Функции нескольких переменных. Учебное пособие

УДК 517 Функции нескольких переменных: учебное пособие / Т.Л. Львова,

С.Н. Машнина, Л.С. Ревкова К.А. Ципоркова; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. – Рязань, 2023. – 30 с.

Приведены основные теоретические сведения по теме «Функции нескольких переменных». Содержит задачи для практических занятий и самостоятельной работы по теме «Функции нескольких переменных», изучаемой в дисциплине «Математика».

Предназначены для студентов всех форм, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика»,

Функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал, касательная плоскость экстремум

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра ЭМОП Рязанского государственного радиотехнического университета им. В.Ф. Уткина (зав. кафедрой д-р экон. наук, доцент Е.Н. Евдокимова)

ВВЕДЕНИЕ

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обращаются на случай большего числа переменных.

§ 1. Область определения функций нескольких переменных

определенной на D : z = f (M ). Иначе будем рассматривать функцию двух независимых переменных z = f (x, y ) .

Областью определения функции двух переменных является некоторое множество точек на координатной плоскости, а графиком – некоторая поверхность в трехмерном пространстве.

Найти область определения следующих функций.

данной функции является круг радиусом 4 с центром в начале координат.

Поэтому областью определения функции z является все пространство R 2 , кроме точки (0, 0) .

Пример 3. z = arcsin (x + y ) .

Решение. Областью определения z является совокупность значений x и y , удовлетворяющих неравенствам:

−1 x + y 1 .

На плоскости Oxy эта область представляет полосу, ограниченную параллельными прямыми x + y +1 = 0 и x + y −1 = 0 .

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y )

называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью z = C ( C = const ), параллельной координатной плоскости Oxy .

Линии уровня, соответствующие различным значениям C – это семейство кривых на координатной плоскости Oxy , описываемое

уравнением вида f (x, y ) = C . Линии уровня применяются для исследования характера графика функции z = f (x, y ) .

§ 2. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

Частным приращением функции z = f (x, y ) по переменной x

в точке M 0 (x0 , y0 ) , соответствующим приращению x , называется величина x f (M 0 , x) = f (x0 + x, y0 )− f (x0 , y0 ) .

3

Частным приращением функции z = f (x, y ) по переменной y

в точке M 0 (x0 , y0 ) , соответствующим приращению y , называется

фиксированном значении x . Отсюда следует, что для частных производных остается справедливой таблица производных и правила вычисления производных.

4

Пример 4. Найти частные производные функции z = 3x2 + xy2 .

dz = (3x2 − 2 y )dx + (2 y − 2x)dy .

5

Пример 7. u = xy + yz − xz . ux = ? uy = ?

Решение. Считаем u функцией от x , а y и z – постоянными, тогда

ux = 1y + xz2 .

Считая u функцией от y , а z и x – постоянными, получаем

uy = − yx2 + 1z ;.

Аналогично, uz = − zy2 − 1x .

§ 3. Производная сложной функции.

Производная сложной функции одной независимой переменной

Решение.

дифференцируемая функция всех своих переменных Fz (x, y, z) 0 , то

частные производные этой неявно заданной функции находятся по формулам

Если F (x, y) = 0 , то неявная функция имеет только одну независимую переменную и её производная равна

dy = − Fx (x, y) . dx Fy (x, y)

Пример 12. ez − cos x sin y = 0 . xz = ? yz = ?

Решение.