Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции нескольких переменных. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

614 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

	9
Если уравнение	поверхности задано			в виде	z = f (x, y ) , то
уравнение касательной плоскости примет вид:

z − z0	= fx	M 0 (x − x0 ) + f y	M 0	( y − y0 ) .
Прямая, проведенная через точку M 0 (x0 , y0 , z0 )					поверхности

перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Ее направление определяется вектором N и канонические уравнения примут вид:

x − x0		=	y − y0		=	z − z0		,

F	M0		F	M0		F	M0
x			y			z

а если уравнение поверхности задано в виде z = f (x, y ) , то

x − x0			=	y − y0			=	z − z0	.
			=				=		.
								−1
fx	M	0		f y	M	0

Пример 14. Дана поверхность z = x2 − 2xy + y2 − x + 2 y Составить уравнение касательной плоскости и уравнения

нормали к поверхности в точке M 0 (1,1,1).

Решение.

Частные производные:

= 2x − 2 y −1и

= −2x + 2 y + 2 и их

значения в точке M 0 (1,1,1): z

M = fx

M = −1,

M = f y

= 2.

Уравнение касательной плоскости:

z −1 = −(x −1) + 2( y −1) или x − 2 y + z = 0 .

Уравнение нормали:

x −1

y −1

z −1

−1

§ 6. Производная от функции по данному направлению

Пусть скалярное поле u = f (M )

определено в области D Rn .

Зафиксируем точку

M 0 D и выберем некоторое направление,

определяемое вектором

Если существует предел

u = lim

u , то

l →0

его

называют

производной

функции

u = f (M )

по

данному

направлению l в заданной точке M 0 , где

MM 0 || l .

u = f (M ) − f (M 0 ),

l =

MM 0

Пусть в пространстве R3

введена декартова система координат,

тогда

f (M ) = f (x, y, z) .

Пусть

функция

u = f (x, y, z)

дифференцируема в точке

M 0 .

Производную функции u = f (x, y, z)

в точке M 0

по направлению вектора l

= (lx , ly , lz ) вычисляют по

формуле:

cos + u

cos ,

где

cos =

, cos =

–

направляющие

косинусы

вектора l .

Пример

15.

Вычислить

производную

скалярного

поля

z = ln(x2 + y2 )

в точке M

(1; 2)

параболы

= 4x

по направлению

кривой (в направлении возрастания абсцисс).

Решение.

Пусть касательная к кривой в точке

M 0

образует с

осью OX

угол :

tg = y

=1 = .

x=1

Тогда cos =

;

cos = cos(

− ) = sin =

;

2 y

x2 + y2

x=1

y =

y =2

Производная по направлению для плоского скалярного поля

будет равна:

cos + u

cos =

2 .

Градиент скалярного поля

Градиентом

скалярного

поля u = f (M )

данной точке M 0

называется вектор

gradu

= u

i + u

j + u

k .

Градиент и производная по направлению связаны формулой:

grad u

= (G l ),

где G = grad u ;

(G l ) =

cos G l

grad u

Замечание

по

величине

направлению

дает

наибольшую скорость изменения функции u = f (x, y, z) .

Замечание 2. grad u в данной точке

M 0 (x0 , y0 , z0 )

направлен по

нормали к поверхности уровня, проходящей через точку M 0 .

Пример 16. Найти градиент функции

z = sin(2xy)

точке

M 0 (1, ) .

Решение.

Найдём частные производные функции z = sin(2xy) :

= (sin(2xy)) x

= 2 y cos xy ,

= (sin(2xy)) y = 2x cos xy .

Вычислим значения частных производных в точке M 0 (1, ) :

y x

	12
z (M0 )	= 2 cos (2 ) = 2 ,	z (M0 )	= 2	1cos (2 ) = 2 .
x	= 2 cos (2 ) = 2 ,	y	= 2	1cos (2 ) = 2 .
x		y

Подставляя значения в формулу градиента, получаем вектор: gradu M0 = 2 i + 2 j

§ 7. Частные производные и дифференциалы второго порядка функции двух переменных

Пусть	функция		z = f (x, y ) имеет	частные		производные в
области D , тогда,		дифференцируя ее на этом множестве, получаем
fx (x, y ) ,	f y (x, y ) .	Значения частных производных,				вообще говоря,
зависят от x и y ,			т.е. частные производные		fx (x, y ) и		f y (x, y )
представляют собой			тоже функции от	x и	y ,	которые	можно
дифференцировать.
Частной производной второго порядка					функции z = f (x, y )

называется частная производная от частной производной первого порядка, если она существует.

Частные производные от функции f (x, y ) обозначаются так:

2 f (x, y )

(

)

x, y

– частная производная второго порядка по x ,

2 f (x, y )

(x, y )

– частная производная второго порядка по y.

f yy

2 f (x, y)

– смешанные производные второго порядка

x y

y x

функции

f (x, y ).

Последнее равенство имеет место в случае непрерывности

2 f (x, y ) и 2 f (x, y ) .

x y

Пример 17. Найти все частные производные второго порядка функции z = x y + ln (xy ) .

Решение. Найдем частные производные

по x и y данной

функции:

= yx y −1 +

= x y ln x +

Далее найдем все частные производные второго порядка

функции:

2 z = y

(

y −1 x y −2 −

2 z = x y

ln2 x −

)

	2 z	= x y −1 + yx y −1 ln x ,
	x y	= x y −1 + yx y −1 ln x ,
	x y

Дифференциалом второго

	2 z	= yx y −1 ln x + x y −1 .
	y x	= yx y −1 ln x + x y −1 .
	y x

порядка от функции f (x, y )

называется дифференциал от дифференциала первого порядка. Итак, по определению

z = d

f (x, y ) = d

dx +

2 f

+ 2

2 f

dxdy +

x y

Пример 18. Найти дифференциал

второго

порядка

z = x y

+ ln (xy ) .

dy2

функции

Решение.

y −2

y-1

y −1

z = y (y −1)x

−

+ (x

+ yx

ln x)dxdy + x

x −

§ 8. Экстремумы функций многих переменных

Рассмотрим функцию z = f (x, y ) и точку M 0 (x0 , y0 ) D .


Если	в	некоторой	окрестности	точки		M 0	(x0 , y0 ) D
выполняется	неравенство		f (x, y ) f (x0 , y0 ) ,		то	точка M 0		(x0 , y0 )
называется точкой локального минимума функции z = f (x, y ) .
Если	в	некоторой	окрестности	точки		M 0	(x0 , y0 ) D
выполняется	неравенство		f (x, y ) f (x0 , y0 ) ,		то	точка	M 0	(x0 , y0 )

называется точкой локального минимума функции z = f (x, y ) .

Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.

M 0 (x0 , y0 )

Необходимое условие локального экстремума

Теорема 1. Пусть функция

z = f (x, y ) определена в некоторой

окрестности точки M 0 (x0 ,

y0 ) и имеет в этой точке конечные частные

производные. Если точка

M 0 (x0 , y0 )

является точкой локального

экстремума функции z = f (x, y ) ,

то значения частных производных в

этой точке равны нулю:

(x0 , y0 )

= 0 .

Точка

M 0 (x0 , y0 ) области

определения функции, в которой

f (x0 , y0 )

= 0

называется стационарной.

Достаточные условия существования локального экстремума

Теорема 2. Пусть функция z = f (x, y ) в некоторой окрестности стационарной точки имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда: 1) если

		2 z (M 0 )	2 z (M 0 )
		2 z (M 0 )	2 z (M 0 )
(M	0 ) =	x2	y x	0 то в
(M	0 ) =	2 z (M 0 )	2 z (M 0 )	0 то в
		2 z (M 0 )	2 z (M 0 )
		x y	y2

локальный экстремум, причем, если

является точкой локального минимума.

Если	2 z (M	0 )	0	, то точка	M 0
	x2

максимума;

точке M 0 функция имеет

2 z (M0 ) 0 , то точка M 0

является точкой локального

2)если (M 0 ) 0 , то в точке M 0 нет экстремума;

3)если = 0 , то задача требует дополнительного исследования.

Алгоритм исследования функции двух переменных на локальный экстремум

1) Найти частные производные первого порядка функции z = f (x, y ) : xz , yz .

2) Найти стационарные точки функции, решив систему

z = 0

уравнений: .

z = 0y

3) Найти частные производные второго порядка:

2 z

x y

y x

2 z

Составить определитель =

y x

2 z

x y

4)Вычислить значения определителя во всех стационарных точках. Применить достаточные условия существования локального экстремума.

5)Вычислить значения функции в точках локального экстремума.

Пример

19.

Найти точки локального

экстремума

функции

z = 8x3 + y3 − 6xy + 4 .

Решение. 1) Найдём частные производные первого порядка:

= 24x2 − 6 y ,

= 3y2 − 6x .

2) Найдём стационарные точки функции:

= 0,

24x

− 6 y = 0,

− y = 0,

x =

3y2 − 6x = 0;

− 2x = 0;

y = 0;

6 y

− 6 y = 0;

									16
				y2				x = 0,
				y2
	x		=			,		y = 0;
	x		=			,		y = 0;
				2			x = 0, 5,
		3	−1)		= 0;		x = 0, 5,
y( y			−1)		= 0;				y = 1.
									y = 1.

Таким образом, стационарные точки: O (0, 0), M 0 (0,5;1) .

3) Вычислим

частные производные

второго порядка:

2 z2 = (24x2 − 6 y )

= 48x ,

2 z

= (24x2 − 6 y)

= −6 ,

x y

2 z2 = (3y2

− 6x)

= 6 y ,

2 z

= (3x2 − 6 y)

= −6 .

y x

x y

−6

= 288xy − 36 .

Тогда определитель примет вид: =

48x

−6

6 y

4) Вычислим значения определителя в стационарных точках:

(O) = 0 − 36 = −36 0 , значит, в точке O (0, 0) экстремума нет;

(M 0 ) = 288 0,5 1− 36 = 144 − 36 = 108 0 ,				следовательно, в
точке M 0 (0,5;1) есть локальный экстремум.
	2 z (M 0 )	= 24 0 , то точка	M 0 (0,5;1) –	точка локального
	x2

минимума.

5) Вычислим значение функции в точке M 0 (0,5;1) : z (M 0 ) = 8(0, 5)3 +1− 6 0, 5 1+ 4 = 3 .

Итак, точка локального минимума M 0 (0,5;1) , z (M 0 ) = 3 .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1. Найдите область определения функции z = f (x, y ) . Сделать чертеж.

1.1

z = log3 (y +

+1)

1.2

z =

− y +1

2x + y

1.3

(

)

z = ln x

− 2x

+ y

+ 4 y +1

1.4

z = y +1 ln x + x − y

1.5

= log

2x + y +1

1.6

z =

y2 − 2x + 4

1.7

z =

x2 + 4x + y2 − 6 y − 3

1.8

(

)

= arcsin

y − 2x −1

1.9

z =

2x + y −1

x − y

1.10

z = log3 (

+ y

− 9)

1.11

z = log2

x + y −1

y −1

1.12

(

)

= arcsin

3x − y +1

1.13

x + y −1

z = ln

y −1

1.14

z =

+ y −1

2x − y

1.15

z =

2x −

y +1

1.16

(

)

z = arccos

x − 2 y +1

1.17

z =

y −1

x +1

x + y

x − y

1.18

(

)

z = ln −x

+ 2x − y

+ 4 y −1

1.19

z =

1−

−

1.20

z = ln

− 4x + 8)

1.21

+ y

z = arcsin

1.22

z =

y −1

5xy

1.23

z =

−1

1.24

z = log

4 (2 y + x

+ 3)

1.25

z = arccos

y −1

1.26

z = y + 3 ln x + y − x

1.27

z =

3 − x2 − 3y2

1.28

2x + y −1

z = lg

y −1

1.29

z =

−x2 + 4x − y2 − 6 y + 3

1.30

(

)

z = arcsin

x − 2 y +1

Задание 2. Дана сложная функция

z = f (u, v) ,

u = (x,

y ) ,

v = (x, y ) .

Найдите

2.1

arcsin (v −1) , u = (3x −1)2 y +2 , v = 3

z =

2.2

u = arctg (x2 − y ) ,

z =

u2 + 3v4 ,

v = x log2

2.3

z = tg (u

v ) ,

u = cos

(xy ) ,

v = 3

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]