Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функции комплексного переменного. Учебное пособие.pdf
В комплексной плоскости между тригонометрическими функциями и
экспонентой обнаруживается неожиданная связь:
cos z =
eiz+ e
2
−iz
, sinz =
eiz− e
−iz
.
2i
Действительно, из формулы Эйлера имеем
eiz= cos z + i sin z, e
−iz
= cos z − i sin z,
и, при сложении этих уравнений выражается косинус, а при вычитании — синус.
Тангенс и котангенс следует вычислять как отношение косинуса и
синуса:
tgz =
sin z
, ctgz =
cos z
cos z
.
sin z
Пожалуйста, никогда не считайте значения тригонометрических функций по этим формулам!
Гиперболические функции
Гиперболический косинус, синус, тангенс и котангенс нам раньше встречались и от действительного аргумента, но в комплексной плоскости
они нам будут встречаться гораздо чаще
...
w = ch z, w = sh z, w = th z, w = cth z.
Гиперболические функции, как и тригонометрические функции выражаются через экспоненту (по определению):
ch z =
th z =
ez+ e
2
sh z
ch z
−z
, shz =
, cthz =
ez− e
ch z
sh z
−z
,
2
.
Используя формулу Эйлера и связь функций с экспонентой, несложно
установить следующую зависимость тригонометрических и гиперболических функций и именно эту связь следует использовать вычисляя
значения тригонометрических функций:
sh iz = i sin z, ch iz = cos z,
sin iz = i sh z, cos iz = ch z.
21
Пример 2.5. Вычислить sin(1 − 3i).
Решение.
sin(1 − 3i) = sin 1cos 3i −cos 1sin 3i = sin 1 ·ch 3 − i cos 1 sh 3.
Пример 2.6. Вычислить sin(i ln 25).
Решение.
●
1
25
= 12, 48i.
2
sin(i ln 25) = i sh 25 = i ·
e
ln 25
− e
2
−ln 25
25 −
= i ·
●
Обратные тригонометрические функции
w = Arccosz, w = Arcsinz, w = Arctgz, w = Arcctgz.
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного
являются многозначными, их вычисление сводится к вычислению логарифма, поэтому их главные значения определяются главным значением соответствующего логарифма:
Arctgz = −
i
2
i
Arcctgz =
2
· Ln
· Ln
i − z
,
i + z
z − i
,
z + i
...
Arccosz = −i Lnz +pz2− 1,
Arcsinz = −iLniz +p1 − z
2
.
Далее приведён вывод формулы для вычисления арктангенса. Рассмотрим функцию z = tgwи выразим тангенс как частное синуса и
косинуса:
sin w
z = tgw =
;
cos w
выразим синус и косинус, используя их связь с экспонентой:
z = tgw =
eiw− e
i(eiw+ e
−iw
−iw
;
)
22
из последнего уравнения выразим w:
iz(eiw+ e
−iw
) = eiw− e
(iz − 1)eiw+ (iz + 1)e
e
2iw
+ (iz + 1) = 0,
2iw
1 + iz
=
(iz − 1)e
−iw
= 0
,
−iw
,
· eiw,
1 − iz
w =
2i
1 + iz
Ln
1 − iz
= −
i
i − z
Ln
2
i + z
.
1
Аналогично выражаются и остальные формулы. В случае с выводом
формул для арксинуса и арккосинуса появляется квадратный корень
из комплексного числа и следует учитывать все его значения.
Пример 2.7. Вычислить Arcsin(9).
Решение.
Arcsin9 = −iLni · 9 +p1 − 9
2
=
= −iLn9i +√1 − 81=
...
= −iLn9i +√−80=
= (∗)
=
−iLn9i + 4√5i
−iLn9i − 4√5i
числа 9 ± 4√5 оба положительные, значит |i(9 ± 4√5)| = 9 ± 4√5, а
π
аргументы чисел i(9 ± 4√5) равны
2
=
−iln (9 + 4√5) + i
−iln (9 −4√5) + i
π
+ 2πk, k ∈ Z
2
π
+ 2πk
=
, k ∈ Z
2
π
=
+ 2πk− i ln (9 + 4√5), k ∈ Z
2
π
+ 2πk− i ln (9 −4√5), k ∈ Z
=
2
π
=
+ 2πk− i ln (9 ±4√5), k ∈ Z.
2
23
●
Пример 2.8. Вычислить Arcsin(9i).
Решение.
Arcsin(9i) = −iLni · 9i +p1 − (9i)
= −iLn−9 +√1 + 81= −iLn−9 +√82=
2
=
−iLn−9 +√82
=
−iLn−9 −√82
числа −9 ±√82 разных знаков, значит
в одном случае | − 9 −√82| = 9 +√82, а аргумент равен π;
а в другом — | −9 +√82| = −9 +√82, а аргумент равен 0;
−iln (√82 − 9) + i (0 + 2πk), k ∈ Z
(∗∗) =
−iln (9 +√82) + i (π + 2πk), k ∈ Z
=
2πk − i ln (√82 − 9), k ∈ Z
π + 2πk − i ln (9 +√82), k ∈ Z.
= (∗∗)
=
...
●
Дополнительные видеоматериалы
к изучению раздела 2
а) б)
Рисунок 16 — Ссылки на тематические видеоуроки к разделу:
а) основные функции комплексного переменного;
б) вещественная и мнимая части функции
24
Упражнения к разделу 2
2.1. Вычислите значения выражений а)-л), результат запишите в алгебраической форме, полученные точки отметьте на плоскости.
Lnz = ln |z| + i(arg(z) + 2πk), k ∈ Z.
а) Ln(1 + i); б) Ln(−i); в) Ln(−3 + 4i);
г) Ln(2 − 3i); д) Ln(√3 + i); е) Ln(1 − i)7;
ж) Ln(3 −4i)2; з) Ln√−1; и) Ln√1 + i;
√
к) Ln(2 −2i)8; л) Ln
2.2. Вычислите значения выражений а)-м), результат запишите в ал-
гебраической форме, полученные точки отметьте на плоскости.
3
1.
aLnz
.
; в) e
; е) e
; и) e
2
(1+i)
2+3i
;
Ln√1+i
;
;
а) e
г) e
ж) e
к) i
2πi/3
; б) e
1+i
; д) e
2
(3−4i)
1+i
; з) e
; л) 1
za= e
1−πi
Ln(−1)
Ln√−1
√
i
; м) 2i.
2.3. Вычислите значения выражений а)-л), результат запишите в ал-
гебраической форме, полученные точки отметьте на плоскости.
sh iz = i sin z, ch iz = cos z, sin iz = i sh z, cos iz = ch z.
а) sin (πi); б) cos (2i); в) sin (i ln 2);
г) sin (i ln 5); д) cos (i ln 10); е) cos (i ln 4);
ж) cos (π + 2πi); з) sin
π
2
+ i
π
; и) sin
2
π
+ iπ;
6
...
к) cos (1 + i); л) cos (1 + i)2; м) sin (1 −i)8;
н) cos ii; о) cos i
р) sin√−1; с) sin
1+i
; п) sin (−1)2i;
√
3
1.
25
2.4. Вычислите значения выражений а)-м), результат запишите в алгебраической форме, полученные точки отметьте на плоскости.
Arctgz = −
Arccosz = −i Lnz +pz2− 1, Arcsinz = −iLniz +p1 − z
а) Arcsin(1); б) Arcsin(3); в) Arccos(i);
г) Arccos(√2 − i); д) Arctg(1); е) Arctg(i);
ж) Arctg
к) Arccos(1 + i)4; л) Arctg
2.5. Определите на какие линии на плоскости Ouv отображаются ли-
нии а)-е) плоскости Oxy функцией w =
а) x2+ y2= 4; б) x2+ y2= 1;
i
; з) Arctg(1 + 2i); и) Arcctg(1);
3
i
2
· Ln
i − z
i + z
, Arcctgz =
√
−4; м) Arcctg
1
.
z
i
· Ln
2
z − i
z + i
,
2
.
√
1.
...
в) x2− y2= 0; г) x2− 1 = 0;
д) (x −1)2+ y2= 1; е) x2+ (y − 1)2= 1.
2.6. Решите уравнения а)-е).
а) e−z+ 1 = 0; б) e2z+ 2ez− 3 = 0;
в) 4 cos z + 5 = 0 г) shiz = −i;
д) sin z = πi; е) ln (z + i) = 0.
26
3 Дифференцирование и интегрирование
функций комплексного переменного
Предел функции комплексного переменного
Дорогой читатель! Теоретический материал, изложенный в этом разделе озвучен в виде лекции в роликах, ссылки на которые даны на
Рисунке 17.
а) б)
Рисунок 17 — Лекции по материалу раздела 3:
а) дифференцирование ФКП, б) интегрирование ФКП
Определение предела "работает" и в множестве комплексных чисел C (с поправкой на маршрут приближения — он должен быть произвольным а вариантов на плоскости намного больше, чем на оси):
A = lim
Кроме того, отдельно следует определиться с понятием "комплексной"
бесконечности
Последовательность z1, z2, .. ., zn, .. . неограниченно возрастающая, если начиная с некоторого N, для всех n > N имеем |zn| > R
для любого R > 0.
Бесконечно удаленная точка z = ∞ — предел всякой неогра-
ниченно возрастающей последовательности.
Число z = ∞ имеет вид z = |z|eiφ, где |z| = ∞, φ не определен.
Расширенная комплексная плоскость — это комплексная плоскость
с добавлением бесконечно удалённой точки C ∪ {∞} = C+.
Бесконечность и сфера Римана
Между точками C+и точками сферы можно установить взаимно
- однозначное соответствие (Рисунок 18).
f(z) ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ( 0 < |z −zo| < δ ⇒ |f(z) −A| < ε).
z→z
o
...
27
Рисунок 18— Сфера Римана
Совместим точку O(0; 0) плоскости и "южный полюс" S сферы
произвольного радиуса. Через "северный полюс" N сферы проведём
прямую до пересечения с плоскостью, точке M пересечения прямой с
плоскостью единственным образом соответствует тоска M′пересечения прямой со сферой. В таком соответствии точке N соответствует
бесконечно удалённая точка.
Предел ФКП как суммы двух действительных функций
Так как ФКП w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) представима в виде
суммы действительной и мнимой частей, которые являются действительными от двух действительных переменных, то на f(z) прекрасно
распространяются все определения и свойства для функций двух переменных.
...
Пример 3.1. Найдите предел lim
z→1+2i
Решение.
lim
z→1+2i
= lim
z2= lim
x → 1
= lim
lim
x→1
y→2
(x + iy)2= lim
y → 2
(x2− y2) + 2i lim
x → 1
y → 2
(x2− y2) + 2i lim
28
z2.
x → 1
y → 2
x→1
(x2− y2+ i2xy) =
xy =
x → 1
y → 2
lim
xy = −3 + 4i.
y→2
●
Дифференцирование ФКП
Определения производной и некоторые тонкости
Производная функции w = f(z) — это предел при △z → 0
f′(z) = lim
△z→0
△ z
,
предел существует, если он одинаковый по любому пути.
Пример 3.2. Докажите, что функция Im(z) не является дифференцируемой.
Решение. Вычислим предел отношения приращения функции к приращению аргумента по двум различным путям:
(y + ∆y) − y
f(z+ △ z) −f(z)
= lim
∆x → 0
∆y → 0
(Im(z))′= y′= lim
∆y
= lim
∆x + i∆y
∆x → 0
∆y → 0
△z→0
∆x + i∆y
∆y(∆x −i∆y)
(∆x)2+ (∆y)
=
= (1), (2).
2
В первом случае, приближение к предельной точке происходит вдоль
оси Ox затем вдоль оси Oy:
...
(1) = lim
∆x→0
∆y(∆x −i∆y)
lim
∆y→0
(∆x)2+ (∆y)
= lim
2
∆x→0
0 · (∆x − 0)
(∆x)
2
= lim
∆x→0
0 = 0;
Во втором случае, приближение к предельной точке происходит сначала вдоль оси Oy затем вдоль оси Ox:
(2) = lim
∆y→0
∆y(∆x −i∆y)
lim
∆x→0
(∆x)2+ (∆y)
= lim
2
∆y→0
∆y(0 −i∆y)
2
(∆y)
= lim
∆y→0
i = i.
Так как пределы различные по различным направлениям, то это означает, что предела не существует. Следовательно функция не является
дифференцируемой. ●
Условия Коши — Римана (необходимое условие дифференцируемости)
Если в некоторой окрестности точки zoфункция f(z) = u(x, y) +
iv(x, y) дифференцируема, то там выполняются условия
∂u
∂x
=
∂v
∂y
∂u
,
∂y
= −
∂v
.
∂x
29
Доказательство.
(1) Найдём производную по пути "−→": ∆y = 0, ∆x → 0
lim
∆z→0
f(z + ∆z) −f(z)
∆z
= lim
∆y=0,∆x→0
f(x + iy + ∆x + i∆y) −f(x + iy)
∆x + i∆y
u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) −u(x, y) −iv(x, y)
= lim
∆x→0
= lim
∆x→0
u(x + ∆x, y) −u(x, y)
∆x
∂u
=
∂x
∆x
+ i lim
∆x→0
∂x
+ i
∂x
v(x + ∆x, y) − v(x, y)
∆x
.
=
=
(2) Аналогично, по вертикали "↓": ∆z = ∆x + i∆y, ∆x = 0, ∆y → 0
f(z + ∆z) −f(z)
lim
∆z→0
= lim
∆y→0
= −i lim
∆y→0
= lim
∆z
∆x=0, ∆y→0
u(x, y + ∆y) − u(x, y)
i∆y
u(x, y + ∆y) − u(x, y)
∆y
f(x + iy + ∆y) − f (x + iy)
i∆y
v(x, y + ∆y) − v(x, y)
+ i lim
∆y→0
i∆y
v(x, y + ∆y) − v(x, y)
+ lim
∆y→0
∆y
=
=
=
=
...
= −i
∂u
∂y
+
∂v
.
∂y
Пределы по разным путям должны быть равны, значит, сравнивая
действительные и мнимые части полученных выражений, получаем
′
u
x
′
u
x
+ iv
= v
′
x
′
y
= v
, v
′
y
′
= −u
x
− iu
′
,
y
′
.
y
Что и требовалось доказать.
Достаточное условие дифференцируемости Если в некоторой
окрестности точки zoдействительная и мнимая части функции f(z) =
u(x, y) + iv(x, y) дифференцируемы и выполняются условия Коши –
Римана, то функция f (z) дифференцируема в точке zo(без доказательства).
30