Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Предположим, что жидкость несжимаемая
0
d
dt
const
div 0v
s
vc
0v
0p
g
0p
p const
constg
dp
g
dz
RT
P
dP g
P
dz RT
0
exp
gz
PP
RT
()vv
1
( ) ( ) ( )
2
v v v v v v
2
11
rot
2
vp
t
v
v v g
.
Если в начальный момент плотность несжимаемой жидкости была
всюду одинакова, то в дальнейшем
,
Жидкость несжимаема при
Гидростатика
Скорость потока равна нулю
Если нет сил:
Пусть внешняя сила постоянна
Используя уравнение состояния идеального газа
Откуда следует барометрическая формула
, то
.
– закон Паскаля.
.
, поэтому
.
и направлена вдоль z:
.
.
.
, получим
4.2. Безвихревой поток
Преобразуем выражение
, входящее в уравнение Эйлера:
,
. (*)
51
Поток безвихревой, если
rot 0v
g
rotΩv
0
t
Ω
Ωv
0Ω
0Ω
0
t
v
2
11
0
2
vp
v
2
11
2
v p const
2
11
0
2
vp
2
11
2
v p const
v
div 0
2
()
2
d v p
dt t
v
gr
2
()
2
vp
ft
t
gr
()ft
Пусть поле потенциальное
Возьмем ротор от (*), обозначив
.
, а жидкость несжимаема.
:
.
Если в какой-то момент
Рассмотрим стационарный поток. Его скорость не меняется
Умножим (*) скалярно на v, получим
Вдоль линий тока
Если поток безвихревой, то везде
Скорость потенциально движущейся жидкости (безвихревой) можно
представить в виде
считать также и несжимаемым. Уравнение непрерывности переходит
в уравнение
, то всегда
– теорема Бернулли.
и
. Часто потенциальное течение можно
.
.
.
,
а уравнение Эйлера принимает вид
откуда
где
— некая функция времени.
,
,
52
Однако чаще всего движение жидкости или газа бывает вихре-
F pn n
vv
v
ABC
x x x
vrΩ
ik i k
v e x
0,
i i i
ik k ik k ik k
k k k k k k
x x x
Ae Be C e
x x x
Ae Be A B e
AB
вым. Так, вихревым является ламинарное течение в круглой трубе,
когда скорость распределяется по параболическому закону, течение в
пограничном слое при плавном обтекании тела и в следе за плохо
обтекаемым телом. Вихревой характер носит любое турбулентное
течение. В этих условиях типична локализация завихренности в
обособленных массах жидкости — вихрях или вихревых зонах.
4.3. Вязкая жидкость
В вязкой жидкости появляется добавочное слагаемое
зоре напряжений, называемое вязким тензором напряжений и
обусловленное силами внутреннего трения между слоями жидкости.
Соответственно компоненты полной силы, действующей в жидкости
на единичную площадку, равны
.
Сила внутреннего трения появляется при неоднородном движении
жидкости. Величина этой силы линейно зависит от первых производных компонент скорости по координатам, так
в тен-
.
Внутреннее трение не возникает при вращении жидкости как целого с
угловой скоростью Ω. Следовательно, при скорости
тензор
,
должен тождественно зануляться. Поэтому имеем
,
откуда следует
.
53
Тензор напряжений записывают в форме
2
3
v v v
v
x x x x
div
3
d
p
dt
v
g v v
0g
dp
v
dt
vv
.
След выражения в скобках равен нулю. Коэффициент называют
динамической вязкостью или просто вязкостью. Коэффициент
называют второй вязкостью.
Если вязкости не зависят от давления и плотности:
.
При
мой жидкости принимает вид
где
носа, звука, турбулентности, конвекции, изучение которых выходит за
рамки данного курса.
получаем уравнение Навье-Стокса, которое в несжимае-
,
– кинематическая вязкость.
К задачам гидродинамики также относятся явления теплопере-
54
Контрольные вопросы к Главе 4.
1. Какими параметрами характеризуется состояние жидкости?
2. Какое уравнение для жидкости можно получить исходя из закона
сохранения массы.
3. Что называется субстанциональной производной? Чем она
отличается от обычной производной?
4. Какой физический смысл уравнения Эйлера?
5. Какое решение имеет уравнение Эйлера в стационарном случае
для идеального газа?
6. Какая величина сохраняется вдоль линий тока безвихревой
несжимаемой жидкости?
7. Как описывается динамика вязкой жидкости?
55
Задачи
2 3 , 3 2 ,
4 5 6 , 6 5 4 ,
A i j k C i j k
B i j k D i j k
,,i j k
A B C D
A B C D
, , ,A B C D
,AB
OX
,CD
OZ
c
r
11
nn
c i i i
ii
mm
rr
i
m
i
r
,,B C D
,,B C D
Задача 1.
Даны векторы
где
1. Суммы и разности векторов:
2. Модули векторов
3. Углы, которые составляют векторы
векторы
Задача 2.
ляется радиус вектором
где
определить:
1. Центр масс системы точек, расположенных в вершинах квадрата
2. Центр масс системы точек, расположенных в вершинах правиль-
3. Центр масс системы точек, расположенных в вершинах куба (длина
Задача 3.
1. Скалярное произведение суммы двух первых векторов на сумму
2. Углы, которые образует вектор A с векторами
3. Проекцию вектора A на направление векторов
– орты декартовой системы координат.
Найти:
и
.
с осью координат
с осью координат
Зная, что центр масс С системы материальных точек опреде-
, имеющим вид
– массы точек,
(длина стороны a), с массами 1 г, 2 г, 3 г, 4 г;
ного треугольника (длина стороны a), с массами 1 г, 2 г, 3 г;
стороны a), с массами 1 г, 2 г, 3 г, 4 г (нижнее основание) и 5 г, 6 г,
7 г, 8 г (верхнее основание).
Для векторов, приведенных в Задаче 1, определить:
двух последующих;
– их радиус-векторы, n – число точек,
.
,
;
;
56
;
и
4. Векторные произведения
AB
AC
BC
C
, , ,A B C D
, , ,a b c d
0 a b c d
1
2
3
2 3 ,
4,
4 3 ,
a i j k
a i k
a i j k
1
2
3
3 2 ,
2 4 ,
3 2 .
b i j k
b i j k
b i j k
.
d d d d
dt dt dt dt
A B C
A B C B C A C A B
23
23
d d d d d
dt dt dt dt dt
A A A A
AA
2
2
dd
dt C
dt dt
AA
AA
5. Площади параллелограммов, построенных на векторах Aи B,
и D; найти длины диагоналей этих параллелограммов.
Задача 4.
Показать, что векторы
плоскости.
Задача 5.
Показать, что если соединить середины сторон произвольного
четырехугольника прямыми линиями, то полученная фигура будет
параллелограммом.
Указание. Стороны исходного четырехугольника изобразить в
виде векторов
Задача 6.
Проверить, могут ли следующие тройки векторов образовывать
базис:
, так, что
,
,
(Задача 1) лежат в одной
;
.
Задача 7.
Доказать, что
Задача 8.
Доказать равенства:
1.
2.
;
57
;
3.
d
C
dt
A
A
2
2
()
d
fr
dt
AA
m n m n
ijk mnk i j j i
( ) ( ) ( ) a b c b a c c a b
0 a b c b c a c a b
ac ad
a b c d
bc bd
1 2 3
4 2 ; 3 3 ; 2 l i j l i j l k
(1,1,1)
'
' ' '
,.
i k i i i
i i k i i
a a a a
0
0
1
00
ˆ
00
00
I
II
I
Задача 9.
если
.
Доказать соотношение
.
Задача 10.
Проверить справедливость тождеств с помощью соотношения
из задачи 9:
1.
2.
2.
;
.
Задача 11.
Получить закон преобразования компонент вектора при
переходе из одной системы координат в другую.
Задача 12.
Дан базис
Из начала координат в точку
проведен вектор. Найти состав-
.
ляющие вектора в данном базисе.
Задача 13.
Доказать что, в ортонормированном базисе
Задача 14.
Тензор инерции прямого кругового цилиндра относительно
осей, проходящих через его центр тяжести, имеет вид
.
Найти момент инерции цилиндра относительно биссектрис координатных углов.
58
Задача 15.
i
v
i
x
ij
vx
2
1
2
TI
I
()AB
() AB
Определить тензор момента инерции молекул состоящих из
одинаковых атомов массой m:
1. четыре атома расположены вдоль прямой с шагом a;
2. три атома расположены в вершинах равностороннего треугольника
со стороной a.
Задача 16.
Если
– компоненты вектора,
– координаты, то проверить,
является ли совокупность девяти величин
тензором второго
ранга.
Задача 17.
Найти выражение для момента инерции системы материальных
точек относительно оси с ортом u.
Задача 18.
Найти наиболее общий вид линейной зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформации,
если среда изотропна.
Задача 19.
Показать, что кинетическая энергия твердого тела, имеющего
неподвижную точку и вращающегося с мгновенной угловой
скоростью , равна
,
где
– момент инерции тела относительно мгновенной оси
вращения, совпадающей с ω.
Задача 20.
Получить формулы для
1.
;
2.
.
59
Задача 21.
div 3r
div 3aar
2
div ( 2)
nn
r nr n
c r c
2
div 2r c r c
div( ) 0cr
3
div 0r
r
div ( 3)
nn
r n rr
div ( ) 4r cr rc
div ( ) div ( )a cr c ar ac
div(( ) ) 2 r a c ac
div(( ) ) 2 r a r ar
gradrr
r
2
grad ( 2)
nn
r nr n
r
3
grad
k
k
rr
r
grad( )a r a
()
grad( ( )) ( )
r
rr
r
r
a r a a r
2
gradlnrr
r
rot 0r
rot ( ) r c r c r
Показать, что:
1.
2.
;
;
Задача 22.
Показать, что:
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1.
2.
3.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
4.
5.
6.
Задача 23.
Показать, что:
1.
2.
;
;
.
;
;
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]