Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред. Учебное пособие
.pdf
Тензор деформаций симметрич-
2 2 2
2
i i ii i
d d d
12
i ii i
dd
1 2 3
'dV d d d
11 22 33
' (1 )dV dV
ii
i
dV u dV
Tr div
ii
i
u
div
dV
dV
u
11
33
ik ik jj ik jj ik
k k j
j
P p n
ный. Это значит, что его можно привести
к главным осям, а любую деформацию
можно представить как сжатие и растяжение по трем направлениям.
В главных осях изменение длины вдоль каждой оси при деформации:
,
.
Объем после деформации:
,
Изменение объема при деформации:
.
.
Относительное изменение объема равно следу тензора деформации
:
.
След сохраняется при переходе в другую систему координат.
Деформацию можно представить в виде суммы двух слагаемых,
соответствующих сдвигу и изменению объема:
.
След выражения в скобках равен нулю, поэтому эта часть деформации происходит без изменения объема.
2.2. Тензор напряжений
Тензор напряжений характеризует внутренние силы, возникающие между частями деформированного тела. Напряжение на произвольной площадке с нормалью n:
.
21
Тензор напряжений симметричен.
kk
jj
pp
()
kk
dF P ds
k k j
j
S
F p ds
k
j
k
j
V
p
F dV
x
k
j
k
j
p
f
x
0
k
j
k
j
p
g
x
k
g
k k j
j
P p n
k
P
ij ijkl kl
p
ijkl ij kl ik jl il jk
a b c
,,a b c
( ) ( )
ij ij kl ik jl il jk kl ij kk ij
p a b c a b c
При сжатии под давлением
.
Упругие силы по своей природе поверхностные, т. е. на выделенный объем они действуют только через границу этого объема
. Однако можно представить их и в форме объемной
силы. Сила, действующая на объем через поверхность, равна
Объемная сила
Уравнение равновесия
здесь
– внешняя объемная сила.
Граничные условия
, где
.
,
– напряжение внешней силы,
.
а n– внешняя нормаль к поверхности тела.
2.3. Закон Гука
В случае малых деформаций связь между тензором напряжений
и тензором деформации можно считать линейной. Линейная связь
напряжений и деформаций в наиболее общем виде:
.
Для изотропной среды
,
– здесь постоянные коэффициенты. Откуда
Упругие свойства изотропной среды описываются двумя коэффициентами. Представим туже формулу в виде
22
.
1
2
3
ij ij ij kk ij kk
pK
.
3
ii ii
pK
1 1 1
9 2 3
ij ij kk ij ij kk
p p p
K
zz
p
1 1 1 1 1
,
9 2 3 9 3
1 1 1 2 3
,
9 2 3 18
zz
zz zz zz zz zz
xx yy zz zz zz zz
p
p p p p
K K E
K
p p p p
K K E
xx yy zz
9 3 2 3 2
,
3 18 2 3
K K K
EE
K K K
z
Здесь введены новые коэффициенты: – модуль сдвига, К – модуль
всестороннего сжатия.
Выразим деформации через напряжения. Поскольку
,
.
Простые деформации
Простыми называются деформации, при которых в тензоре напряжений отлична от нуля только одна компонента. Примером
простой деформации может служить сжатие прямоугольного бруска
двумя параллельными плоскостями
Пусть для определенности отлична от нуля только компонента
.
,
.
E – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона. Недиагональные
компоненты тензоров деформаций и напряжений равны нулю.
23
Можно получить обратные формулы:
,.
2(1 ) 3(1 2 )
EE
K
0, 1 2, 0, 0EK
,
1 1 2
1
(1 ) .
ik ik ll ik
ik ik ll ik
E
p
pp
E
F kx
2
1
2
W kx
1
2
ijkl ij kl
w
x
uy
1
,
22
ik
ik xy yx
ki
uu
xx
2,
ij ij xy yx
p p p
x
y
F
Для жидкости:
Произвольная деформация
Энергия пружины, действующей с силой
По аналогии с пружиной энергия деформированного тела
Однородный сдвиг
При сдвиговом напряжении зависимость деформации от координаты
имеет вид
.
, равна
.
,
.
Откуда можно найти тензор напряжений
Неупругое поведение
Для малых деформаций напряжение пропорционально деформации. Однако после некоторой точки зависимость напряжения от
деформации начинает отклоняться от линейной. Для хрупких материалов разрушение наступает, когда деформация несколько превы-
24
.
.
сит ту точку, где появляется нелинейность. В общем случае есть и
0
zz
p
, ' ( ) ,
'.
l R l R x
l l l x xl R
zz
l l x R
,
xx yy zz zz
x
pE
R
другие усложнения. Например, когда предмет деформирован,
существующие большие напряжения могут затем медленно уменьшиться со временем. Если достигнуть высоких напряжений, близких к
точке разрыва, а затем уменьшать деформацию, то напряжения будут
возвращаться назад.
Другой пример. Mел гораздо слабее противостоит растяжению,
чем сдвигу. Если потянуть палочку мела за концы, то она сломается
перпендикулярно направлению приложенной силы. А в отношении
сдвига этот материал гораздо крепче. Когда мы скручиваем стержень,
то в любом его поперечном сечении возникают сдвиги. Сдвиг эквивалентен комбинации растяжения и сжатия под углом 45°. По этой
причине при скручивании кусочек мела разломится по сложной
поверхности, которая расположена под углом 45° к образующим. Мел
ломается там, где напряжения максимальны.
Есть и другие материалы, которые ведут себя сложным образом. Если взять лист тонкого пластика, скомкать, то постепенно он
частично расправится. Здесь соревнуются два механизма: нечто
внутри материала помнит первоначальную форму и пытается вернуться к старому виду, а нечто другое предпочитает новую форму и
сопротивляется возврату к старой.
2.4. Изгиб тонкого стержня
Только
, остальные компоненты тензора
напряжений равны нулю.
Пусть x – расстояние от нейтральной поверхности
R – локальный радиус кривизны нейтральной
поверхности
,
25
.
Положение нейтральной плоскости можно найти из условия
z
00
zz
p dS x dS
y zz
M xp dS
2
2
1
dX
Rdz
2
2
y
dX
M EI
dz
2
I x dS
()M F L z
2
2
dX
M EI
dz
2
2
()
d X F
Lz
dz EI
(0) 0, (0) 0
dX
X
dz
F
z
X
-сила:
Момент упругих сил
.
.
С учетом того, что кривизна кривой может быть представлена как
.
Момент упругих сил представим в виде
где
– момент инерции сечения.
,
Консольная балка
Вычислим отклонение консольной балки под действием сосредоточенной силы F, действующей на ее свободный конец.
Консольная балка закреплена
одним концом, который вмурован
в стенку. Какая будет форма балки?
Обозначим отклонение на расстоянии z от закрепленного конца
через X; мы хотим найти X(z).
Будем вычислять только малые
отклонения.
Момент силы, действующей на балку,
.
Из формулы для момента, полученной в предыдущем разделе,
Приравнивая, получим
.
.
С учетом граничных условий
26
получим решение
23
26
F z z
XL
EI
3
()
3
FL
XLEI
y
M FX
2
2
1
dX
Rdz
2
2
d X F
X
dz EI
sin
z
XK
L
2
2
EI
F
L
X
z
.
Смещение конца балки
,
т. е. отклонение возрастает пропорционально кубу длины балки.
2.5. Продольно изогнутая балка
Рассмотрим, что происходит при продольном изгибе бруска,
опоры или стержня. Здесь стержень, обычно прямой, удерживается в
согнутом виде двумя противоположными силами, давящими на его
концы. Найдем форму стержня и силы, действующие на концы.
В точке P момент силы F равен
.
При малых отклонениях
Откуда
.
Решение последнего уравнения
.
Таким образом, для малых отклонений кривая такого продольно изогнутого стержня представляет синусоиду. «Длина волны» этой
синусоиды в два раза больше расстояния L между концами. Если
изгиб невелик, она просто равна удвоенной длине неизогнутого
стержня.
Беря вторую производную, находим
.
Полученная сила (сила Эйлера) не зависит от перемещения.
Физически получается что, если сила F меньше определяемой
27
уравнением, то никакого продольного изгиба не происходит. Но если
,S
1dR
dS
dF
X
dS EI
2
2
d F dX
dS EI dS
2
2
sin
dF
dS EI
F EI
она хоть немного больше этой силы, то балка внезапно и очень
сильно согнется, т. е. под действием сил, превышающих критическую
величину, балка будет гнуться. В этом проявляется неустойчивость
данной системы.
При больших отклонениях
Введем новые координаты:
угол наклона касательной.
– расстояние вдоль кривой и
Из геометрии
Возьмем производную по dS
.
Полученное уравнение совпадает с уравнением колебаний маятника.
На следующем рисунке показаны кривые, соответствующие решениям этого уравнения для различных значений постоянной
, откуда
.
,
.
28
2.6. Скручивание стержня
r
L
l
dF p r d dr
l
p
dM rdF
2d
3
2dM r dr
L
Рассмотрим случай, когда скручивается стержень — скажем,
приводной вал какой-то машины или подвеска из кварцевой нити.
Момент сил, действующий на закручиваемый стержень, пропорционален углу, причем константа пропорциональности, зависит от длины
стержня, его радиуса и свойств материала.
Пусть цилиндрический стержень, имеет длину L и радиус а,
один из его концов закручен на угол по отношению к другому. Если
мы хотим связать деформацию с тем, что уже известно, то стержень
можно представить состоящим из множества цилиндрических
оболочек и выяснить, что происходит в каждой из этих оболочек.
Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом r
(меньшего, чем а) и толщиной dr. Если посмотреть на кусочек внутри
этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом,
то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый
элемент цилиндра сдвигается, а угол сдвига равен
.
Сила
Момент силы
Интегрируем по углу
Момент силы трубы
, где
.
.
.
.
Интегрируем по радиусу и для однородного стержня, получаем
29
4
3
2
2
a
M r dr
LL
.
2
2
2,
3
1 1 1
div ,
2 2 2
i ik ll
ik ik ll ik
kk
ik i k
ii
k k k i
up
K
t x x
uu
u
x x x x
u
div
kk
u
2
2
2
div div div
3
K
t
u
u u u u
2
2
div
3
K
t
u
uu
Если закручивать стержень, то его момент оказывается пропорциональным углу и четвертой степени диаметра: стержень вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относительно кручения.
2.7. Звук в твердом теле
Упругие деформации могут распространяться в виде волн механических колебаний в твердой среде. Если произвести резкое смещение частиц упругой среды в одном месте, например, ударив по ней,
то в этом месте увеличится давление. Благодаря упругим связям
частиц давление передается на соседние частицы, которые, в свою
очередь, воздействуют на следующие, и область повышенного
давления перемещается в упругой среде. За областью повышенного
давления следует область пониженного давления, и, таким образом,
образуется ряд чередующихся областей сжатия и разрежения,
распространяющихся в среде в виде волны. Каждая частица упругой
среды в этом случае будет совершать колебательные движения.
Рассмотрим некоторый малый объем среды. Если на него действуют нескомпенсированные упругие силы, то этот объем будет
ускоряться. Приравняем ускорение к объемным силам.
30
,
,
. (*)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]