Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функции комплексного переменного. Учебное пособие.pdf
1.5. Решения уравнений а)-е) проиллюстрированы на Рисунке 35.
−
−
−
√
3
1
+
2
i
2
Imz
√
3
−
3
Rez
1
+
2
2
27
√
3
1
−
2
√
2
i
2
а)
Imz
i
π
6
√
3
1
−
i
2
3
2
−
1
2
Rez
i
б)
1 −i
11πi
12
e
−i
в)
Imz
8i
√
3
1
+
i
2
i
2
Rez
−2i
Imz
√
√
2
2
+
2
i
2
π
4
Rez
...
19πi
12
e
г)
Imz
Imz
2i
1
−
i
√
+
2
2
Rez
i
√
2
д)
−2i
√
16
Rez
−1
1
√
2
2−2
е)
Рисунок 35 — Решения уравнений 1.5 а) — е)
Решения уравнений ж)-к) проиллюстрированы на Рисунке 36.
81
7πi
8
e
−√2
e
√
−
5πi
2e
Imz
8
2πi
3
ж)
−i
e
Imz
3πi
√
√
з)
Imz
5πi
4
8
2e
2i
√
πi
4
8
2e
Rez
√
13πi
4
8
2e
Imz
5πi
6
e
i
πi
6
e
8
π
8
Rez
πi
−
8
e
√
9πi
4
8
2e
πi
3
2e
√
2
Rez
−1
Rez
8
5πi
−
6
e
√
2e
−2πi
3
√
2e
−πi
3
и)
Рисунок 36 — Решения уравнений 1.5 ж) — к)
1.6. Области а) — в) изображены на Рисунке 37.
−i
к)
πi
−
6
e
...
Рисунок 37 — Иллюстрация к упражнению 1.6 а) — в)
Области г) — е) изображены на Рисунке 38.
82
Рисунок 38 — Иллюстрация к упражнению 1.6
...
83
Ответы и указания к разделу 2
2.1.
а) ln√2 + i
б) i
π
+ 2πk, k ∈ Z;
2
в) ln 5 + iπ −arctg
г) ln√13 + i2πk − arctg
д) ln 2 + i
е) ln 8√2 + i
ж) 2 ln 5 + iπ + arctg
з) i
π
+ πk, k ∈ Z;
2
1
и)
ln 2 + i
4
π
+ 2πk, k ∈ Z;
4
π
+ 2πk, k ∈ Z;
6
π
+ 2πk, k ∈ Z;
4
π
+ πk, k ∈ Z;
8
4
+ 2πk, k ∈ Z;
3
3
, k ∈ Z;
2
24
+ 2πk, k ∈ Z;
7
...
к) 12 ln 2 + 2πki, k ∈ Z;
2πki
л)
, k ∈ Z.
3
2.2.
√
а) −
1
2
+
3
i; б) −e; в) cos 2 + i sin 2;
2
г) e cos 1 + ie sin 1; д) −1; е) e2cos 3 + ie2sin 3;
ж)
cos 24
к) ie
−
e
7
π
+2πk
2
sin 24
− i
; з) ±i; и) ±
7
e
, k ∈ Z; л) e
2πk
, k ∈Z; м)
cos 2
2πk
e
√
4
2 cos
+ i
π
8
sin 2
2πk
e
√
+ i
, k ∈ Z.
4
2 sin
π
;
8
84
2.3.
а) ish(π) = i
eπ− e
−π
; б) ch2 =
2
3
в)
i; г) 2, 4i;
4
д) 5, 55; е) 2, 125;
e2+ e
2
−2
;
ж) −ch2π; з) ch
√
и)
1
chπ +
2
3
shπ; л) cos 1ch1 − i sin 1sh1;
2
;
2
л) ch2; м) −sin 16;
π
π
2πk−
н) cos e
п) sin e
2
−2π(1+2k)
с) sin 1, −sin
, k ∈ Z; о) che
, k ∈ Z; р) ±ish1;
√
1
2
ch
3
± i cos
2
√
1
2
sh
3
.
2
−2π(1+2k)
2.4.
π
а)
+ 2πk, k ∈ Z;
2
π
б)
+ 2πk −2i ln(√2 ± 1), k ∈ Z;
2
в)
π
+ 2πk −i ln(√2 + 1), −
2
π
+ 2πk −i ln(√2 −1), k ∈ Z;
2
1
г) 2πk, −arctg
√
+ 2πk −i ln 2√3, k ∈ Z;
2
π
д)
+ πk, k ∈ Z;
4
, k ∈ Z;
...
е) πk, k ∈ Z;
ж) πk + i ln√2, k ∈ Z;
√
4
5, k ∈ Z;
з)
1
arctg2 + πk + i ln
2
π
и)
+ πk, k ∈ Z;
4
к) −π + 2πk −i ln (16 −√255), k ∈ Z;
л) −π + πk ±i ln√3, k ∈ Z;
π
м) ±
+ πk, k ∈ Z.
4
85
2.5.
1
2
1
; б) u2+ v2= 1; в) u2+ v2;
4
2
+ v2=
1
2
1
; д) u2=
4
π, k ∈ Z;
1
; е) v2=
4
а) u2+ v2=
г)
2.6.
а) zk= (2k + 1)πi, k ∈ Z;
б) zk= 2kπi, zk= ln 3 + (2k + 1)πi, k ∈ Z;
в) zk= (2k + 1)π ± i ln 2, k ∈ Z;
г) zk=k −
д) zk= 2kπ − i ln (√1 + π2− π),
е) z = 1 −i.
u ±
zk= (2k + 1)π − i ln (√1 + π2+ π), k ∈ Z;
1
.
4
Ответы и указания к разделу 3
3.2.
а) f(z) = 1 + iz; б) f(z) = (3 + 2i)z;
в) f(z) = (1 − 4i)z − 1 − i; г) f (z) = (2 + i)z + 3i;
д) f (z) = 1 −z2; е) f(z) = 3 + iz2;
ж) f (z) = (1 + i)z2; з) f(z) = (1 − 2i)z2.
3.3.
а) f(z) = 1 + 4i + iz; б) f (z) = (3 +2i)z + 1−i;
в) f(z) = (1 − 4i)z − 1 − i; г) f(z) = (2 + i)z + 3 − i;
д) f (z) = 1 + z − z2; е) f(z) = iz2+ 3z;
...
ж) f (z) = (1 + i)z2− 2 + 2i; з) f(z) = (1 − 2i)z2− z;
и) f (z) = z2+ 2z + 2i − 3; к) f (z) = iz2− (1 + 4i)z.
86
3.4. Здесь C − const, C ∈ C.
а) f(z) = z3− z2− iz + C; б) f (z) = ln z + C;
в) f(z) =
д) f (z) = zez+ (1 + i)z + C; е) f(z) = −2iez+ C.
3.5.
а) 72 −108i; б) 6i; в) −6 −6i;
г) −19 + 8i; д) −3 − ch2; е) −1 −ch1.
3.6.
а) πi; б) 12πi; в) −24πi; г) 2πi;
д) 0; е) 0; ж) −64πi; 3) 48πi;
и) −16πi; к) 2πi; л) 0; м) 10πi;
н) 32πi; о) −πi; п) −16πi; р) −
πi
с) −
27
3.7.
1
+ C; г) f (z) =
z
; т) π3i; у) −2πi; ф) −
1
+ C;
z + 1
π(π + 2)√2
1 + i
2
8
i
e
;
...
а) −
4
д)
3
4
; б) −
3
i; е) −
80 + 2i
; в) 3 +
105
π
i; ж) 1 −i.
2
5
i; г)
3
160 + 84i
;
105
Ответы и указания к разделу 4
4.2.
а) n = 3; б) n = 2; в) n = 5; г) n = 3;
д) n = 7; е) n = 3; ж) n = 3; з) n = 2.
87
4.3.
а) z = 0, (n = 2), z = −1, (n = 3), z = 1, (n = 1);
б) z = 0, (n = 2), z = 1, (n = 4);
в) z = ±2i, ±2 (n = 1);
г) z = ±3i, (n = 1), = ±2i, n = 3 ;
д) z = ±i, (n = 2), z = ±1, ±
1
е) z = ±
ж) z = 0 (n = 2), z = πk, z = 2πki, k ∈ Z, (n = 1);
з) z = 0 (n = 2);
и) z = 0 (n = 2), z = ±p|πk|, z = ±ip|πk|, k ∈ N, (n = 1);
к) z = 1 (n = 2);
л) z = 0 (n = 4), z = ±p|πk|, z = ±ip|πk|, k ∈ N, (n = 2);
м) z = 0, (n = 1), z = ±p|πk| ±p|πk|i, k ∈ N, (n = 1).
4.5.
√
−
2
√
i
, (n = 2), z = ±
2
√
√
2
2
±
2
2i
√
(n = 1);
1
√
+
2
i
, (n = 1);
2
...
а) полюс 3-го порядка; б) устранимая особая точка;
в) устранимая особая точка; г) полюс 2-го порядка;
д) полюс 4-го порядка; е) полюс 1-го порядка;
ж) существенно особая точка; з) существенно особая точка.
4.6.
а) z = −i — существенно особая точка;
б) z = 2 — существенно особая точка,
z = −2 — устранимая особая точка;
в) z = 2 — существенно особая точка,
z = ±2i — полюса 1-го порядка;
г) z = ±1, ±i — существенно особые точки;
88
д) z = 0 — существенно особая точка,
z = ±i ±
√
3
i
±
2
— полюса 1-го порядка (простые полюса);
2
е) z = 0 — существенно особая точка,
z = ±1 — полюса 1-го порядка (простые полюса);
ж) z = 2i — простой полюс,
з) z = −2 + i — простой полюс,
±
±
√
√
2
+ i
2
√
!
2
— существенно особые точки;
2
√
2
± i
2
2
— существенно особые точки;
2
и) z = 1 — существенно особая точка,
π(2k + 1) + 2
z =
, k ∈ Z — полюса 1-го порядка;
π(2k + 1) − 2
к) z = 0 — существенно особая точка,
1
z =
− πk, k ∈ Z — полюса 1-го порядка.
2
4.7.
а) z = ±2i — полюса 1-го порядка;
б) z = 0, z = ±1 — полюса 1-го порядка;
...
в) z = 0 — полюс 2-го порядка,
z = 3 — полюс 1-го порядка,
z = −3 — полюс 3-го порядка;
г) z = −i — полюс 1-го порядка,
z = ±1 — полюса 3-го порядка;
√
3
д) z = ±
е) zk= e
ж) zk= 2e
2
π
+
6
π
4
i
±
— полюса 1-го порядка;
2
2πki
3
, k = 0, 1, 2 — полюса 1-го порядка;
3πki
+
5
, k = 0, 1, 2, 3, 4 — полюса 1-го порядка;
з) z = 2i + πk, k ∈ Z \ {0} — полюса 4-го порядка,
z = 2i полюс 3-го порядка;
89
и) z = πk, k ∈ Z \{0} — полюса 1-го порядка,
z = 0 — устранимая особая точка;
к) z =
, k ∈ Z \ {0} — полюса 2-го порядка,
4
z = 0 — полюс 3-го порядка;
πk
π
2πki
+
3
л) zk= e
3
, k = 0, 1, 2 — полюса 1-го порядка,
z = 0 — устранимая особая точка;
π
2πki
+
−
6
м) zk= e
3
, k = 0, 1, 2 — полюса 1-го порядка,
π
zn=
+ πn, n ∈ Z — полюса 2-го порядка,
2
z = πk, , k ∈ Z — полюса 1-го порядка;
н) zk= ±√πk, ±i√πk, k ∈ N — полюса 1-го порядка,
z = 0 — полюса 3-го порядка;
о) zk= ±√πk, ±i√πk, k ∈ N — полюса 1-го порядка,
z = 0 — полюс 5-го порядка,
zn= ±
r
π
2
+ πn, ±i
r
π
+ πn, n ∈ N — устранимые особые
2
точки.
...
90