Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функции комплексного переменного. Учебное пособие.pdf
Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
Храмова Татьяна Викторовна
Функции комплексного переменного
Учебное пособие
Новосибирск
2024
...
УДК 517.53(075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензенты: к.ф.-м.н. О.А. Шмагунов , д.т.н., доц. В.И. Нечта
Храмова, Т. В. Функции комплексного переменного : учебное по-
собие / Т. В. Храмова ; Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, каф. высшей математики. –
Новосибирск, 2024. – 103 с.
Учебное пособие предназначено для студентов направлений 09.03.01.
Пособие содержит необходимый теоретический материал, задания для
практических занятий и самостоятельной работы. Пособие рекомендуется использовать в учебном процессе. В издании изложены избранные разделы комплексного анализа, освоение которых входит в программу дисциплины
необходимо для освоения дисциплин базового цикла на более высоком
уровне.
"Специальные
главы математического анализа" и
© Храмова Т. В., 2024
© Сибирский государственный
университет телекоммуникаций
и информатики, 2024
...
2
Содержание
1 Комплексные числа и действия с ними 5
Структура комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Формы записи комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . 6
Операции с комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . 8
Линии и области на комплексной плоскости . . . . . . . . . 10
Дополнительные материалы к изучению раздела 1 . . . . . 13
Упражнения к разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Комплексные функции 16
Структура функции комплексного переменного . . . . . . . 16
Основные функции комплексного переменного . . . . . . . . 17
Экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Натуральный логарифм . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . 20
Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . 22
Дополнительные материалы к изучению раздела 2 . . . . . 24
Упражнения к разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
...
3 Дифференцирование и интегрирование функций ком-
плексного переменного 27
Предел функции комплексного переменного . . . . . . . . . 27
Дифференцирование ФКП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Определение производной и некоторые тонкости . . . . 29
Условия Коши — Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Вычисление производной . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Интегрирование ФКП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Интегрирование аналитической ФКП . . . . . . . . . . . . . 37
Теорема Коши для односвязной области . . . . . . . . . 37
Теорема Коши для многосвязной области . . . . . . . . 39
Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . 40
Дополнительные материалы к изучению раздела 3 . . . . . 44
Упражнения к разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Ряды, нули и особые точки 48
Числовые ряды в комплексной плоскости . . . . . . . . . . . 48
Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Нули функции и их порядок . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Особые точки и их характер . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Дополнительные материалы к изучению раздела 4 . . . . . 59
Упражнения к разделу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Теория вычетов 63
Вычет функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Теорема Коши о вычетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Вычисление несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . 71
Лемма Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2π
´
Вычисление интегралов вида
Дополнительные материалы к изучению раздела 5 . . . . . 76
Упражнения к разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ответы и указания 80
Ответы и указания к разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Ответы и указания к разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Ответы и указания к разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ответы и указания к разделу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Ответы и указания к разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
R(sin x, cos x)dx . . . . . . . 75
0
...
Варианты контрольных заданий 93
Задание 1. Линии и области . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Задание 2. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . 94
Задание 3. Интеграл по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Задание 4. Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Тесты для проверки знаний 98
Справочные материалы 100
Литература 102
4
1 Комплексные числа и действия с ними
Дорогой читатель! Теоретический материал, изложенный в этом разделе озвучен в виде лекции в ролике, ссылка на который дана на
Рисунке 1.
Рисунок 1 — Лекция по материалу раздела 1
Структура комплексного числа
Комплексное число — это упорядоченная пара двух вещественных
чисел
z = (x, y), x, y ∈ R.
x = Rez - действительная (вещественная) часть числа z,
y = Imz - мнимая часть числа z.
Числу z = (x, y) соответствует точка на комплексной плоскости
(Рисунок 2) с осями Rez (действительная ось) и Imz (мнимая ось).
Рисунок 2 — Геометрический смысл комплексного числа
Модуль числа z — это длина радиус-вектора точки (x, y). Для вычисления модуля достаточно очевидно используется теорема Пифагора,
которая вырождается в формулу
|z| =px2+ y2.
...
Аргумент числа z — это угол между радиус-вектором точки (x, y)
и осью Rez. Для вычисления аргумента используется геометрия и
5
здравый смысл. Если точка лежит на осях, то вы очевидным образом определить угол, для неочевидных случаев можно использовать
следующую формулу
arg z =
arctg
π + arctg
y
, x > 0
x
y
, x < 0
x
Важно помнить, что аргумент измеряется в разумных границах
0 ≤ arg z < 2π или −π < arg z ≤ π,
так как странно указывать в качестве угла между лучами такие значения, как −190o, 375oи тому подобные. Часто аргумент обозначают
буквой φ.
Комплексные числа равны, если равны их вещественные и мнимые
части. Число ¯z = (x, −y) называется сопряженным числу z = (x, y).
Аргументы взаимно сопряженных чисел отличаются знаком, модули
совпадают.
Формы записи комплексного числа
...
Число z = (0, 1) называется мнимая единица.
С учётом связи между декартовыми и полярными координатами на
плоскости (Рисунок 3), для числа z = (x, y) используют следующие
формы записи:
• алгебраическая форма: z = x + iy;
• тригонометрическая форма: z = |z|(cos φ + i sin φ);
• показательная форма: z = |z|eiφ.
Последняя форма следует из формулы Эйлера:
eiφ= cos φ + i sin φ.
Действительно, комбинируя разложения в степенной ряд для сину са
и косинуса
cos φ = 1 −
sin φ =
φ
1!
φ
2
2!
−
+
φ
3!
4
φ
4!
3
+
−
φ
φ
6!
5
6
+ ...,
− ...
5!
6
получаем разложение экспоненты в комплексной степени
cos φ + i sin φ = 1 +
iφ
1!
−
φ
2!
iφ
3!
3
φ
4
+
4!
2
−
+
iφ
5!
5
−
φ
6
+ ....
6!
Рисунок 3 — Связь модуля аргумента и
действительной и мнимой частей
Пример 1.1. Запишите числа, изображенные красными точками на
комплексной плоскости (Рисунок 4) в алгебраической и показательной
формах записи.
...
Рисунок 4 — Иллюстрация к примеру 1
Решение. Против часовой стрелки, по мере возрастании аргумента:
1) z1= (1; 1) = 1 + i =√2e
π
i
2) z2= (0; 1) = i = e
2
,|z| = 1, φ =
i
3) z3= (−2; 2) = −2 + 2i = 2
π
4
,|z| =√2, φ =
π
;
2
√
3π
i
4
2e
,|z| =
π
4
√
8, φ =
;
3π
;
4
4) z4= (−1; 0) = −1 = eπi, (|z| = 1, φ = π);
7
5) z5= (0; −2) = −2i = 2e
π
−i
2
,|z| = 2, φ = −
π
2
6) z6= (2; −1) = 2 −i =√5e
−iarctg
1
2
,|z| =√5, φ = −arctg
Операции с комплексными числами
;
3π
. ●
4
Пусть даны числа z1= x1+ iy1= |z1|e
iφ
1
, z2= x2+ iy2= |z2|e
iφ
2
тогда арифметические действия определяются следующим образом
• сложение: z1+ z2= (x1+ x2) + i (y1+ y2)
• умножение: z1z2= (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)
• деление:
z
z
1
2
x1+ iy
=
x2+ iy
(x1x2+ y1y2) + i(x2y1− x1y2)
1
=
2
2
2
+ y
2
2
x
2 + i
Пример 1.2. Вычислите
.
1 − i
Решение.
2 + i
1 − i
(2 + i)(1 + i)
=
(1 − i)(1 + i)
2 + 2i + i + i
=
12− i
2
2 + 2i + i −1
2
=
1 + 1
=
1 + 3i
.
2
●
• Возведение в натуральную степень удобно выполнять, если
число представлено в показательной форме записи:
,
...
zn= |z|ne
inφ
(формула Муавра).
Пример 1.3. Вычислите (1 + i)4, i34, (−1 + 2i)10.
Решение. Запишем числа в показательной форме, для этого изобра-
зим соответствующие точки на комплексной плоскости (Рисунок 5).
Рисунок 5 — Иллюстрация к примеру 3
1) 1 + i =√2e
π
i
4
, (1 + i)4=
√
2e
4
π
i
4
= 4eiπ= 4(cos π + i sin π) = −4;
8
π
i
2) i = e
2
, i34=e
3) −2 + 2i = 2√2e
π
34
i
2
3π
i
4
, (−2 + 2i)10=2√2e
= e
i17π
= e
i16πeiπ
= 1 ·(−1) = −1;
10
3π
i
4
= 215e
i
15π
2
= −215i.
●
• Извлечение корня удобно выполнять, если число представлено в
показательной форме записи:
√
n
z
Корень имеет n различных значений. Точки
вильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса
центром в начале координат. Первое значение
p
n
=
k
|z|e
φ
2πk
i
+
(
)
n
n
, k = 0, n − 1
√
n
z — вершины пра-
√
n
z соответствует лу-
p
n
|z| с
чу φ/n, остальные распределены равномерно по окружности с шагом
2π/n.
√
e
e
e
π
i
6
i
(
i
(
3
i.
= cos
π
2π
+
6
3
π
4π
+
6
3
)
)
π
6
= e
= e
+ i sin
5π
i
6
= −
π
i
2
= −i
π
i
2
, тогда
√
√
=
2
3
i
+
2
2
3
i
+
2
√
3
i.
π
6
Пример 1.4. Вычислите
Решение. Запишем число в показательной форме: i = e
√
3
i =
Изобразим соответствующие точки на плоскости (Рисунок 6): красным цветом обозначена точка i, а голубым — значения корня
...
Рисунок 6 — Иллюстрация к примеру 4
√
6
●
√
Пример 1.5. Вычислите
Решение. Модуль числа равен 4, а аргумент — 0. Все значения корня
расположены на окружности радиуса
6
4.
√
3
2. Отметим главное значение,
соответствующее лучу φ = 0, тогда остальные значения корня
расположены в вершинах правильного шестиугольника (Рисунок 7):
9
4
Рисунок 7 — Иллюстрация к примеру 5
r5=
√
r1=
√
3
2, r2=
√
√
π
3
i
2e
3
3
=
1
2
+ i
2
!
√
3
+ i
2
, r6=
, r4= −
√
3
−i
2e
r3=
√
3
2e
i
2π
√
=
3
2 −
3
1
2
!
√
2e
−i
2π
=
3
2 −
3
3
1
2
√
3
− i
2
!
√
3
,
2
√
3
2,
√
π
3
=
1
3
2
− i
2
√
!
3
2
●
Линии и области на комплексной плоскости
• Уравнение |z − zo| = R задаёт на плоскости окружность
радиуса R с центром в точке zo(Рисунок 8):
|z − zo| = R,
.
...
|x + iy − (xo+ iyo)| = R,
|(x − xo) + i(y − yo)| = R,
p
(x − xo)2+ (y − yo)2= R,
(x − xo)2+ (y − yo)2= R2.
Рисунок 8 — Окружность |z − (4 − 2i)| = 3
10