, а черта означает замыкание множества).
Пример 11.1. Сходится ли последовательность функцио-
налов
где
yn(t) =
fn(x) =
0, 0 6 t <
n
t −
2
1,
1
yn(t) x(t) dt, (11.1)
0
1
1
−
;
2
1
1
1
+
2
,
2
1
−
2
n
1
1
+
2
n
n
6 t 6
< t 6 1,
1
1
+
;
2
n
а) поточечно в L[0, 1]; б) поточечно в C[0, 1];
в) равномерно в C[0, 1]; г) равномерно в L[0, 1]?
Решение. а) Пусть x ∈ L[0, 1]. Проверим, что для последо-
вательности функций {yn(t) x(t)} выполняются условия теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Функции yn(t) x(t) измеримы, имеют суммируемую мажоранту:
|yn(t) x(t)| 6 |x(t)| и для всех t ∈ [0, 1] lim
где
y(t) =
0, 0 6 t <
1
, t =
2
1,
1
2
< t 6 1.
yn(t) x(t) = y(t) x(t),
n→∞
1
;
2
1
;
2
123
Поэтому по теореме Лебега
lim
n→∞
1
yn(t) x(t) dt =
0
1
y(t) x(t) dt.
0
Положим
1
f(x) =
y(t) x(t) dt. (11.2)
0
Очевидно, что f ∈ (L[0, 1])∗. Таким образом, в пространстве
L[0, 1] последовательность {fn} поточечно сходится к f.
б) Если x ∈ C[0, 1], то так же, как в предыдущем пунк-
те, fn(x) −−−→
n→∞
f(x), которая задается формулой (11.2). Этот
функционал непрерывен и в пространстве C[0, 1], т. е. f ∈
(C[0, 1])∗. Таким образом, последовательность {fn} поточечно
сходится к f в пространстве C[0, 1].
в) Покажем, что {fn} равномерно сходится к f в C[0, 1].
Справедлива цепочка неравенств
1
|(fn− f )(x)| 6
|yn(t) − y(t)||x(t)|dt 6
0
6 ∥x∥
= ∥x∥
C[0,1]
C[0,1]
1
·
0
1
2
·
1
−
2
|yn(t) − y(t)|dt =
1
+
n
|yn(t) − y(t)|dt =
1
n
1
2n
∥x∥
C[0,1]
.
Следовательно, ∥fn−f ∥ 6
1
, т. е. {fn} равномерно сходится к
n
f в C[0, 1].
г) Если последовательность {fn} сходится равномерно, то
ее равномерный предел должен совпадать с поточечным пределом. В пункте «а» мы доказали, что поточечно {fn} сходится к функционалу f, определенному формулой (11.2). Оценим
124
∥fn− f ∥. Для этого рассмотрим последовательность
xn(t) =
−n,
0, 0 6 t <
1
n,
2
1
2
1
0,
2
1
−
n
< t 6
1
+
n
1
1
−
2
n
6 t 6
1
1
+
2
n
< t 6 1.
;
1
;
2
;
Ясно, что ∥xn∥ = 2 и
1
1
=
+
2
n
|yn(t) − y(t)| ·
1
1
−
2
n
n
2
dt =
1
.
4
∥fn− f ∥ >
(fn− f )
x
n
2
Следовательно, ∥fn−f∥ → 0 при n → ∞ и последовательность
{fn} не сходится равномерно в пространстве L[0, 1].
Отметим, что в будущем можно вычислять (оценивать)
∥fn− f ∥, применяя теорему 12.4. По этой теореме
∥fn− f ∥ = ∥yn− y∥
L∞[0,1]
1
=
. ,
2
Пример 11.2. Сходится ли последовательность операто-
ров
Anx =
n
n
ξ
,
n + 1
n+1
, . . . ,
ξ
2n
, 0, 0 . . ., An: c0→ ℓ1,
2n
ξ
поточечно? Сходится ли она равномерно?
Решение. Если последовательность операторов {An} схо-
дится к некоторому оператору A поточечно, то для всех x ∈ c
∥Anx − Ax∥
ℓ
1
−−−→
n→∞
0. Из сходимости по норме в простран-
стве ℓ1следует покоординатная сходимость. Покоординатно
Anx → 0, значит, оператор A может быть только нулевым.
125
0
Убедимся, что последовательность {An} поточечно сходится к
оператору A = 0. Действительно,
∥Anx − 0x∥
=
ℓ
1
6 max
2n
k=n
n6k62n
ξ
k
k
|ξk| ·
6 max
n6k62n
n + 1
n
|ξk| ·
−−−→
n→∞
2n
k=n
0,
1
6
k
так как x ∈ c0.
Если бы последовательность операторов {An} сходилась к
некоторому оператору B равномерно, она сходилась бы к этому
же оператору поточечно. Мы уже доказали, что {An} поточечно сходится к A = 0, следовательно, B может быть только нулевым, но {An} не сходится к нулевому оператору равномерно.
Чтобы показать это, рассмотрим следующую последовательность {xn} ∈ c0:
xn= (1, 1, . . . , 1
, 0, 0, . . . ), n ∈ N.
2n
Имеем
2n
1
∥An− 0∥ = ∥An∥ > ∥Anxn∥ =
k=n
n + 1
>
k
2n
>
1
. ,
2
Пример 11.3. Исследовать на поточечную и равномерную
сходимость последовательность функционалов {fn} ⊂ C∗[0, 2],
2
fn(x) =
n2t2+ 1
0
n
x(t) dt.
Решение. Докажем поточечную сходимость последовательности {fn}, используя теорему 11.1. Имеем (см. зада-
чу 10.26)
2
∥fn∥ =
n2t2+ 1
0
n
dt = arctg 2n 6
π
.
2
126
Множество многочленов плотно в C[0, 2], т.е. ⟨M ⟩ = C[0, 2],
если M = {tk}
∞
k=0
.
Пусть k ∈ N. Тогда
fn(tk) =
= 2
2
0
k−1
k
nt
n2t2+ 1
ln(4n2+ 1)
·
dt 6 max
2n
t∈[0,2]
−−−→
n→∞
|t
k−1
0.
| ·
2
0
nt
n2t2+ 1
dt =
Для k = 0 имеем
2
fn(t0) =
n2t2+ 1
0
n
dt = arctg 2n −−−→
n→∞
π
.
2
Таким образом, на множестве M
fn(x) −−−→
n→∞
f(x) =
π
2
x(0).
Согласно критерию поточечной сходимости последовательность {fn} поточечно сходится к f на C[0, 2].
Равномерной сходимости на C[0, 2] нет. Действительно,
пусть
xn(t) =
1 − n2t, 0 6 t <
0,
1
2
n
1
2
n
6 t 6 2.
,
Тогда ∥xn∥ = 1,
так как
∥fn− f ∥ = sup
∥x∥=1
=
0
=
0
1
2
n
0
n
n2t2+ 1
|fn(x) − f (x)| > |fn(xn) − f (xn)| =
xn(0)
−−−→
n→∞
n
=
dt =
π
2
1
2
n
n2t2+ 1
1
2
n
n2t2+ 1
xn(t) dt
n
n
xn(t) dt −
xn(t) dt −
6
1
2
n
0
π
2
π
2
n2t2+ 1
,
127
1
2
= arctg nt
n
0
= arctg
1
n
−−−→
n→∞
0. ,
11.1. Доказать, что последовательность операторов
{An} ⊂ L(ℓ2), Anx =ξ1,
ξ
2
3
,
2
3
, . . . ,
ξ
n
, 0, 0, . . .
n
ξ
равномерно сходится к оператору A: Ax =
11.2. Сходится ли последовательность операторов
∞
ξ
n
n
.
n=1
{An} ⊂ L(ℓp), 1 6 p 6 ∞, Anx = (0, . . . , 0
, ξ1, ξ2, . . . )
n
поточечно? Сходится ли она равномерно?
11.3. Сходится ли последовательность операторов {An}, где
Anx = (ξ1, ξ2, . . . , ξn, 0, 0, . . . ), поточечно, если
а) {An} ⊂ L(ℓp); б) {An} ⊂ L(c0); в) {An} ⊂ L(c)?
Сходится ли {An} равномерно?
11.4. Пусть α = {αn}
∞
n=1
∈ ℓ∞,
Anx = (α1ξ1, α2ξ2, . . . , αnξn, 0, 0, . . . ).
При каких α последовательность {An} сходится равномерно в пространстве X?
а) X = ℓp, 1 6 p 6 ∞; б) X = c; в) X = c0.
При каких α последовательность {An} сходится в про-
странстве X поточечно?
11.5. Доказать, что последовательность операторов
n
t
k
{An} ⊂ L(C[0, 1]), (Anx)(t) =
s
x(s) ds
k!
0
k=0
равномерно сходится к оператору A:
t
(Ax)(t) =
esx(s) ds.
0
128
11.6. Пусть An: D(An) ⊂ C[0, 1] → C[0, 1], D(An) = C1[0, 1],
P = R и
(Anx)(t) = nx1 −
1
n
t +
1
n
− x1 −
t
1
n
Доказать, что
а) An– линейный непрерывный оператор при любом
n ∈ N;
б) последовательность операторов {An} поточечно
сходится к оператору D, (Dx)(t) = x′(t);
в) последовательность операторов {An} не сходится
равномерно.
11.7. Сходится ли последовательность {An} ⊂ L(L1[0, 2]),
(Anx)(t) =
x(t), 0 6 t 6 1 −
0, 1 −
1
n
1
n
< t 6 2,
,
равномерно? Сходится ли {An} поточечно?
.
11.8. O Доказать, что последовательность операторов
(Anx)(t) = xt
n+1
n
в пространстве C[0, 1] поточечно
сходится к единичному оператору, но не сходится
равномерно.
11.9. При каких α последовательность функционалов
{fn} ⊂ (C[0, 1])∗,
1
fn(x) =
nαtnx(t) dt,
0
сходится равномерно? При каких α последовательность
{fn} сходится поточечно?
129
11.10. Выяснить характер сходимости последовательности
функционалов {fn}:
π
a) fn(x) =
б) fn(x) = x
в) fn(x) =
г) fn(x) =
д) fn(x) =
x(t) cos nt dt, X = L2[−π, π];
−π
1
, X = C[0, 1];
n
0
1
(tn− t
1
n+1
)x(t) dt, X = Lp[0, 1];
x(t) arctg nt dt, X = C[−1, 1];
−1
1
x(t) arctg nt dt, X = L[−1, 1].
−1
11.11. Пусть X – одно из пространств ℓp(1 6 p 6 ∞), c, c0.
В каких пространствах последовательность {fn} ⊂ X
сходится равномерно, в каких – поточечно, если
n
ξ
k=1
k
?
k
a) fn(x) = ξn; б) fn(x) =
∗
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]