Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Электромагнетизм. Колебания и волны. Волновая оптика. Квантовая оптика. Учебное пособие
.pdf
2
B
x
Подставляя это выражение в уравнение
2
Ф
2 S
0
0
Ф
2 S
С учетом формул
VlS
и
.
2
2
0
2
0
2
0
уравнение
, получим
WV
прини-
мает вид
22
ФФ
lS l
W
2
2
2
S
0
00
0
.
S
Подставляя численные значения величин, получаем
52
W
1(8 10 )
2 4 3,14 10 2 10
Задача 6. Колебание материальной точки, масса которой
описывается уравнением
73
⎛⎞
0,1sin , м.
х t
⎜⎟
24
⎝⎠
1, 27 [Дж].
2
10 кг,
Определите период
колебаний, максимальное значение возвращающей силы, отношение
кинетической и потенциальной энергии точки для тех моментов вре-
мени, когда смещение составило
м
; постройте в одних осях коорди-
2
нат в пределах одного периода зависимость смещения, потенциальной,
кинетической и полной энергии от времени.
Анализ и решение. Уравнение колебаний
ним с заданным уравнением. Получаем, что
sin ( ).хА t Срав-
0,1 м,
A
0
2 с
рад
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
Так как период есть величина, обратная круговой частоте, то можем
222
рассчитать
4 [с].T
.
41
Скорость есть первая производная от смещения:
х
A
g
cos( ).At Скорость будет максимальной, если максимален
косинус:
производная от скорости:
ускорение будет при максимальном синусе:
да
max 0
0
cos ( ) 1.t
max 0
Тогда
max
22
, sin( ):aAFmamA t
2
22 3
FmA
[H];
max
Е t
кин 0
10 0,1 2,46 10
222
mmA
v
22
4
cos ( );
.
v
Ускорение есть первая
2
sin ( ).aA t
v Максимальное
0
sin ( ) 1.t Отсю-
max 0
2
v
если
222
kx mA
Е t
п 0
22
A
x
A
,
2
2
sin ( );
sin ( )
At
cos( ) 1
Е
Е
0
t
14 1
п
;
43 3
кин
2
sin ( )
;
0
Е
п
Е
кин
t
0
13
22
3ЕЕ .
кин п
2
tg ( ),
1
;
t
2
;
0
Задача 7. Во сколько раз увеличится полная механическая энергия
маятника при уменьшении его длины в 4 раза и увеличении амплитуды
колебаний в 3 раза?
Анализ и решение. Полная механическая энергия маятника
22
max
Тогда
mAW
2
W
, где
.
l
22
mg A
WmgA l A l
221 12
2222
WAl
22
llmgA
112
22 2
234
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
21
⎝⎠⎝⎠
2
144.
42
Задача 8. Если увеличить на 600 г массу груза, подвешенного
J
к спиральной пружине, то период колебаний груза возрастет в 2 раза.
Определите массу первоначально подвешенного груза.
Анализ и решение.
21
T
2
.mm m Период пружинного маятника
m
1
2
Tk ;
1
mm
1
2
.
k
По условию
mm m
222
;
2.TT Следовательно,
21
11
kk
1
11
0,2 [кг].m
4mmm ;
mm
;
1
3
Задача 9. Первичная обмотка трансформатора с коэффициентом
трансформации 5 включена в сеть напряжением 220 В. Сопротивление
вторичной обмотки трансформатора 2 Ом, ток во вторичной обмотке 3 А.
Определите напряжение на зажимах вторичной обмотки. Потерями в
первичной обмотке пренебречь.
Анализ и решение. Коэффициент трансформации
В первичной обмотке
мал,
1
, , UUJrr – сопротив-
112 2222
k
;
2
.UJr
1
ление вторичной обмотки.
Тогда
U
1
.
38 [В].
Отсюда можем посчитать
k
UJR
222
U
UJR
1
222
k
Задача 10. В процессе колебаний в идеальном колебательном контуре в момент времени t заряд конденсатора q = 4 нКл, а сила тока
в катушке J = 3 мА. Период колебаний Т = 6,3 мкс. Найдите амплитуду
колебаний заряда.
43
2
J
J
q
m
Анализ и решение. Из закона сохранения энергии
22 2
qqLCJ Формула Томсона: 2;TLC
m
.
2
T
LC
,
2
4
22
qLJ
;
CC
222
тогда
22
m
2
4
TJ
29
qq
510 [Кл].
Задача 11. Емкость колебательного контура радиоприемника 0,2 пФ, а
в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции 0,1 В при скорости изменения в ней тока, равной 2 А/с. Определите, на какую длину
волны настроен радиоприемник.
Анализ и решение.
можно определить по формуле Томсона:
J
t
и 188 [м].
ЭДС самоиндукции
Тогда
2
TC
где Т – период колебаний, который
,cT
2.TLC
t
L
, отсюда
t
L
.
Задача 12. Если звуковая волна с частотой колебаний 500 Гц распространяется в металлическом стержне со скоростью 2 км/с, то расстояние между ближайшими точками волны, отличающимися по фазе
на /2, будет равно…
Анализ и решение:
2 l
,
где
v
T
v
;
l
22
44
v
1 [м].
Задача 13. Ток в идеальном колебательном контуре изменяется по
g
g
х
N
N
закону () 0,01cos1000, А.It t Найдите индуктивность контура, если
емкость конденсатора равна 20 мкФ.
Анализ и решение:
1
;
LC
L
1
66
10 20 10
LC
1
2
;
;
0,05 [Гн]50 [мГн].
1000
рад
с
Задача 14. Если в неподвижном лифте период собственных колебаний математического маятника равен Т, то период колебаний этого
маятника в лифте, движущемся вниз с ускорением 0,5g, будет равен…
Анализ и решение. Период колебаний математического маятника
определяется по формуле
2
2.TT
l
2
Tg ;
T
2
2
T
l
2
;
a
Tga
Задача 15. Точка совершает гармонические колебания с периодом
0,5 с и амплитудой 2 см. Максимальная величина ускорения этой точки равна…
Анализ и решение. Уравнение колебаний:
есть вторая производная от смещения:
22
22м
⎛⎞ ⎛ ⎞
max
⎜⎟ ⎜ ⎟
T
⎝⎠ ⎝ ⎠
2
aAA
0,02 3, 2
0.5
2
sin ,aA t
At
sin .
.
2
с
Ускорение
;
Задача 16. Один из двух математических маятников совершил
10 колебаний, а другой за это же время – 6 колебаний. Разность длин
маятников составляет 16 см. Определите длины маятников. Результат
представьте в единицах СИ.
Анализ и решение:
tl
11
T
;
1
2
1
g
45
tl
22
T
.
2
2
2
g
Разделим первое уравнение на второе:
NlN
N
N
A
А
F
x
F
F
21
12
;
l
2
⎛⎞
21
⎜⎟
⎝⎠
12
l
;
l
21 2
ll
12
0,36 ,ll l l l
2
⎛⎞
N
2
⎜⎟
⎝⎠
;
N
1
0,36 ;ll
12
отсюда
0,25 [м]; 0,09 [м].ll
21
Задача 17. Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если его
немного погрузить в жидкость, а затем отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания ареометра гармоническими и незатухающими, найти плотность жидкости, в которой
он плавает. Радиус вертикальной цилиндрической трубки ареометра
равен 5,0 мм.
Анализ и решение:
h
F
A
mg
Условие равновесия ареометра 0,
mg F
(),
gV sh
ж
где V – объем ареометра без трубки; h – длина трубки; s – площадь поперечного сечения трубки. Следовательно,
().mg g V sh
ж
При погружении ареометра в жидкость на
, ( ( )),
mg F g V s h x
AA
Fmg gVshx gVsh gsx
рж жж
A
(()) ( ) .
ж
46
Эта сила является возвращающей силой и вызывает колебания около
g
g
положения равновесия
р
,Fkx отсюда
.kgs Получаем
ж
mm
22
T
k
2
r
ж
;
2
T
4 m
ж
2
,
2
r
отсюда
m
440.2 кг
ж
22 2 2 3
Tgr
3,4 9,8 0,005 м
869
.
Задача 18.
Вдоль некоторой прямой распространяются колебания
с периодом 0,25 с и скоростью 48 м/с. Спустя 10 с после возникновения колебаний в исходной точке на расстоянии 43 м от нее смещение
оказалось равным 3 см. Определить в тот же момент времени смещение в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний. Результат
представить в сантиметрах и
округлить до целого числа.
Анализ и решение:
sin
2
T
xA t
1
l
⎛⎞
1
⎜⎟
v
⎝⎠
;
xA t
2
Разделим первое уравнение на второе:
Выразим из полученного выражения
2
sin
T
x
1
x
2
:x
2
l
⎛⎞
2
⎜⎟
⎝⎠
sin
sin
.
v
2
⎛⎞
t
⎜⎟
T
⎝⎠
2
⎛⎞
t
⎜⎟
T
⎝⎠
l
1
v
.
l
2
v
2
sin
xt
1
sin
T
2
x
2
T
l
⎛⎞
2
⎜⎟ ⎜ ⎟
v
⎝⎠ ⎝ ⎠
l
⎛⎞ ⎛ ⎞
1
t
⎜⎟
v
⎝⎠
245
3sin 10
⎛⎞
0,25 48
243
sin 10
0,25 48
⎜⎟
⎝⎠
6 [см].
Задача 19. Контур состоит из катушки индуктивностью 28 мкГн
–6
(1 мкГн = 10
2222 пФ (1 пФ = 10
Гн), сопротивления 1 Ом и конденсатора емкостью
–12
Ф). Какую мощность будет потреблять контур,
47
если в нем поддерживать незатухающие колебания, при которых мак-
J
симальное напряжение на конденсаторе 5 В? Результат представьте
в милливаттах и округлите до целого числа.
Анализ и решение:
2
;PJR
д
J
max
J ;
д
2
2
R
max
P ;
2
22
CU LJ
max max
,
22
отсюда
2
JL ,
max
max
2
CU
тогда
P
992 10 [Вт]0,992 [мВт]1 [мВт].
Задача 20. От двух
2
CU R
max
2
6
S и 2S когерентных источников ( = 0,8 мкм)
1
2222 10 25 1
L
12
22810
6
лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная
картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n = 1,33), интерференционная картина изме-
нилась на противоположную. При какой наименьшей толщине
d
min
пленки это возможно?
Анализ и решение. Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались
интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен
при изменении оптической разности хода лучей на нечетное число половин длин волн, т. е.
21
где
– оптическая разность хода лучей до внесения пленки;
1
– оптическая разность хода тех же лучей после внесения пленки;
2
(2 1)
k
,
2
k = 0, ±1, ±2, ... .
48
Наименьшей толщине
формула
примет вид
21
21
(2 1)
d пленки соответствует k = 0. При этом
min
k
2
.
2
Выразим оптические разности хода
и 1 . Из рисунка cледует:
2
112
ll ,
() ()(1)ld nd l ll d n .
2 1 min min 2 1 2 min
Подставим выражения
или
Отсюда получим
и 2 в формулу
() (1)()
ll d n ll
,
2min 12
1
1
(1)
dn
min
2( 1)
n
d
min
:
21
(2 1)
k
2
2
.
2
.
Подставив сюда числовые значения, найдем
Задача 21.
d
min
0,8
2(1,33 1)
На дифракционную решетку нормально к ее поверхно-
1, 21 [мкм].
сти падает свет с длиной волны 550 нм. На экран, находящийся от решетки на расстоянии 1 м, с помощью линзы, расположенной вблизи
решетки, проецируется дифракционная картина, причем первый главный максимум наблюдается на расстоянии 12 см от центрального.
Определить: 1) период решетки; 2) число штрихов на 1 см ее
длины; 3) общее число максимумов, даваемых решеткой; 4) угол дифракции, соответствующий последнему максимуму.
49
Анализ и решение
1. Из условия главных максимумов
sin .dk
Находим период решетки:
kd
sin
Из рисунка следует
tg
.
L
Так как lL , то
sin tg
.
l
L
Тогда выражение
kd
примет вид
sin
d
kL
l
Подставим численные значения
7
15,510 1
d
0,12
.
l
.
4,58 10 [м].
6
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]