Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции нескольких переменных. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

614 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

2.4

(

)

(

)

z = arccos

uv , u =

2 y +1 3x

−2 ,

v = ln

x2 − y3

2.5

z = (

)v ,

u = e2 xy2 ,

v = sin (x3 + 2 y4 )

2.6

v = ctg (xy2 )

z = log3

uv ,

= sin

2.7

z = cos

v = 4x − y

u =

sin

2.8

sin (2 − v)

v = log2 (x3 y )

z =

u = arctg

xy ,

2.9

u = (2 y )3x ,

v = xy2

z =

2u3 + 3v2

2.10

z = sin2 (v − 3u ),

u = log2 (xy) ,

v = xy2 − x3 y

2.11

z = cos

(4uv −

) ,

u = e

x2 y

= ln (x

+ y

)

2.12

= cos (xy )

z = arctg

uv ,

2.13

(

)

, u =

(

)

3 y +2 , v =

z =

u arcsin

−1

2x −1

2.14

u = arctg (x3 − y ),

z =

u2 + 2v4

v = x log3

2.15

z = tg (u

v ) ,

= cos

(xy ) , v = 2

2.16

3x −1

z = arccos

uv , u = (

2 y + 3)

v = ln (x

− y )

2.17

z = (

)v ,

u = e3 xy ,

v = sin (x2 + 4 y3 )

2.18

v = ctg (xy3 )

z = lg

uv ,

u = sin

2.19

z = sin

v = 2x − y

u =

cos

2.20

z =

sin (3 − v)

, v = ln (x3 y )

u = arcctg

2.21

u = (3y )2 x ,

v = xy2

z =

3u2 + 2v3

2.22

z = sin3 (v − u ),

u = log3 (x2 y) ,

v = xy2 − x2 y

2.23

z = cos

(uv − 3u

) ,

u = e

2 y

v = lg (x

+ y

)

2.24

2 y

v = cos (4xy )

z = arctg

2uv ,

u =

x2 +1

2.25

u = (3x − 2)2 y +2 , v = 4

z = u arcsin (v − 2) ,

2.26

u = arctg (x2 + y ) ,

z = u2 − v4

v = x lg y

2.27

z = tg (u v ) , u = cos

(4xy )

v = 5

2.28

4 x −1

z = arcsin

uv , u = (2 y + 2)

v = ln (x

+ y )

2.29

z = (

)v ,

u = e5 xy2

, v = cos (x3 + 2 y4 )

2.30

v = tg (xy2 )

z = log4

uv ,

u = cos

Задание 3. Найдите производные

функции, заданной

неявно.

3.1

4xy

+ log2 (z

y )− cos (zx

) = 0

3.2

2 yz4 − x sin z + x2 y3 −1 = 0

3.3

x5 y − 3yz3 + 2xz

+ 4 = 0

3.4

z − sin (2x − z )− 3x2 y3

= 0

3.5

2 z

xy +

z + xy + e

= 0

3.6

e3xz − x3 y3 + y ln x − z2

= 0

3.7

eyz − z (x + y )− 4sin (xy ) = 0

3.8

3cos ( y − z )− x2 z3 + 2xy

= 0

3.9

3xy

+ yz3 − sin (x + z )+ 4 = 0

3.10

xz3 − tg (xy )+ 3x2 y4 − 2yz

= 0

3.11

2xy

− yz

xy + e

= 0

3.12

e5 xz − 4x2 y4 − y ln x + z3

= 0

3.13

2xy

+ lg (y

z )− cos (zx

) = 0

3.14	4 yz3 − x sin z + 5x2 y3 −10 = 0
3.15					x4 y − 3yz2 + 2xz + 5 = 0

3.16
3.16	y				z − sin (5x − z )− 2x2 y3																			= 0

3.17									2											5 z
			xz + 2 y						2		z		+				xy + e			5 z			= 0
			xz + 2 y								z		+				xy + e						= 0

3.18		e2 xz − x2 y3 + y ln x − z3																					= 0
3.19	e4 yz + z (x + y )− sin (2xy ) = 0

3.20	4 cos ( y + z )− x2 z2 + 5xy = 0

3.21	7xy + yz2 − sin (x + z )− 2 = 0

3.22	xz2 − tg (2xy )− x2 y4 − e yz																							= 0

3.23							2					3									2 z
		2xy					2	− yz				3		+				xy + 4			2 z		= 0
		2xy						− yz						+				xy + 4					= 0

3.24		exz − 3x2 y4 − y ln x + z3																					= 0

3.25
3.25	5xy	3	+ log3 (z												2 y )+ cos (zx									2	) = 0
	5xy		+ log3 (z												2 y )+ cos (zx										) = 0
3.26			5 yz3 − x sin z + xy3 +1 = 0

3.27					xy − 4 yz3 + 3xz − 5 = 0
3.28
3.28	y			z − cos (3x − z )+ 2x2 y3																				= 0

3.29										2											4 z
		3xy − 2 y								2		z		+				xy + e			4 z		= 0
		3xy − 2 y										z		+				xy + e					= 0

3.30		e4 xz − x2 y2 + y ln x − z3																					= 0
Задание 4. Вычислите приближенно:

4.1								5 32, 04 + 0, 02 3

4.2													3								2
			(					2, 02)							(	2 −1, 04 )
4.3								(2,96)									2		− 2
								(2,96)											− 2
												(0,98)3

4.4
4.4								0, 97						2		+			2, 01			3
								0, 97								+			2, 01

4.5						((3, 05)3 − 7)(20,96 )

	22

4.6			3	7, 98

	1+			(						)	2
	1+			1, 04							2
4.7	(					)
4.7		1, 02					1,96
4.8
4.8	3, 96		3		−	3, 02						3	−1
	3, 96				−	3, 02							−1

4.9	(3,96)					2		+ 4
						2

		(					)
			1,98					3
4.10	(0, 96)							3,02
4.10


4.11	((2, 06)4 − 6)(20,98 )

4.12
4.12			3 8, 09
	1+ (0,96)2

4.13
4.13	5 32, 05 + 0, 01 3

4.14			3										2
	(2, 03)			(2 −1, 02									)
4.15	(2,98)					2		− 2
						2

		(0,99)3

4.16
4.16	0,98 2 + 2, 02 3

4.17	((3, 02)3 − 7)(20,97 )

4.18			3
4.18			3	7, 96

	1+			(						)	2
	1+			1, 03							2
4.19	(					)	2,12
4.19		1, 04					2,12
4.20
4.20	3, 98		3		−	3, 01						3	−1
	3, 98				−	3, 01							−1

4.21	(3,98)					2		+8
						2

		(					)		3
			1,97						3
4.22	(0, 97)							3,01
4.22


4.23	((2, 05)4 − 6)(20,99 )

												23

4.24																3 8, 04
											1+ (0,98)2

4.25
4.25					5 31, 94 + 0, 01 3

4.26				(									)		3					(													2			)
				1, 98																	2		− 0, 95
4.27											(3, 06)												2		− 2
																							2

														(0,98)3

4.28
4.28								1, 07 2 + 1, 98 3

4.29				((3, 04)3 − 7)(																								40,96 )
4.30
4.30																3 8, 08
											1+ (0,94)2

Задание 5. Найдите дифференциал dz в точке M .

5.1	z = sin									2		(		x − y									)									(							)
	z = sin													x − y											,			M							2, 1
5.2					3							(										)								(										)
	z = x						ln 1									+ y , M −2, 0
5.3						3			(					2									)								(								)
		z = x										y						+ 4 , M 2, −1
5.4				z =						(		x2 + 2											)		y ,									(					)
5.4				z =								x2 + 2													y ,					M							0, 1
5.5																		xy									(										)
							z = 3														,		M 0, 1
5.6						z =													x					,		M				(		0, 1
						z =																		,		M						0, 1
															y +1																								)
															y +1

5.7	z = cos										(					2				− y				)									(						)
	z = cos												x							− y						,			M 1, 1
5.8														(											2	)											(			)
			z = sin														x + y											,		M 0, 1
5.9		(		2							)							(									)											(		)
	z =		x		−1 ln y + 2 , M 2, −1
5.10	z	= sin x									cos y ,														M												,
	z	= sin x									cos y ,														M												,
																																4							4
5.11					z =							2			xy											(								)
					z =							2								,		M 1, 0

												24

5.12							z =									y					,		M				(		0, 1
							z =														,		M						0, 1
													x + 2																						)
													x + 2

5.13										2		(									)									(						)
	z = cos													x − y ,											M							2, 1
5.14						3						(									)							(									)
	z = y							ln 1								+ x , M 0, −2
5.15							3		(				2								)							(								)
	z = y										x					+ 4 , M 2, −1
5.16				z =						(		y2				+ 2					)		x									(						)
5.16				z =								y2				+ 2							x	,		M 1, 0
5.17																xy								(									)
							z =						4					,			M 0, 1
5.18							z =									y						,	M 1, 0												)
							z =															,	M 1, 0
														x +1													(
														x +1
5.19	z = sin									(				2		− y					)									(						)
	z = sin											x				− y							,		M 1, 1
5.20		z = cos											(		x + y								2	)									(						)
		z = cos													x + y											,		M 0, 1
5.21	z = (y			2		−1)ln										(x + 2) , M (−1, 2)

5.22	z = sin y										cos x ,												M										,
	z = sin y										cos x ,												M										,
																											4								4
5.23					z =						5			xy									(								)
					z =						5					,			M 1, 0
5.24							z =									x						,		M 1, 0											)
							z =															,		M 1, 0
														y + 2													(
														y + 2

5.25	z = sin								2		(					− y					)								(							)
	z = sin												x			− y							,		M							2, 1
5.26						2						(									)								(								)
	z = x							ln 1								+ y , M 2, 0
5.27							4		(				2							)								(								)
	z = x										y					+ 3 , M 2, −1
5.28				z =					(		x3					+			)		2 y											(						)
5.28				z =							x3					+		1			2 y			,		M							0, 1
5.29		(			2							)					(									)								(					)
	z =		x					+1 ln y + 2 , M 2, −1
5.30							z =								3x						,		M				(		0, 1
							z =														,		M						0, 1
													y + 2																						)
													y + 2

Задание 6. Найдите производную функции u = f (x, y, z ) в точке M

по направлению вектора h .

6.1								x						y							M		(	2, 1, 1
6.1		u =						x		−				y				,													,			h = 2i + 2 j − k
		u =								−								,													,			h = 2i + 2 j − k
									y			x + z																		)
									y			x + z

6.2
	u = x2 y − xy + z2																					M			1, 5,						− 2				)
	u = x2 y − xy + z2																			,		M			1, 5,						− 2					,		h = i + 2 j − 2k
																									(
6.3			(																)						(											)
	u = x				ln y − arctg z															,		M				−2, 1,								−1			, h = 8i + 4 j − k
6.4					(						2	)							2							(								)
	u = ln 3 − x										2			+ xy					2	z		,	M 1, 3, 2 , h = −i + 2 j − 2k
	u = ln 3 − x													+ xy						z		,	M 1, 3, 2 , h = −i + 2 j − 2k

6.5										(			2						2	)						(								)
	u = x + ln y												2			+ z			2			,	M 2, 1, 1 , h = −2i + j − k
	u = x + ln y															+ z						,	M 2, 1, 1 , h = −2i + j − k

6.6					(								)		z													(								)
6.6	u =						x		+ 2 y						z		+				xyz				,	M				3, 3, 1								,		h = 4i + 3 j
6.7		2				2						(							)						(							)
	u = x	2		y		2	z		− ln z −1 , M 1, 1, 2 , h = 5i − 6 j + 2 5k
	u = x			y			z		− ln z −1 , M 1, 1, 2 , h = 5i − 6 j + 2 5k

6.8
	u = x3 +														y2 + z2										M 1,						− 3, 4						)
	u = x3 +														y2 + z2								,		M 1,						− 3, 4								,		h = j − k
																											(
6.9																												(											)
6.9	u = 2						x + y + y arctg z																		,	M			3,				− 2, 1							, h = 4i − 3k

6.10		2												(								)					(									)
	u = z			+ 2 arctg												x + y							,		M 1, 2,									−1				,		h = i + 2 j − 2k

6.11u = y + ln (x2 + z2 ) , M (1, 2, 1) , h = −2i + j − k

6.12		(					)	x							(			)
6.12	u =		y + 2z					x	+			xyz , M			1, 1, 1					, h = 3i + 4 j

6.13	u =			x	−		y					M 1, 1, 1
6.13				x			y			,						, h = 2i + 2 j − k
										,						, h = 2i + 2 j − k
				z		x + z								(	)
				z		x + z

6.14
	u = xy2 − xy + z2															− 2	)
	u = xy2 − xy + z2										,			M 1, 5,		− 2		,	h = 2i			+ j − 2k
														(
6.15	(										)			(			)
	u = y ln x − arctg z												,	M 1, 2,		−1		,		h = i	+ 8 j + 4k

6.16u = ln (5 − x2 )+ xy2 z , M (2, 3, 2) , h = −i + 2 j − 2k

6.17u = y + ln (x2 + z2 ) , M (1, 2, 1) , h = −i + j − 2k

6.18u = (2x + y )z + xyz , M (3, 3, 1) , h = −4i + 3 j

6.19u = x3 y2 z − ln (z − 2) , M (1, 1, 3) , h = −5i + 6 j + 25k

6.20
	u = x2 y − xy + z2 ,	M 1, 5, −2	)
	u = x2 y − xy + z2 ,	M 1, 5, −2		, h = 2 j − 2k
		(

6.21u = 4x + y + y arctg z , M (2, 2, 1) , h = 4i − 3k

6.22		2		(	)	(	)
	u = z	2	+ 3arctg		x − y ,	M 1, 2,	−1 , h = i + 2 j − 2k
	u = z		+ 3arctg		x − y ,	M 1, 2,	−1 , h = i + 2 j − 2k

6.23u = 3y + 2 ln (x2 + z2 ) , M (1, 2, 0) , h = −2i + j − k


6.24		(		)	x +	(	)
6.24	u =		z + 2 y		x +	xyz , M 1, 1, 1 , h = 4i + 3 j

6.25u = xy + 9 − z2 , M (1, 1, 0) , h = −2i + 2 j − k .

6.26u = x (ln z − arctg y ), M (−2, −1, 1) , h = 8i + 4 j + 8k

6.27u = y + ln (x2 + z2 ) , M (2, 1, 1) , h = −2i + j − 2k

6.28
	u = 5x4 + y2 + z2				− 4, 3		)
	u = 5x4 + y2 + z2	,	M 1,		− 4, 3			, h = − j − k
				(
6.29
	u = x2 + y2 + z2	3
	u = x2 + y2 + z2	3	,	M 1, 1, 1		,		h = i − j + k
				(	)

6.30				(	)
6.30	u = 2 x − y + y arctg z , M				3, −1, 1 ,	h = −3i − 4k

Задание 7. Найдите экстремумы функции z = f (x,						y ) .

7.1			z = x2 + y2 − 6x + 4 y − xy + 3

7.2			z = 4x2 + y2 − 4 (x + y )+ 6

7.3			z = 12 − x2 − 2 y2 − 6x + 4 y
7.4		z = 3x2 + 6 y2 − xy + 7x −13y + 5

7.5			z = 5x2 − 4xy + y2 − 2x
7.6		z = 5 − 4x2 − 2 y2 + xy + 6x + 7 y
7.7			z = −5x2 + 2 y2 + 3xy +14x −1

7.8			z = x2 + 3y2 − 2xy − 8 y + 7
7.9		z = 5x2 + 2 y2 − 2xy + 4x −8 y + 5

7.10		z = 3 − 3x2 − y2 + 4xy + 6x − 4 y
7.11			z = x2 + xy + 2 y2 −10x −12 y

7.12			z = 4xy − x2 − 5 y2 + 2 y + 5

7.13			z = x2 + y2 − 4x + 6 y − xy + 3
7.14			z = 4x2 + y2 − 2 (x + y )+ 2

7.15			z = 10 − x2 − 2 y2 −8x + 4 y

	27

7.16	z = 3x2 + 6 y2 − xy − 5x −11y + 4
7.17	z = 5x2 + 4xy + y2 − 2x − 2

7.18	z = 10 − 4x2 − 2 y2 + xy +14x + 6 y
7.19	z = −2x2 − 4 y2 + 3xy +13x − 4 y − 3

7.20	z = x2 + 5 y2 − 2xy −8 y +1

7.21	z = 3x2 + 2 y2 − 2xy + 4x −8 y + 6
7.22	z = 3 − 6x2 − y2 + 2xy + 6x − 2 y

7.23	z = 2x2 + xy + y2 −12x −10 y
7.24	z = 4xy − x2 − 6 y2 + 2x + 8 y + 5

7.25	z = x2 + 5 y2 − 2xy − 6 y − 2x

7.26	z = 2x2 + y2 − xy − 5x + 3y + 8
7.27	z = 4 − 2x2 − y2 − xy + 4x − 6 y

7.28	z = x2 + 6 y2 − 2xy + 4x −12 y − 9
7.29	z = 7 − 5x2 − 4xy − y2 − 2x

7.30	z = 3x2 + 2 y2 + xy + 6x + y −1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бухенский К. В., Елкина Н.В., Маслова Н.Н., Ципоркова К.А. Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. – Рязань: РГРТУ,

2010.

2.Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании [Текст] / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. –

М.: Дело, 2002.

3.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Физматлит., 1995.

4.Данко П.Е. и др. ВМ в упражнениях и задачах в 2-х частях. – М.: Высшая школа, 1996.

5.Кастрица О. А. Высшая математика для экономистов. – М.: Новое знание, 2008.

6.Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. Вся высшая математика. – М

.: УРСС, 2000-2001. Т. 1.

7.Красс, М.С. Математика для экономистов [Текст] / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2005.

8.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017.

9.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М., 2017.

10.Сиротина В. М. Тематические тесты для экономических специальностей ВУЗов. – Минск, 2014.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]