Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функции комплексного переменного. Учебное пособие.pdf
Ответы и указания к разделу 5
5.1.
± i
2
1
; б) rezf(1) = 0; в) rezf(−i) =
6
4
; л) rezf(i) = 0; м) rezf(−2) =
15
sin 1
.
6
1
;
4
2πk
7
= −
;
1
, rezf±
8
i
, rezf−
4
√
√
1
2
1
2
± i
± i
√
√
1
2
1
2
= −
i
=
4
1
8
.
1
, zk= e
7
1
√
2
;
а) rezf (0) = −
г) rezf(0) = 1; д) rezf(0) = 2; е) rezf(0) = −i;
ж) rezf (1) = 0; з) rezf(i) = 0; и) rezf(0) = 1;
к) rezf (0) =
н) rezf (0) = −
Указание. В задачах г), д), ж) решение сводится к анализу произве-
дения рядов, что довольно трудоёмко. Однако нас интересует только
коэффициент c−1, сосредоточьтесь именно на нём.
5.2.
а) rezf(2i) = −3;
б) rezf(−i) = −2i;
в) rezf±√2 ± i√2=
г) rezf(zk) =
д) rezf (±1) = rezf(±i) =
1
е) rezf
√
1
;
24
1
;
120
...
5.3.
а) rezf(±2i) = ±
б) rezf(0) = −3, rezf(i) = 3;
в) rezf(−3) =
г) rezf(−2) = −4 + i, rezf (−1) = 1 − i;
д) rezf (−1) =
е) rezf(0) = 0, rezf (π) =
1
;
32
3
, rezf(−2) = −
25
1
− 1, rezf (0) = 1;
e
4
3
π
1
, rezf(2) =
8
.
91
1
;
200
5.4.
(e − 2)πi
а)
д) −
e
; б)
ln 81 ·πi
; е) 2πi; ж)
(e − 1)πi
; в) −
e
(sin 1 + cos 1 + i(sin 1 −cos 1))π
3
2πe2i
з) πi; и)
; к) 2πi; л) −
3
5.5. Найдите несобственные интегралы.
а) π√2; б)
5π
ж)
; з)
28
π
; в)
6
π
; и)
54
3π
; г)
8
5√2π
; к) −
96
5.6.
π(cos 1 −3 sin 1)
а)
π
г)
; д)
4
e
3e
3
; б)
π(2 cos 2 + sin 2)
4
2e
π
; е)
8
8e
πi
; г) 0;
3
π
; д) 0; е)
54
π
; л) 0; м)
6
; в)
2
πi
√
; м) 0.
2
π
;
3
3e
2π sin
√
√
3e
3/2
;
π
;
4
π√2
.
4
1
2
5.7.
а)
π
; б)
6
3π
8
; в)
2π
√
; г) 2π(4 −√15); д)
3
2π
3
; е)
π
...
.
36
92
Варианты контрольных заданий
Задание 1. Линии и области
Постройте область комплексной плоскости, ограниченную условиями.
|z − 4i| ≤ |z − 2|
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
3π
< arg(z − 6i) ≤
2
|Re(z + 6i)| ≥ 1,
|z + 6| < |Re(z − 2)|,
|z + 6| ≥ 2
|z − 1 + 4i| ≤ |z − 2|
π
< arg(z + 3i) ≤
3
|z − 5 −i| ≤ 2
Re(z − 2 −i) ≤ 4
π
−
< arg(z) ≤
4
|z + 2 −i| ≤ 2
π
−
< arg(z + 3 −i) ≤
4
|Im(z + 4i)| ≤ 4,
|z + 4i| < Re(z − 24),
|arg(z − 4 −4i)| ≤
|z + 1 −4i| ≤ |Im(z + 4i)|
3π
< arg(z − 6 −4i) ≤
4
2π
3
. 2.
7π
4
. 6.
3π
4
. 8.
. 10.
π
3
π
4
. 14.
5π
4
4.
12.
|Im(z + 3i)| ≤ 3,
|z + 3i| < |Re(z − 18)|,
|arg(z − 3 −3i)| ≤
|z − 1 + 4i| ≤ |z|
π
−
< arg(z − 2) ≤ 0
2
|z − 1 −4i| ≥ 2
Im(z − 2 −3i) ≤ 5
π
< arg(z) ≤
4
|z − 4i| ≤ |z − 1|
3π
< arg(z − 5i) ≤
2
|Re(z + 9i)| ≥ 1,
|z + 9| < Re(z − 3),
|z + 9| ≥ 3
|z + 1 −i| ≤ |Rez|,
0 < arg(z + 3 − i) ≤
|Im(z2+ 3i)| ≤ 3,
|z + i| < 5,
|Re(z + 1 −4i)| ≤ 2
2π
3
π
4
.
7π
4
.
.
π
4
...
93
Задание 2. Интегральная формула Коши
Найдите интеграл используя интегральную формулу Коши.
1.
3.
5.
7.
9.
˛
(z − 1)
|z|=2
˛
(z + 2)
|z|=3
˛
|z|=√5
˛
|z−3|=6
˛
|z−2|=1
z3+ 4
dz; 2.
2
4
z
(z + 2)
dz; 4.
2
4
z
dz; 6.
6
z dz
(z − 2)2(z + 4)
1/z
e
dz
; 10.
(z2+ 4)
2
; 8.
˛
|z+2−i|=3
˛
(z + 2)
|z|=3
˛
|z|=√3
˛
1
z
1
|z|=
2
˛
|z−2|=
z3− 4
(z + 4)
4
z
z3+ 4
z − 1
cos
2
z + 1
eizdz
(z2− 1)
1
2
5
dz;
dz;
π
4
2
dz;
dz;
;
...
11.
13.
15.
17.
19.
˛
(z2+ 4)
|z|=5
˛
(z + 1)
|z|=2
˛
(z − 2i)
|z|=3
˛
|z|=√7
˛
|z−3i|=6
1/z
e
dz
; 12.
2
3
z
dz; 14.
2
z4+ 1
2
z
dz; 18.
z2+ 4
(z + 3i) dz
z2(z + i)
dz; 16.
; 20.
˛
(z2− 1)
|z|=2
˛
|z−2−i|=3
˛
z2− 1
(z + i)
|z|=2
˛
|z|=√3
˛
1
z
1
|z|=
2
eizdz
e
(z − 4)
z
z2− 1
sin
z + 2
z
5
2
π
;
4
dz;
dz;
dz;
dz;
94
Задание 3. Интеграл по кривой
Найдите интеграл по заданной кривой.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ˆ
zIm(z) dz, L : ломаная, z1= 1, z2= 1 + i, z3= 4 −i;
L
ˆ
z2dz, L : y = x3, z1= 0, z2= −1 −i;
L
ˆ
(z + Im(z)) dz, L : ломаная, z1= i, z2= 1 + i, z3= 4 −3i;
L
ˆ
(1 + ¯z)2dz, L : y = x2, z1= 0, z2= −1 + i;
L
ˆ
¯z + Rez
L
ˆ
2
dz, L : y = x3, z1= −1 −i, z2= 2 + 8i;
(1 + 4Im(z))2dz, L : прямая, z1= −i, z2= 1 + i;
L
ˆ
(z + ¯z)2dz, L : |z| = 1, z1= 1, z2= i (по часовой);
...
8.
9.
10.
11.
12.
13.
L
ˆ
¯z dz
, L : |z| = 1, z1= 1, z2= −1 (против часовой);
1 − z
L
ˆ
Re(z2+ z) − 1dz, L : прямая, z1= −1, z2= 1 + 2i;
L
ˆ
(1 − Im(iz2)) dz, L : прямая, z1= −i, z2= 2 + i;
L
ˆ
z2+ Im (i + z)dz, L : прямая, z1= −2 + 4i, z2= 2;
L
ˆ
z + iz
L
ˆ
z − 2i + Rez
L
ˆ
2
dz, L : |z| = 1, z1= −i, z2= i (против часовой);
2
dz, L : y = x3, z1= −1 −i, z2= 2 + 8i;
14.
(4i + Im(z))2dz, L : ломаная, z1= i, z2= 1 + i, z3= 4 −3i;
L
95
˛
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
zIm(z2) dz, C : треугольник, z1= 0, z2= 1 + i, z3= 4;
ˆ
z + z2dz, L : ломаная, z1= −1, z2= i, z3= 2;
L
ˆ
(3 + Im(z)) dz, L : ломаная, z1= −1, z2= 1 + 2i, z3= 1;
L
˛
(1 − i¯z)2dz, : треугольник, z1= 2 + i, z2= 1 + i, z3= 4;
C
˛
¯zz + Rez
C
ˆ
2
dz, C : треугольник, z1= 2i, z2= 4i, z3= 1;
(1 + iIm(z))2dz, L : ломаная, z1= −i, z2= 3i, z3= 6;
L
ˆ
z2−
2
2
z
dz, L : ломаная, z1= −2, z2= 4, z3= 4i;
22.
23.
24.
25.
L
˛
Re(z + 1)2dz, C : треугольник, z1= 1 + i, z2= 2i, z3= 1;
C
ˆ
(1 − Im(iz2)) dz, L : прямая, z1= −i, z2= 2 + i;
L
ˆ
2 − iIm (z)
L
ˆ
2
dz, L : ломаная, z1= 0, z2= 4i, z3= 8;
1 − Re(iz2)dz, L : ломаная, z1= −2i, z2= 2, z3= −3i.
L
...
96
Задание 4. Вычеты
Найдите интеграл используя теорему Коши о вычетах.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
∞
ˆ
(x + 1)dx
x4+ 5x2+ 4
−∞
∞
ˆ
(x2− 1)dx
x4+ 10x2+ 9
0
∞
ˆ
x3dx
(x2+ 4)
−∞
∞
ˆ
(x − 2)dx
x4+ 17x2+ 16
−∞
∞
ˆ
(x2− x)dx
x4+ 26x2+ 25
−∞
∞
ˆ
(1 − x3)dx
(x2+ 1)
−∞
∞
ˆ
dx
x4+ 5x2+ 6
0
∞
ˆ
dx
x2+ 10x + 9
−∞
∞
ˆ
dx
x6+ 64
−∞
∞
ˆ
x2+ 17x + 16
−∞
∞
ˆ
x2+ 26x + 25
−∞
; 2.
; 4.
; 6.
3
; 8.
; 10.
; 12.
3
; 14.
; 16.
; 18.
dx
; 20.
dx
; 22.
∞
ˆ
xdx
x4+ 5x2+ 4
−∞
∞
ˆ
dx
x2+ 4x + 5
0
∞
ˆ
(x − 2)dx
(x2+ 4)
−∞
∞
ˆ
(2 − x)dx
x4+ 2x2+ 1
−∞
∞
ˆ
dx
x2+ 11x + 30
−∞
∞
ˆ
(x2+ 1)dx
(x2+ 9)
−∞
∞
ˆ
xdx
(x2+ 5x + 4)
−∞
∞
ˆ
dx
x4+ 4x2+ 5
0
∞
ˆ
(x2+ 1)dx
(x2+ 9)
−∞
∞
ˆ
(x2+ 1)dx
(x2+ 2x + 1)
−∞
∞
ˆ
(x2+ 11x + 30)
−∞
dx
;
2
2
2
;
;
;
;
...
;
;
2
;
;
;
2
.
2
97
Тесты для пр оверки знаний
Вопрос 1
В каком из перечисленных ниже случаев а)-е) число верно представлено в тригонометрической форме .
а) z = 4(cos 2 + i sin 2); б) z =√3(cos π − i sin π);
в) z = cos 7 + i sin 7 г) z = 4(sin
π
+ i cos
6
π
);
6
д) z = −2(cos 1 + i sin 1); е) z = e(cos√40 + i sin√40).
Вопрос 2
В каком из перечисленных ниже случаев а)-е) число верно представлено в показательной форме .
а) z = 2e
г) z = πe
π
i
4
; б) z = −3e
3πi
; д) z =√7e7i; е) z = eei.
2π
i
3
; в) z =√2e
3i
Вопрос 3
Какие из перечисленных функций а)-е) являются аналитическими на
области допустимых значений?
а) w = Re(sin z); б) w = Re(1 + i)e
z+i
; в) w = ln(z2+ 1)
...
г) w = ln(sin z); д) w = ¯z(sin2z); е) w = z2+ iz + 1.
Вопрос 4
Какие из перечисленных функций а)-е) являются гармоническими?
а) f(x, y) = x2− y2; б) f(x, y) = sin (xy);
в) f(x, y) = excos y г) f (x, y) = x − 2y;
д) f (x, y) = ln(x2+ y2); е) f(x, y) = e
x+y
.
98
Вопрос 5
Какие из перечисленных функций а)-е) имеют устранимую особую
точку?
а) f (z) =
г) f (z) =
sin2z
z4− 4z
z
ez− z
; б) f (z) =
2
; д) f(z) =
cos z
z4− 4z
z2+ 1
z(z − i)
; в) f(z) =
2
; е) f (z) =
2
z
ez− 1
z + 1
z3+ z
Вопрос 6
Какие из перечисленных функций а)-е) имеют существенно особую
точку?
а) f(z) = sin
г) f (z) = cos
z + 1
; б) f (z) =
z2+ 1
1
sin z; д) f(z) =
z
cos z
sin z − z
z
1
cos
sin z
z
; в) f (z) = e
; е) f(z) =
1/z
− 1
z
z3+ sin z
Вопрос 7
Какие из перечисленных функций а)-е) имеют нули первого порядка?
z2− 1
а) f(z) = sin
; б) f(z) = z2+ 2z + 1;
z − 1
2
в) f(z) = e
z
− 1 г) f (z) = cos z sin z;
.
.
...
д) f (z) = sin z2; е) f(z) = z3+ sin z.
Вопрос 8
Какие из перечисленных функций а)-д) имеют более двух особых точек внутри указанного контура C?
а) f(z) =
1 − sin z
2
, C : |z| = 4;
(z2+ 1)(z2− 1)
2
б) f(z) =
sin z
, C : |z| = 2;
(z2+ 1)(z2− 1)
2
в) f(z) =
sin z
, C : |z − 1 − i| = 2
(z2+ 1)(z2− 1)
2
г) f(z) =
sin z
, C : |z − 2i| =√5;
z2(z2+ 1)
2
д) f (z) =
sin z
, C : |z − 2i| =√3.
z2(z2− 1)
99
Справочные материалы
Основные тригонометрические тождества
1. cos2x + sin2x = 1; 2. tg2x + 1 =
;
cos2x
1
1
3. tgx · ctgx = 1; 4. ctg2x + 1 =
;
sin2x
5. cos 2x = cos2x − sin2x; 6. cos 2x = 2 cos2x − 1;
7. cos 2x = 1 −2 sin2x; 8. sin 2x = 2 sin x cos x;
9. cos (x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y;
10. sin (x ± y) = sin x cos y ±cos x sin y.
Правила преобразования степенных выражений
1. ab· ac= a
4.
√
n
a = a
1/n
b
b+c
; 2.
a
= a
c
a
; 5. a−n=
b−c
; 3.a
1
; 6. an= b
n
a
b
c
= abc;
n logba
.
...
Основные логарифмические тождества
Свойства имеют место на области определения рассматриваемых
функций: logab имеет смысл, если a, b > 0 и a = 1.
1. loga(bc) = logab + logac;
2. log
3. logabc= c · logab;
4. log
5. logab =
6. a = b
b
= logab − logac;
a
c
1
b =
c
a
· logab;
c
logcb
;
logca
logba
.
100