Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Волной обозначена обратная матрица:
''i i i
i k k
aa
i j ij
ee
ij
'
' ' '
,
i k i i i
i i k i i
a a a a
''
''
' ' ' ' '
'
,
,.
i i i i
i i i i
i i i i i i i i
i i i
b b a b
b a b b a b a b
B e e e
1 2 3
1 0 0
0 , 1 , 0 ,
0 0 1
e e e
1 2 3
cos sin 0
sin , cos , 0 ,
0 0 1
e e e
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
A
()tB
()
i
i
dA
dt
dt dt
B
e
()
()
dt
tdt
r
v
.
Ортонормированный базис:
, где
– символ Кронекера
Матрица преобразования между ортонормированными базисами
является унитарной:
.
Преобразование компонент векторов:
Поворот системы координат: пусть поворот вокруг z:
.
Вектор-функция
используется для описания векторов, направ-
ление и величина которых зависит от времени.
Дифференцирование вектор-функции
Пример: скорость
Правила дифференцирования суммы, произведений:
.
11
.
()
d d d
dt dt dt
AB
AB
,
()
d dc d
cc
dt dt dt
B
BB
()
d d d
dt dt dt
AB
A B B A
()
d d d
dt dt dt
AB
A B B A
()
d d d d
dt dt dt dt
A B C
A B C B C A C A B
( ) ( )t t dt
BA
()
()
dt
t
dt
BA
''i i i
i
b a b
j
F
kj
p
kj
kj
F p n
''
''
,
k m j l
m kj l
a F p a n
,
,
.
.
Интегрирование вектор-функции
,
.
1.4. Тензоры
Тензоры нулевого ранга – скаляры. Они не изменяются при переходе в другую систему координат.
Тензоры первого ранга – векторы. Их компоненты преобразуются по закону
.
Тензоры второго ранга – объект, который описывается двумерной матрицей, компоненты которой преобразуются определенным
образом при переходе в другую систему координат.
Тензор напряжений
Силы, действующие на три взаимно
перпендикулярные площадки:
3 вектора
,
9 компонент
Напряжение на произвольной площадке с нормалью n:
Преобразование компонент тензора:
.
.
12
' ' '
'
,
s s j l
k kj l
F a p a n
'
' ' '
sj
s l k l kj
p a a p
''
''
ij
i j i j ij
p a a p
' ' ' '
''
,
k k j k j k k j k k
j j j k j j k j
c f b f a a f a a f
' ' ' '
,
ij i j i j i j ij
ij
f c b f a a f
''
' ' '
''
'
' ' ' '
''
''
''
( ) ( )
.
i i l
i i i k i i k l
ik
k k k k k
ik
i k i k
i i l l i
i k i k i k
k k k
u a u x a u a x
v
x x x x x
a u a x u
a a a a v
x x x
' ' ' 'i j i j ij
ij
f a a f
2
L rp rmv m r
LI
2
I mr
,
.
Тензор второго ранга дважды домножается на компоненты матрицы
преобразования координат.
Примеры тензоров:
Линейная зависимость двух векторов
.
Произведение компонент векторов
.
Градиент векторного поля
Определение:
Тензор 2-го ранга – это величина, определяемая девятью
числами, которые при изменении системы координат пре-
образуются по закону:
1.5. Тензор момента инерции
В скалярном виде связь момент импульса и угловой скорости:
,
13
,
.
В векторном виде момент импульса системы материальных то-
()
n n n
n
m
L r v
v ωr
ω
( ( )),
( ( ) ( )),
n n n
n n n n n
m
m
Lrωr
L ω r r r r ω
( ( )),
( ) .
k k i i k j j
n n n n n
i
k k i i k j j
n j n n n n
i
L m r r r r
L m r r r r
kj
I
, ( )
k j k i i k j
kj kj n j n n n n
ni
L I I m r r r r
2 2 2 2 2 2
11 22 33
( ), ( ), ( ).
n n n n n n n n n
n n n
I m y z I m x z I m x y
12 21 32 23 13 31
, , .
n n n n n n n n n
n n n
I I m x y I I m y z I I m z x
jk
I
ii
nn
i
rr
k
j
'
''
k j k k
j j k j
aa
' ' '
' ' ' ' '
()
j k k i i j k k j j k
kj n j k j n n j k n n j k k j
ni
I m a a r r a a r r a a I
чек выражается через векторное произведение их радиус-векторов и
скоростей:
.
С учетом того, что
, где
– угловая частота вращения
системы, получим:
Введем новое обозначение
, которое назовем тензором момента
инерции:
.
Компоненты этого тензора можно расписать. Диагональные члены
имеют следующий вид:
а недиагональные
Покажем, что
не меняется,
преобразуется как тензор:
представим как
.
Тензор момента инерции, выраженный через новые координаты,
имеет вид
14
.
1.6. Тензоры высших рангов
' ' ' '... ...
...
i j k l i j k ijkl
i j k
b a a a b
ijk i j k
D A B C
ij ijkl kl
DC
'
'
( ) ( )
ii
ii
d mv d mv
FF
dt dt
ij ij ji
C A B
ijkl ij kl
C A B
iklm ijk jlm
C A B
ij ji
CC
ij ji
CC
,
ij ij ji
D C C
ij ij ji
D C C
0,
1, ,
1, ,
ijk
любые два индекса совпадают
индексы разные четная перестановка
индексы разные нечетная перестановка
ijk i j k
AB
A B e
1 2 3 4
det
ijkl i j k l
A A A A A
m n m n
ijk mnk i j j i
Определение: тензор n-го ранга – это величина, которая
преобразуется по закону:
.
Примеры:
Произведение компонент трех векторов
.
Связь двух тензоров второго порядка
.
Инвариантность уравнений
Инвариантностью уравнения – неизменяемость его вида при
переходе от одной системы координат к другой. Для инвариантности
уравнений необходимо, чтобы все тензоры, которые входят в виде
слагаемых в это уравнение, были тензорами одного ранга.
Пример: второй закон Ньютона
.
Тензорная алгебра
Сложение
Внешнее произведение
Свертка
Симметричный тензор
Антисимметричный тензор
Примеры: симметричный тензор
антисимметричный тензор
.
.
.
.
.
.
Символ Леви-Чивиты
Примеры: векторное произведение
определитель
Свойство:
Существуют тензоры в n-мерном пространстве.
15
,
.
.
0
0
0
0
x y z
x z y
y z x
z y x
E E E
E B B
F
E B B
E B B
()
ijkl
Tt
()
ijkl
T r
,,
x y z
grad
i
i
f
ff
x
e
div
i
i
fx
ff
div 0f
div 0f
rot
k
ijk i
j
f
x
f f e
()
ii
n
C
Sd
A r l A l
x y z
G d A dx A dy A dz
Al
s
k k k
Sd
A n A s
div dV d
A A s
Пример: тензор электромагнитного поля в четырехмерном пространстве составлен из компонент электрического и магнитного полей:
.
Тензор-функция
Скалярный аргумент
Тензорное поле
1.7. Векторный анализ
Оператор набла
Градиент
, направлен по нормали к поверхности
уровня в сторону увеличения. Векторные линии поля являются
касательными к векторам поля.
Дивергенция
Ротор
,
, удвоенный вектор угловой скорости.
.
– источник,
– сток.
Интеграл по кривой:
.
Циркуляция векторного поля – криволинейный интеграл по замкнутой кривой:
.
Поток векторного поля
Теорема Остроградского-Гаусса
16
.
.
Связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с
rot dd
A s A l
Hd
Al
grad
A
( ) ,
( ) ,
( ) .
A B A B
A B A B
( ) ,
( ) ,
( ) ( ) ( ),
( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
A A A
A B B A A B
A A A
A B A B B A A B B A
A B A B B A A B B A
интегралом от дивергенции поля внутри поверхности. Теорема
утверждает, что сумма всех источников внутри объема равна суммарному потоку из данного объема через его поверхность.
Теорема Стокса
Циркуляция векторного поля вдоль
замкнутого контура равна потоку ротора
поля через поверхность, ограниченную
контуром.
.
Потенциальное поле: ротор = 0, циркуляция = 0. Для такого поля
не зависит от пути интегрирования, поэтому поле можно
представить как
Формулы векторного анализа:
.
17
2
2
( ) graddiv ,
( ) divgrad ,
( ) rotgrad 0,
( ) divrot 0,
( ) rot rot ( ) .
f f f f
ff
AA
AA
A A A A
Контрольные вопросы к Главе 1
1. Что вкладывается в понятие «сплошная среда»?
2. Как характеризуется движение точки, твердого тела, среды?
3. Какие приближения используются в модели сплошной среды?
4. Какие операции с векторами вы знаете?
5. Как преобразуются компоненты вектора при переходе из одной
системы координат в другую?
6. Приведите примеры тензоров второго ранга.
7. Что такое тензор момента инерции?
8. Какие операции с тензорами вы знаете?
9. Как оператор набла действует на скаляры и векторы?
10. Какими свойствами обладает потенциальное поле?
18
()ur
()r u r
()ur
, rr Δr
()r u r, () r r u r r
' ( ) ( ) r r u r r u r
i
i i k
k
u
x x x
x
r
r
2
( ')
ii
i k i l
i
kl
uu
x x x x
xx
r
()ur
r
Δr
()u r r
Δr
()r u r
Глава 2. Теория упругости
Рассмотрим теорию деформирования «твердых» тел. Как и
раньше, тело будем представлять себе как материальный континуум.
Одной из важнейших характеристик деформированного твердого
тела является тензор деформаций.
2.1. Тензор деформации
Тензор деформаций вводится путем сравнения длины любого
элемента тела с его длиной в некотором идеальном состоянии,
которое называют «начальным». Пусть в результате деформации
элемент тела, исходно имевший координаты r, сместился на рас-
стояние
– поле смещения,
две соседние точки
с координатами
(вектор смещения) и оказался в точке
.
смещаются в точки
,
,
.
Если до деформирования расстояние между какими-либо близкими точками тела равнялось
стало
:
, то после деформирования оно
,
19
22
( ') ( ) 2
2.
i i i
k i k l
k k l
i k l l
k i k i k i
k i k i
i k l l
i k ik i k
k i i k
u u u
x x x x
x x x
u u u u
x x x x x x
x x x x
u u u u
x x u x x
x x x x
rr
1
2
i k l l
ik
k i i k
u u u u
x x x x
' ' ' '
' ' ' ' ' ' '
' ' '
' ' ' ' ' ' ' '
' ' '
' ' '
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
()
2
i k l m
i i k k k i l l i l m k
ik
k k i i i i k k
i k i k i k l m
i k l m
i k i k i k l l
k i i k
a u x a u x a u x a u x
x x x x x x x x
u u u u
a a a a a a a a
x x x x
' ' ' '
' ' '
''
' ' '
1
.
2
i k i k
i k l l
i k i k i k
k i i k
u u u u
a a a a
x x x x
1
2
ik
ik
ki
uu
xx
11
.
22
i
i i k
k
i k k i
k ik ik k
k i i k
u
x x x
x
u u u u
x w x
x x x x
1
2
ki
ik
ik
uu
w
xx
Здесь ввели
В другой системе координат:
В линейной теории упругости
– тензор деформации.
.
Здесь ввели
– тензор поворота.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]